Chapitre 1 Intégration

Chapitre 1
Int´egration
D´efinition : Rest l’ensemble des r´eels auquel on ajoute −∞ et +∞.
1.1 Int´egrales des fonctions positives
On admet l’existence d’une application qui `a f:R→R+(d´enot´ee par la
suite fonction positive) fait correspondre un ´el´ement not´e RRfdans R+qui
satisfait les propri´et´es suivantes :
1. L’application est lin´eaire
2. Soient f, g deux fonctions positives telles que f(x)≤g(x) pour tout x
alors : ZR
f≤ZR g
3. soit A= [a, b], alors RRχA(x) = (b−a) o`u χAd´esigne la fonction ca-
ract´eristique de l’ensemble A.
4. convergence monotone de Beppo-Levi
Si fn:R→R+est une suite croissante, on a :
ZR
lim
n→+∞fn(x)dx = lim n→+∞ZR
fn≤+∞
Si A⊂R, on pose m(A) = RRχA.
1.2 Ensembles n´egligeables - propri´et´es vraies
presque partout
D´efinition 1 Soit A⊂R. Si m(A) = 0, on dit que Aest n´egligeable.
Remarque : une r´eunion finie ou d´enombrable d’ensembles n´egligeables est
n´egligeable.
1

D´efinition 2 Soit P(x)une propri´et´e faisant intervenir les points x∈R. On
dit que Pest vraie presque partout (p.p) si l’ensemble sur lequel elle est fausse
est de mesure nulle.
Th´eor`eme 1 Soit f:R→R+. On a
Zf= 0 ⇔f(x) = 0 p.p.
1.3 Fonctions int´egrables (au sens de Lebesgue)
Soient fet gdes fonctions de Rdans R. Posons A={x∈R;f(x)6=g(x)}.
D’apr`es la d´efinition 2, on a :
f=g p.p ⇔m(A) = 0
On appelle classe d’´equivalence de fpour l’´egalit´e presque partout l’ensemble
{g:R→R;f=g p.p}.
D´efinition 3 Soit f:R→¯ R. On dit que fest sommable (ou int´egrable au
sens de Lebesgue) si ZR|f|<+∞
On d´efinit alors l’int´egrale de fpar : RRf=RRf+−RRf−
Remarques :
– On a f=f+−f−et |f|=f++f−
– Soient fet g:R→R. Si f=gp.p, on a :
fsommable ⇔gsommable
et alors : ZR|f|=ZR|g|et ZR
f=ZR g
D´efinition 4 On note L1(R)l’espace vectoriel des classes d’´equivalence des
fonctions sommables
Proposition 1 Nous avons les propri´et´es suivantes :
1. L’application de L1(R)→R,f→RRfest une forme lin´eaire
2. Si fet gsont dans L1(R)et f≤galors RRf≤RRg
3. Soient f:R→Ret g∈L1(R), v´erifiant |f| ≤ g. Alors f∈L1(R).
4. Soit f:R→R.f∈L1(R)⇔ |f| ∈ L1(R).
2

5. Soit f∈L1(R), alors |RRf| ≤ RR|f|
6. Soit f∈L1(R). La quantit´e kfk1=RR|f|est une norme sur L1(R).
Applications `a valeurs dans C
Soit f:R→Cune application. fest sommable si et seulement si Re(f) et
Im(f) le sont.
1.4 Int´egration sur un sous-ensemble
Soit A⊂Run sous-ensemble et soit fune fonction d´efinie sur A. On note
fAla fonction ´egale `a fsur Aet `a 0 sur CA. On dit que fest sommable sur
Asi fAest sommable et on pose :
ZA
f=ZR fA
On note L1(A) l’e.v. des classes d’´equivalence sur A.
1.5 Int´egrale d’une fonction d´efinie p.p
Soit fune fonction d´efinie p.p sur Ret ˜ fun prolongement de f`a R. Si ˜ f
est sommable, tout autre prolongement est aussi sommable sur Ret on note
RRfl’int´egrale de ˜
fsur R.
Proposition 2 Soient a, b ∈Ravec a < b. Si f∈C[a, b], alors fest som-
mable et l’int´egrale de fau sens de Lebesgue est la mˆeme que son int´egrale au
sens de Riemann.
Applications :
1. Soit f(t) = 1
1+t2. Montrez que f∈L1(R).
2. Montrez que f(t) = sin(t)
tn’appartient pas `a L1(R).
1.6 Th´eor`eme de convergence, de continuit´e
et de d´erivation sous le signe somme
Th´eor`eme 2 Soit (fn)n∈Nune suite dans L1(R). On suppose que
1. fn(x)→f(x)p.p
2. Il existe g∈L1(R)telle que, pour chaque n,|fn(x)| ≤ g(x)p.p, alors
f∈L1(R)et on a kf−fnk1→0(et donc RRfn→Rf).
3

Th´eor`eme 3 L1(R)est complet
Th´eor`eme 4 Soient α, β, a, b ∈Rtels que α≤βet a≤b. Soit f: [α, β]×
[a, b]→Rune fonction d´efinie pour tout t∈[α, β]et p.p. dans [a, b]. On
suppose que pour tout t∈[α, β],x→f(t, x)est dans L1(a, b)et on pose
F(t) = Zb
a
f(t, x)dx
Continuit´e : Sous les hypoth`eses suivantes :
1. Pour presque tout x, t→f(t, x)est continue sur [α, β].
2. Il existe g∈L1(a, b)telle que pour presque tout xet pour tout t∈[α, β]
|f(t, x)| ≤ g(x)
F est continue sur [α, β].
D´erivabilit´e : Sous les hypoth`eses suivantes :
1. Pour presque tout x,t→f(t, x)est d´erivable sur [α, β]
2. Il existe h∈L1(a, b)tel que pour presque tout x et pour tout t∈[α, β],
|∂f
∂t (t, x)| ≤ h(x)
F est d´erivable sur [α, β]et F′(t) = Rb
a
∂f
∂t (t, x)dx ∀t∈[α, β]
Remarques :
1. Dans le th´eor`eme 4, on peut remplacer [a, b] par un sous ensemble Ade
R.
2. On peut aussi remplacer [α, β] par un intervalle Iquelconque de R. En
pratique, pour montrer que Fest continue (resp. d´erivable) sur I, il suffit
que les hypoth`eses soient v´erifi´ees sur tout intervalle [α, β]⊂Iavec β−α
petit.
1.7 Int´egrale des fonctions de plusieurs variables
On peut ´egalement d´efinir une notion d’int´egrale pour des fonctions d´efinies
sur RNou une partie A⊂RN. On proc`ede exactement de la mˆeme fa¸con en
rempla¸cant la condition 3 du paragraphe 1 par :
Si aj, bj∈Ravec aj< bjj= 1,···, N et si B=
N
Q
j=1
[aj, bj], on a
ZR
χB=
N
Y
j=1
(bj−aj)
Tous les r´esultats s’´etendent `a RN(sauf la proposition 2).
4

Th´eor`eme (Tonelli) 5 Soient Ω1⊂RN1et Ω2⊂RN2des ouverts et soit
f: Ω1×Ω2→R,Rou C. On suppose que :
ZΩ2|f(x, y)|dy < +∞p.p.x ∈Ω1
et que : ZΩ1
(ZΩ2|f(x, y)|dy)dx < +∞
Alors f∈L1(Ω1×Ω2).
Remarque : les rˆoles de Ω1et Ω2sont interchangeables.
Th´eor`eme (Fubini) 6 On suppose que f∈L1(Ω1×Ω2). Alors pour presque
tout x∈Ω1,
f(x, y)∈L1
y(Ω2)et ZΩ2
f(x, y)dy ∈L1
x(Ω1)
De mˆeme, pour presque tout y∈Ω2,
f(x, y)∈L1
x(Ω1)et ZΩ1
f(x, y)dx ∈L1
y(Ω2)
De plus, on a :
ZΩ1
dx ZΩ2
f(x, y)dy =ZΩ2
dy ZΩ1
f(x, y)dx =ZΩ1×Ω2
f(x, y)dxdy
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