Chapitre 1 Intégration

Chapitre 1
Intégration
Définition : R est l’ensemble des réels auquel on ajoute −∞ et +∞.
1.1
Intégrales des fonctions positives
On admet l’existence d’une application qui à f : R → RR+ (dénotée par la
suite fonction positive) fait correspondre un élément noté R f dans R+ qui
satisfait les propriétés suivantes :
1. L’application est linéaire
2. Soient f, g deux fonctions positives telles que f (x) ≤ g(x) pour tout x
alors :
Z
Z
f≤
g
R
R
R
3. soit A = [a, b], alors R χA (x) = (b − a) où χA désigne la fonction caractéristique de l’ensemble A.
4. convergence monotone de Beppo-Levi
Si fn : R → R+ est une suite croissante, on a :
Z
Z
fn ≤ +∞
lim fn (x)dx = lim
R n→+∞
Si A ⊂ R, on pose m(A) =
1.2
R
R
n→+∞
R
χA .
Ensembles négligeables - propriétés vraies
presque partout
Définition 1 Soit A ⊂ R. Si m(A) = 0, on dit que A est négligeable.
Remarque : une réunion finie ou dénombrable d’ensembles négligeables est
négligeable.
1
Définition 2 Soit P (x) une propriété faisant intervenir les points x ∈ R. On
dit que P est vraie presque partout (p.p) si l’ensemble sur lequel elle est fausse
est de mesure nulle.
Théorème 1 Soit f : R → R+ . On a
Z
f = 0 ⇔ f (x) = 0
1.3
p.p.
Fonctions intégrables (au sens de Lebesgue)
Soient f et g des fonctions de R dans R. Posons A = {x ∈ R; f (x) 6= g(x)}.
D’après la définition 2, on a :
f =g
p.p ⇔ m(A) = 0
On appelle classe d’équivalence de f pour l’égalité presque partout l’ensemble
{g : R → R; f = g p.p}.
Définition 3 Soit f : R → R̄. On dit que f est sommable (ou intégrable au
sens de Lebesgue) si
Z
|f | < +∞
R
On définit alors l’intégrale de f par :
R
f=
R
R
f −
R +
R
R
f−
Remarques :
– On a f = f+ − f− et |f | = f+ + f−
– Soient f et g : R → R. Si f = g p.p, on a :
f sommable ⇔ g sommable
et alors :
Z
R
|f | =
Z
R
|g| et
Z
f=
R
Z
g
R
Définition 4 On note L1 (R) l’espace vectoriel des classes d’équivalence des
fonctions sommables
Proposition 1 Nous avons les propriétés suivantes :
R
1. L’application de L1 (R) → R, f → R f est une forme linéaire
R
R
2. Si f et g sont dans L1 (R) et f ≤ g alors R f ≤ R g
3. Soient f : R → R et g ∈ L1 (R), vérifiant |f | ≤ g. Alors f ∈ L1 (R).
4. Soit f : R → R. f ∈ L1 (R) ⇔ |f | ∈ L1 (R).
2
5. Soit f ∈ L1 (R), alors |
R
f| ≤
R
|f |
R
6. Soit f ∈ L1 (R). La quantité kf k1 = R |f | est une norme sur L1 (R).
R
R
Applications à valeurs dans C
Soit f : R → C une application. f est sommable si et seulement si Re(f ) et
Im(f ) le sont.
1.4
Intégration sur un sous-ensemble
Soit A ⊂ R un sous-ensemble et soit f une fonction définie sur A. On note
fA la fonction égale à f sur A et à 0 sur CA . On dit que f est sommable sur
A si fA est sommable et on pose :
Z
Z
f=
fA
A
R
On note L1 (A) l’e.v. des classes d’équivalence sur A.
1.5
Intégrale d’une fonction définie p.p
Soit f une fonction définie p.p sur R et f˜ un prolongement de f à R. Si f˜
est
R sommable, tout autre prolongement est aussi sommable sur R et on note
f l’intégrale de f˜ sur R.
R
Proposition 2 Soient a, b ∈ R avec a < b. Si f ∈ C[a, b], alors f est sommable et l’intégrale de f au sens de Lebesgue est la même que son intégrale au
sens de Riemann.
Applications :
1. Soit f (t) =
1
.
1+t2
Montrez que f ∈ L1 (R).
2. Montrez que f (t) =
1.6
sin(t)
t
n’appartient pas à L1 (R).
Théorème de convergence, de continuité
et de dérivation sous le signe somme
Théorème 2 Soit (fn )n∈N une suite dans L1 (R). On suppose que
1. fn (x) → f (x) p.p
2. Il existe g ∈ L1 (R) telle que, pour chaque Rn, |fn (x)|
R ≤ g(x) p.p, alors
f ∈ L1 (R) et on a kf − fn k1 → 0 (et donc R fn → f ).
3
Théorème 3 L1 (R) est complet
Théorème 4 Soient α, β, a, b ∈ R tels que α ≤ β et a ≤ b. Soit f : [α, β] ×
[a, b] → R une fonction définie pour tout t ∈ [α, β] et p.p. dans [a, b]. On
suppose que pour tout t ∈ [α, β], x → f (t, x) est dans L1 (a, b) et on pose
F (t) =
Z
b
f (t, x)dx
a
Continuité : Sous les hypothèses suivantes :
1. Pour presque tout x, t → f (t, x) est continue sur [α, β].
2. Il existe g ∈ L1 (a, b) telle que pour presque tout x et pour tout t ∈ [α, β]
|f (t, x)| ≤ g(x)
F est continue sur [α, β].
Dérivabilité : Sous les hypothèses suivantes :
1. Pour presque tout x, t → f (t, x) est dérivable sur [α, β]
2. Il existe h ∈ L1 (a, b) tel que pour presque tout x et pour tout t ∈ [α, β],
(t, x)| ≤ h(x)
| ∂f
∂t
Rb
F est dérivable sur [α, β] et F ′ (t) = a ∂f
(t, x)dx ∀t ∈ [α, β]
∂t
Remarques :
1. Dans le théorème 4, on peut remplacer [a, b] par un sous ensemble A de
R.
2. On peut aussi remplacer [α, β] par un intervalle I quelconque de R. En
pratique, pour montrer que F est continue (resp. dérivable) sur I, il suffit
que les hypothèses soient vérifiées sur tout intervalle [α, β] ⊂ I avec β −α
petit.
1.7
Intégrale des fonctions de plusieurs variables
On peut également définir une notion d’intégrale pour des fonctions définies
sur RN ou une partie A ⊂ RN . On procède exactement de la même façon en
remplaçant la condition 3 du paragraphe 1 par :
N
Q
Si aj , bj ∈ R avec aj < bj j = 1, · · · , N et si B =
[aj , bj ], on a
j=1
Z
χB =
R
N
Y
j=1
(bj − aj )
Tous les résultats s’étendent à RN (sauf la proposition 2).
4
Théorème (Tonelli) 5 Soient Ω1 ⊂ RN1 et Ω2 ⊂ RN2 des ouverts et soit
f : Ω1 × Ω2 → R, R ou C. On suppose que :
Z
|f (x, y)|dy < +∞ p.p.x ∈ Ω1
Ω2
et que :
Alors f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ).
Z
(
Ω1
Z
Ω2
|f (x, y)|dy)dx < +∞
Remarque : les rôles de Ω1 et Ω2 sont interchangeables.
Théorème (Fubini) 6 On suppose que f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ). Alors pour presque
tout x ∈ Ω1 ,
Z
1
f (x, y)dy ∈ L1x (Ω1 )
f (x, y) ∈ Ly (Ω2 ) et
Ω2
De même, pour presque tout y ∈ Ω2 ,
f (x, y) ∈
L1x (Ω1 )
De plus, on a :
Z
Z
Z
f (x, y)dy =
dx
Ω1
Ω2
Ω2
Z
et
dy
Ω1
Z
f (x, y)dx ∈ L1y (Ω2 )
f (x, y)dx =
Ω1
5
Z
Ω1 ×Ω2
f (x, y)dxdy
Chapitre 2
Bases Hilbertiennes et Séries de
Fourier
Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux espaces de Hilbert pour ensuite introduire les décompositions des fonctions périodiques sur des bases de
Fourier.
2.1
Espaces de Hilbert-Bases Hilbertiennes
Définition 1 Un espace préhilbertien est un espace vectoriel H muni d’un
produit scalaire. Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour
la norme associée au produit scalaire.
Définition 2 On note L2 (I), l’espace vectoriel des classes d’équivalence de
fonctions de carré intégrable sur I
R
Théorème 1 Muni du produit scalaire < f, g >= I f ḡ, l’espace L2 (I) est un
espace de Hilbert.
Les espaces de Hilbert ont la propriété de posséder des bases dénombrables,
appelées bases Hilbertiennes. Elles sont définies de la manière suivante :
Définition 3 La famille (en )n∈N est une base Hilbertienne si et seulement si :
1. Les en sont deux à deux orthogonaux et de norme 1, c’est à dire
1 si n = m
m
< en , em >= δn =
0 si n 6= m
P
2. ∀x ∈ H x =
< x, en > en
n≥0
Théorème 2 Soit H un espace de Hilbert et soit (en )n∈N une famille orthonormée d’éléments de H. Posons B = {en ; n ∈ N}. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
6
i) (en )n∈N est une base Hilbertienne de H
ii) Tout élément de H est limite de combinaisons linéaires finies d’éléments
de B
iii) Si x ∈ H et < x, en >= 0 ∀n, alors x = 0
iv) ∀x ∈ H :
X
kxk2 =
| < x, en > |2 Egalité de Parseval
n≥0
v) ∀x, y ∈ H, on a
< x, y >=
X
< x, en > < y, en >
n≥0
P
De plus, si (xn )n∈N est une famille d’éléments de C telle que
|xn |2 converge,
n≥0
P
alors la série
x
e
est
convergente
dans
H
et
sa
somme
est l’unique
n≥0 n n
élément de H tel que < x, en >= xn ∀n ∈ N.
2.2
Bases Hilbertiennes de L2p(0, a)
On considère l’espace L2p (0, a) = {f ∈ L2p (0, a); f de période a} muni du
produit scalaire
Z a
< f, g >=
f (x)g(x)dx
0
et la famille (en )n∈Z définie par
nx
1
en (x) = √ e2iπ a .
a
Dans ce qui suit on note fN (t) =
suivantes :
P
t
|n|≤N
cn (f )e2iπn a . On a alors les propriétés
Théorème 3 (en )n∈Z est une base hilbertienne de L2p (0, a). Donc pour tout
f ∈ L2p (0, a) on a :
Ra
P
x
1. f =
cn (f )en avec cn = cn (f ) =< f, en >= √1a 0 f (x)e−2iπn a dx
n∈Z
Ra
P
2
|cn |2
2. kf k2 = 0 |f (x)|2 dx =
n∈Z
La démonstration de ce théorème nécessite les résultats suivants :
S
Lemme 1 Soit k ∈ N {+∞}, I ⊂ R un intervalle ouvert et p ∈ {1, 2}.
Pour tout f ∈ Lp (I), pour tout ǫ > 0, il existe g ∈ C k (I) vérifiant :
i) ∃α, β ∈ I α < β tel que g(x) = 0 ∀x ∈ I ]α, β[.
7
ii) kf − gkp ≤ ǫ
La démonstration de ce lemme est admise.
Nous utiliserons aussi le lemme suivant :
Lemme 2 Si f appartient à C 2 [0, a] et est a-périodique. La série de Fourier
de terme général cn (f )en converge uniformément vers f sur [0, a].
Preuve : En faisant successivement deux intégrations par parties on obtient :
Z a
nx
e2iπ a
cn (f ) =
f (x) √
a
0
Z a ′
nx a
√
f (x)e2iπ a
f (x) 2iπnx
− a
=
e a dx
√ 2iπn
2iπn
a a
0
0
#a
"
Z a
2iπnx
3
a
3 e
a2
′′
2iπ nx
′
a dx
−
f
(x)e
= f (x)a 2
4πn2
4π 2 n2 0
0
Z a
3
nx
a2
= − 2 2
f ′′ (x)e2iπ a dx
4π n 0
5
On déduit alors |cn (f )| ≤ 4πa22n2 kf ′′ k∞ , la série converge donc normalement .
Passons alors à la démonstration du théorème proprement dite.
Preuve : Soit f ∈ L2p (0, a) et soit ǫ > 0. Comme f ∈ L2 (0, a), il existe
g ∈ C 2 (0, a) à support inclus dans ]0, a[ et telle que kf − gkL2 (0,a) ≤ ǫ. On
prolonge g par périodicité de période a. Alors :
X
∃N0 ∈ N tel que ∀N ≥ N0 kg −
cn (g)en k∞ ≤ ǫ
|n|≤N
Comme
kg −
X
|n|≤N
cn (g)en kL2 (0,a) ≤
√
akg −
X
|n|≤N
cn (g)en k∞
On obtient finalement :
kf −
X
|n|≤N
cn (g)en kL2 (0,a) ≤ (1 +
√
a)ǫ
f s’écrit donc comme limite de combinaisons linéaires finies des (en )n∈Z qui
définit donc une base Hilbertienne de L2 (0, a) .
2.3
Convergence dans L2p(0, a)
En utilisant les propriétés d’espace de Hilbert pour L2p (0, a) nous pouvons
montrer les résultats suivants :
8
Théorème 4 si f ∈ L2p (0, a) alors fN tend vers f dans L2p (0, a), autrement
dit :
Z a
|f (t) − fN (t)|2 dt → 0
N →+∞
0
2.4
Autres théorèmes de convergence
On note L1p (0, a), l’ensemble des fonctions périodique de période a intégrable
sur [0, a].
Théorème (Dirichlet) 5 Soit f ∈ L1p (0, a). Si en un point t0 les limites
−
f (t+
0 ) et f (t0 ) existent, de même que les dérivées de droite et de gauche en t0
−
alors fN (t0 ) → 21 (f (t+
0 ) + f (t0 )) quand N → +∞.
Théorème 6 Si la fonction f de période a est continue sur R et si elle admet
sur [0, a] une dérivée, sauf éventuellement en un nombre fini de points ; si de
plus f ′ est continue par morceaux sur [0, a] alors :
i) La série de Fourier de f ′ s’obtient en dérivant termes à termes celle de
f
ii) Les coefficients de Fourier de f vérifient
+∞
X
n=−∞
|cn | < +∞
iii) La série de Fourier de f converge normalement (donc uniformément)
sur R vers f .
dém : La fonction f est continue et C 1 par morceaux. Notons (ai )i=1,···,n les
points de discontinuités. Alors, sur chacun des intervalles [ai , ai+1 ], on peut
faire des intégrations par parties.
démonstration de i) :
′
cn (f ) =
=
Z
a
e
−2iπnt
a
f (t) √
0
"
n−1
X
i=1
=
′
e
dt
#ai+1
−2iπnt
a
a
f (t) √
a
ai
"
e
−2iπnt
a
+ f (t) √
a
#a1
0
"
e
−2iπnt
a
+ f (t) √
2iπn
cn (f )
a
démontrons alors le point ii) :
a
a
|cn (f ′ )| ≤
|cn (f )| =
2π|n|
4π
9
1
+ |cn (f ′ )|2
n2
a
#a
an
2iπn
+
a
Z
a
0
nt
e−2iπ a
f (t) √ dt
a
P
P
Comme (en )n∈Z est une base de Hilbert, n∈Z |cn (f ′ )|2 converge donc n∈Z |cn (f )|
converge donc la série de Fourier convrege normalement donc uniformément
(on a donc par la même démontré le point iii)) .
Un autre théorème moins connu mais très utile en pratique porte sur la
convergence des séries de Fourier des fonctions à variations bornées.
Définition 4 On dit qu’une fonction est à variation bornée sur [a, b], ce qu’on
notera f ∈ V B[a, b], s’il existe M > 0 tel que, quel que soit n ∈ N,
n
X
k=0
|f (tk+1 ) − f (tk )| ≤ M
pour toute subdivision a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b de [a, b].
Pour ce type de fonctions, nous avons le théorème de convergence suivant :
Théorème 7 Soit f : R → C une fonction périodique, à variation bornée sur
une période. Alors :
−
i) ∀t0 ∈ R fN (t0 ) → 12 f (t+
0 ) + f (t0 )
ii) Si en outre f est continue sur un intervalle borné [α, β], fN converge
uniformément vers f sur [α, β].
Nous avons par ailleurs l’important résultat :
Théorème (Riemann-Lebesgue) 8 Soient I un intervalle de R, f ∈ L1 (I)
et ω ∈ R {0}. Alors l’intégrale :
Z
An (ω) = f (x)einωx n ∈ Z
I
existe et An (ω) → 0 quand |n| → +∞
Remarques :
1. Nous avonsPles inclusions L2 (I) ⊂ L1 (I). Donc, on ne peut rien dire a
|cn |2 si f ∈ L1 (I).
priori sur
n∈Z
2. Lorsque f appartient à L1 (I), la plupart des résultats de convergence
auxquels on pourrait s’attendre sont faux : la série de Fourier de f ne
tend pas vers f dans L1 (I), fN (t) ne tend pas forcément vers f (t) pour
presque tout t et, si f est continue sur R, fN (t) ne tend pas forcément
vers f (t) pour tout t.
10
Chapitre 3
Transformée de Fourier des
fonctions, convolution des
fonctions, transformée de
Fourier d’une convolution de
fonctions
3.1
Transformée de Fourier dans L1(R)
Définition 1 Soit f ∈ L1 (R). On pose :
Z
F f (ξ) = fˆ(ξ) =
e−2iπxξ f (x)dx
R
et
Ff =
Z
e2iπxξ f (x)dx
R
pour tout ξ dans R. F f = fˆ est la transformée de Fourier de f et F f est la
transformée de Fourier conjuguée.
Remarques : au sens de la notion d’intégrale définie précédemment, les transformées de Fourier n’ont de sens que pour des fonctions de L1 (R).
Proposition 1 On a les propriétés suivantes :
1. F et F sont linéaires
2. F f = F f
3. Soient a ∈ R∗ et f ∈ L1 (R). Si g(x) = f (ax), g ∈ L1 (R) et ĝ(ξ) =
−2iπaξ ˆ
4. τc
f (ξ) ∀ξ ∈ R (théorème du retard).
a f (ξ) = e
11
1 ˆ ξ
f( a )
|a|
5. τa fˆ(ξ) = ĝ(ξ) où g(x) = e2iπax f (x) (théorème de la modulation).
Théorème 1 Soit f ∈ L1 (R), on a :
T
1. F f = fˆ ∈ C 0 (R) L∞ (R)
2. kfˆk∞ = sup |fˆ(ξ)| ≤ kf k1
ξ∈R
3.
lim fˆ(ξ) = 0 (Théorème de Riemann-Lebesgue)
|ξ|→+∞
Preuve : Pour montrer que la transformée de Fourier est continue, on applique
le théorème de continuité d’une intégrale dépendant d’un paramètre.
Montrons alors le théorème de Riemann-Lebesgue. D’après le chapitre précédent,
nous savons que les fonctions C 1 à support compact sont denses dans L1 (R).
Soit ǫ > 0, alors il existe gǫ ∈ C 1 (R) et a et b telle que gǫ (x) = 0 ∀x ∈
/ [a, b]
satisfaisant kf − gǫ k1 ≤ ǫ.
En intégrant par parties gǫ , il vient :
Z
1
(b − a)kg ′k∞
| gǫ (x)e−2iπξx dx| ≤
2iπ|ξ|
R
Le terme de droite tendant vers 0 lorsque |ξ| tend vers l’infini, il existe donc
n0 tel que :
Z
∀|ξ| ≥ n0 | gǫ (x)e−2iπξx dx| ≤ ǫ.
R
Ainsi, on déduit que
Z
Z
Z
−2iπξx
| f (x)e
dx| ≤
|f (x) − gǫ (x)| + | gǫ (x)e−2iπξx dx| ≤ 2ǫ R
R
R
ˆ appartient à L1 (R) et on
Proposition 2 Soient f, g ∈ L1 (R). Alors f ĝ et fg
a:
Z
Z
ˆ
f ĝ =
fg
R
R
Preuve : Remarquez que le théorème de Tonnelli s’applique à la fonction
(x, ξ) → f (x)g(ξ)e−2iπξx .
Théorème 2
1. si x → xk f (x) est dans L1 (R) pour k ∈ {0, · · · , n} alors
fˆ est n fois dérivable et on a :
fˆ(k) (ξ) = gbk (ξ) ∀ξ ∈ R où gk (x) = (−2iπx)k f (x)
T
2. Si f ∈ L1 (R) C n (R) et si f (k) ∈ L1 (R) alors pour tout k ∈ {1, · · · , n}
on a :
(k) (ξ) = (2iπξ)k fˆ(ξ) ∀ξ ∈ R
fd
3. Si f ∈ L1 (R) et si supp(f ) est borné, alors fˆ ∈ C ∞ .
12
Preuve : 1. Pour tout k ≤ n,
∂ k f (x)e−2iπξx
∂k ξ
est continue pour tout ξ et presque
k
−2iπξx
| ∂ f (x)e
|
k
∂ ξ
k
tout x. Par ailleurs,
= |(−2iπx)k f (x)| qui appartient à L1 (R)
donc fˆ est de classe C dans le théorème de dérivation d’une intégrale dépendant
d’un paramètre.
2. Calculons fb′ . En faisant une intégration par parties il vient que :
Z
−2iπξx ∞
′
b
f (ξ) = [f (x)e
]−∞ + f (x)(2iπξ)e−2iπξx dx
R
Remarquons alors que si f est intégrable et C 1 et telle que f ′ soit intégrable
alors
Z x
f (x) = f (a) +
f ′ (t)dt
a
′
comme f est intégrable, l’intégrale a une limite lorsque x tend vers ±∞, donc
f (x) admet une limite quand x tend vers l’infini. D’autre part, cette limite est
ˆ
nécessairement nulle car f est intégrable. On a donc fb′ (ξ) = (2iπξ)f(ξ).
On
conclut en faisant un raisonnement par récurrence.
Exemples de Transformée de Fourier à calculer
– Soient −∞ < a < b < +∞ et f = χ[a,b] .
– On note u(t) la fonction égale à 1 si t > 0 et 0 sinon (fonction de Heavyside). On note par ailleurs, sign(t) la fonction égale à 1 si t > 0 et −1
sinon. On pose par ailleurs un complexe α de partie réelle strictement
positive. Calculez alors les transformées de Fourier suivantes :
i)f (t) = e−αt u(t)
ii)f (t) = eαt u(−t)
k
iii)f (t) = e−α|t|
iv)f (t) = tk! e−αt u(t)
k
v)f (t) = tk! eαt u(−t) vi)f (t) = sign(t)e−α|t|
2
– Soit a > 0 et f (x) = e−ax . Calculez la transformée de Fourier.
3.2
Inversion de la transformée de Fourier dans
L1(R)
Théorème 3
1. Soit f ∈ L1 (R). On suppose que f est continue au point
x ∈ R fixé et que fˆ ∈ L1 (R). Alors on a,
F fˆ(x) = f (x)
2. Soit f ∈ L1 (R) et fˆ ∈ L1 (R) alors
F fˆ(x) = f (x) pour presque tout x
13
Preuve : Nous démontrons seulement le point 1, la démonstration du point
2 étant trop difficile.
2π
Pour n ∈ N∗ , on pose gn (x) = e− n |x| , on a gbn (ξ) = π1 1+nn2 ξ2 . Comme gn est
dans L1 (R), on peut écrire :
Z
Z
2iπxξ
ˆ
f (ξ)gn (ξ)e
dξ =
f (ξ)gbn(ξ − x)dξ
R
R
Le membre de gauche tend vers F fˆ(x) d’après le théorème de convergence
doR
minée. Montrons que le membre de droite tend vers f (x). comme R gbn (ξ)dξ =
1, on peut écrire
Z
Z
f (ξ)gbn(ξ − x)dξ − f (x) = (f (ξ + x) − f (x))gbn (ξ)dξ
R
R
Soit ǫ > 0, il existe η = η(ǫ, x) tel que |y − x| ≤ η ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ ǫ. On
peut alors écrire :
Z
Z
Z
(f (x+ξ)−f (x))gbn (ξ)dξ =
(f (x+ξ)−f (x))gbn (ξ)+
(f (x+ξ)−f (x))gbn (ξ)
|ξ|≤η
R
|ξ|≥η
Pour tout n ∈ N∗ , on a :
Z
Z
(f (x + ξ) − f (x))gbn (ξ) ≤ ǫ gbn (ξ)dξ = ǫ.
|ξ|≤η
De plus,
|
Z
|ξ|≥η
R
f (x)gbn (ξ)| ≤ |f (x)|(1 −
2
arctan(ηn))
π
qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. En outre, comme gbn est paire et
décroissante sur R+
Z
|
f (x + ξ)gbn (ξ)| ≤ gbn (η)kf k1 ,
|ξ|≥η
cette expression tendant vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Le théorème est
donc démontré. .
3.3
L’espace de Schwartz
Définition 2 On note S(R) l’ensemble des fonctions φ : R → C telles que :
– φ ∈ C ∞ (R)
C
– ∀p, n ∈ N, ∃C tel que |φ(p) (x)| ≤ (1+|x|)
n (décroissance rapide)
14
Autrement dit, les fonctions de S(R) sont les fonctions C ∞ dont les dérivées
de tout ordre sont à décroissance rapide.
2
Exemple : φ(x) = e−x
Théorème 4 S(R) a les propriétés suivantes :
1. ∀φ ∈ S(R),
2. ∀φ ∈ S(R),
∀P ∈ C[X] P φ ∈ S(R)
φ′ ∈ S(R)
3. ∀p ≥ 1 S(R) ⊂ Lp (R)
Théorème 5 De plus, F est une bijection (linéaire) de S(R) sur lui-même et
d’inverse F .
Preuve : Soit f appartenant à S(R), comme pour tout k, xk f (x) est dans
L1 (R), fˆ appartient à C ∞ (R). Soit n ∈ N and p ∈ N, on a :
ξ n fˆ(p) (ξ) = ξ n F ((−2iπx)p f (x)) =
1
F (((−2iπx)p f (x))(n) ).
n
(2iπ)
En utilisant les propriétés de stabilité de S(R) par produit par un polynôme
et par dérivation, on obtient que la fonction dont on prend la transformée de
Fourier est dans S(R), donc sa transformée de Fourier est bornée, ce qui prouve
le résultat.
Par ailleurs, comme f et fˆ sont dans L1 (R) et que f est continu, on a
f (x) = F(fˆ)(x). Comme Ff = (F f )σ pour tout f ∈ L1 (R) où fσ (x) = f (−x),
on obtient F F(f ) = F ((F (f ))σ ) = (F F f )σ = f . En remarquant que l’ensemble des fonctions C ∞ à support compact sont
dans S(R) et en utilisant le lemme 1 du chapitre précédent sur la densité de
telles fonctions dans L1 (R) et L2 (R), on obtient le résultat suivant :
Théorème 6 L’espace S(R) est dense dans L1 (R) et dans L2 (R).
Remarque : On peut munir l’espace S(R) d’une norme que nous introduirons
en temps utile.
Théorème 7 Soient f et g appartenant à S(R), on a :
R
R
1. R fˆĝ¯ = R f ḡ
R
R
2. R |fˆ|2 = R |f |2
3.4
Transformée de Fourier dans L2(R)
A partir de la transformée de Fourier sur S(R), nous allons, par densité,
définir la transformée de Fourier sur L2 (R) grâce au théorème de Hahn-Banach
dont voici l’énoncé :
15
3.4.1
Transformée de Fourier dans L2(R)
Théorème (Hahn-Banach) 8 Soient X et Y deux espaces vectoriels normés
avec Y complet. Soit Z un s.e.v dense dans X. si T : Z → Y est un opérateur
linéaire et continu, alors il existe un unique prolongement T̃ : X → Y linéaire
et continu et kT̃ k = kT k.
Preuve : Soit x ∈ X. Il existe (xn )n∈N dans Z tel que kx − xn k → 0 quand
n → +∞. T étant linéaire et continue on a kT xn − T xm k ≤ kT kkxn − xm k et
comme (xn ) est de Cauchy, on en déduit que T xn est de Cauchy dans Y . Y
étant complet, il existe y appartenant à Y tel que T xn → y. y ne dépend pas
de la suite (xn ). En effet, si x′n → x, on a kT xn − T x′n k ≤ kT kkxn − x′n k → 0
quand n tend vers l’infini. Posons alors T̃ x = y. On vérifie aisément que T̃ est
linéaire. Par ailleurs, on a :
kT̃ xk = kyk = lim kT xn k ≤ lim kT kkxn k = kT kkxk
donc T̃ est continue et kT̃ k ≤ kT k.Comme T̃ x = T x pour tout x ∈ Z, on a :
kT̃ k =
sup
x∈X,kxk=1
kT̃ xk ≥
sup
x∈Z,kxk=1
kT k
d’où kT k = kT̃ k. L’unicité de T̃ résulte de la densité de Z dans X .
Théorème 9 La transformée de Fourier de F : S(R) → L2 (R) est continue
de S(R), k.kL2 (R) dans L2 (R). Elle se prolonge de manière unique en une
application linéaire et continue notée encore F : L2 (R) → L2 (R) et on a
kF k = 1.
Théorème 10 F : L2 (R) → L2 (R) est une isométrie. On a :
1. F F = FF = IL2 (R)
R
R
2. ∀ψ, φ ∈ L2 (R)
φψ
=
φ̂ψ̂
R
R
3. ∀φ ∈ L2 (R) kφkL2 (R) = kF φkL2(R)
Propriétés
1. Soient φ, ψ ∈ L2 (R). Alors F φψ et φF ψ ∈ L1 (R) et on a
Z
Z
F φψ =
φF ψ
R
R
T
2. Soit φ ∈ L1 (R) L2 (R). Si on note φ̂ la transformée de Fourier sur L1 (R)
et F f la transformée de Fourier sur L2 (R), on a :
fˆ = F f
16
p.p
3. Soit φ ∈ L2 (R). Posons φn = χ[−n,n] φ. Alors, φn ∈ L1 (R)
kF φ − F φn kL2 (R) → 0
n→+∞
T
L2 (R) et
4. Soit φ ∈ L2 (R). On a F F φ = φσ p.p
T
5. Soit φ ∈ L2 (R) L1 (R). On a :
F (φ̂) = φσ p.p
Applications : Calculer la transformée de Fourier de φ(x) =
3.5
1
α+2iπx
Application de la transformée de Fourier
dans L2(R) : le principe d’incertitude d’Heisenberg
Nous énonçons ici un principe fondamental en traitement du signal qui
postule qu’un signal ne peut être à la fois très bien localisé en temps et en
fréquence. Considérons une fonction f : R → C une fonction telle que f , xf
et ξ fˆ soient dans L2 (R). On note :
Z
2
σf =
x2 |f (x)|2 dx
ZR
2
ˆ 2 dξ
σfˆ =
ξ 2 |f(ξ)|
ZR
Ef =
|f (x)|2 dx
R
On appelle durée utile du signal f la quantité ∆t définie par :
∆t2 =
σf2
Ef
et bande utile du signal la quantité ∆λ définie par :
2
∆λ =
σf2ˆ
Ef
Le principe d’incertitude est une relation entre ∆t et ∆λ qui indique que l’on
ne peut pas localiser finement et le signal et sa fréquence. Cette relation est :
1
∆t∆λ ≥
4π
et résulte de
Proposition 3 Soit f : R → C une fonction de classe C 1 telle que f, f ′ et xf
soient dans L2 (R). On a :
Ef
σf σfˆ ≥
4π
17
3.6
Convolution des fonctions
R
Définition R3 Soient f et g des fonctions de R dans C. Si la fonction R f (x−
y)g(y)dy = R f (y)g(x − y)dy existe, on l’appelle convolution de f par g et on
la note f ∗ g = g ∗ f .
Remarque : la convolution n’est pas toujours définie.
3.6.1
Convolution dans L1(R)
Théorème 11 Nous avons les propriétés suivantes :
1. Soient f, g ∈ L1 (R). Alors f ∗ g est définie presque partout et f ∗ g ∈
L1 (R). De plus :
kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1
2. Soient f, g, h ∈ L1 (R), alors (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
3. Soient f, g, fn , gn ∈ L1 (R). Si kfn − f k1 → 0 et kgn − gk1 → 0, alors
kfn ∗ gn − f ∗ gk1 → 0
3.6.2
Convolution par un élément de L1(R)
Si f ∈ L1 (R), la convolution f ∗ g existe pour une classe importante de
fonctions g et f ∗ g a les propriétés de régularité de g.
Théorème 12 On a :
1. Si g ∈ L∞ (R), alors f ∗g est définie partout et f ∗g est bornée (kf ∗gk∞ ≤
kf k1 kgk∞ )
2. Si g ∈ C p (R) et si g (k) est bornée pour k = 0, · · · , p alors :
i) f ∗ g ∈ C p (R)
ii) (f ∗ g)(k) = f ∗ g (k)
Remarque : Si f ∈ L1 (R) et g ∈ L∞ (R), on peut montrer f ∗ g est continue.
3.6.3
Convolution dans L2(R)
Théorème 13 Soient f et g dans L2 (R). Alors f ∗ g est définie partout et
kf ∗ gk∞ ≤ kf k2kgk2
Remarque : on peut montrer que f ∗g ∈ C(R) et que f ∗g → 0 quand x → +∞)
18
3.7
Convolution et transformée de Fourier de
fonctions
3.7.1
Convolution et transformée de Fourier dans L1(R)
Théorème 14 Soient f et g appartenant à L1 (R), alors :
f[
∗ g = fˆĝ
Si de plus fˆ et ĝ sont dans L1 (R) alors :
3.7.2
fcg = fˆ ∗ ĝ
Convolution et Transformée de Fourier dans L2(R)
La situation est différente puisque f ∗ g n’est pas forcément dans L2 (R)
lorsque f et g le sont. En revanche, nous avons la propriété suivante :
Théorème 15 Soient f et g dans L2 (R). On a :
i) f ∗ g = F(fˆĝ)(t) pour tout t dans R
ii) fcg = fˆ ∗ ĝ(t) pour tout t dans R
19
Chapitre 4
Formule de Shannon dans L1(R),
Transformée de Fourier discrète
4.1
4.1.1
Formule de Shannon dans L1(R)
Coefficient de Fourier d’un signal appartenant à
L1 (R) périodisé
Soit a > 0 un réel et f ∈ L1 (R), on appelle périodisée de f la fonction F
définie par :
n=+∞
X
F (t) =
n=−∞
f (t − na)
Théorème 1 Lorsque f est dans L1 (R), la série
(4.1)
n=+∞
P
n=−∞
f (t − na) appartient à
L1p (0, a). De plus, les coefficients de Fourier de F , défini par (4.1) sont
1 ˆ k
k∈Z
ck (F ) = √ f
a
a
Preuve : Montrons tout d’abord que la fonction F appartient à L1 (0, a). En
effet on a :
Z a X
Z aX
|
f (t − na)| ≤
|f (t − na)|
0
0
n∈Z
=
n∈Z
a
XZ
0
X
|f (t − na)|( convergence monotone)
n∈Z
n∈Z
Z
=
|f (t)| < +∞
R
20
Donc, on a le rsultat souhaité. On peut donc alors calculer le coefficient de
Fourier de F :
Z aX
2iπkt
e− a
ck (F ) =
f (t − na) √ dt
a
0 n∈Z
Z aX
2iπkt
XZ a
e− a
=
f (t − na) √ dt( on a
|f (t − na)| < +∞
a
0
0
n∈Z
n∈Z
donc d’après l’exo 5 du TD d’intégration on peut intervertir intégrale et somme)
Z
2iπku
e− a
=
f (u) √ du( en faisant le changement de variable u = t − na et en sommant)
a
R
k
1
= √ fˆ( ) a a
N.B : Attention ! A ce stade, on ne peut pas dire que la série de Fourier de F
converge vers F (cf cours séries de Fourier).
4.1.2
Formule de Poisson pour les fonctions de L1(R)
dont la transformée est à support compact
On suppose que le signal f est tel que
∃C et α > 1 |f (x)| ≤ C(1 + |x|)−α
pour tout x.
Théorème 2 Sous les hypothèses précédentes F est continue.
Preuve : Pour y ∈ [0, a] et n ∈ Z, posons uk (y) = f (y + ka). Alors
|uk (y)| ≤ C(1 + |y + ka|)−α ≤ C1 (2a + |y + ka|)−α ≤ C( |k| + 1)−α T −α ,
Ce qui entraine la convergence normale de la série de fonctions donc F est
continue .
Comme F est continue, elle est dans L2 (0, a) et l’on peut donc écrire :
X
n∈Z
f (t − na) =
1 X ˆ k 2iπkt
f ( )e a pour presque tout t
a k∈Z a
connue sous le nom de formule de Poisson.
21
4.1.3
Formule de Shannon
Supposons maintenant que fˆ soit à support compact alors la série de Fourier de F converge normalement et on a la formule de Poisson pour tout t.
Considérons alors g(t) = f (t)e−i2πλt . g vérifiant les mêmes hypothèses que f ,
on peut lui appliquer la formule de Poisson en t = 0, pour obtenir
X
1X ˆ n
f (na)e−i2πnaλ =
f ( + λ).
a k∈Z a
n∈Z
1
1
D’après la 1/a périodicité, restreignons-nous à λ ∈ [− 2a
, 2a
]. On suppose de
1
ˆ
ˆ
plus que supp(f) ⊂ [−U, U] et a ≤ 2U . En remarquant que f (λ + na ) est nul si
n 6= 0, d’après les hypothèses faites sur a, on peut écrire :
fˆ(λ) = fˆ(λ)χ[−U,U ](λ)
X
= a
f (na)χ[−U,U ] (λ)e−2iπλna
n∈Z
fˆ étant continue et à support compact, elle appartient à L1 (R) donc par transformée de Fourier inverse :
Z
Z U
X
2iπλt
ˆ
f (t) =
f (na)
f (λ)e
dλ = a
ei2πλ(t−na) dλ
R
= a
f (na)
n∈Z
En posant a =
1
,
2U
−U
n∈Z
X
sin(2πU(t − na))
π(t − na)
on obtient finalement :
f (t) =
X
f (na)
n∈Z
sin( πa (t − na)
π
(t − na)
a
qui constitue la formule de Shannon.
4.2
Transformée de Fourier Discrète
Supposons que l’on dispose d’un signal f de période a, échantillonné avec
un pas d’échantillonnage de Na , pour donner la séquence yk = f (k Na ), k =
0, · · · , N − 1. Si nous supposons que f vérifie les hypothèses du théorème de
Shannon, pour que les échantillons (yk )k∈Z permettent une reconstruction parfaite du signal f originel, il faut que la fréquence maximale de f , λmax , soit telle
N
que |λmax | ≤ 2a
. Il est alors naturel de considèrer le polynôme trigonométrique :
N
p(t) =
−1
2
X
n=− N
2
22
t
−2iπn a
cN
ne
qui interpole f aux points k Na , k = 0, · · · , N − 1 pour approximer f . On doit
donc résoudre le système :
N
−1
2
N
yk =
−1
2
X
k
−2iπn N
cN
ne
=
n=− N
2
N
2
:
N
kp
y k ωN
=
k=0
−nk
cN
n ωN
n=− N
2
On a alors pour tout − N2 ≤ p <
N
−1
X
X
−1
2
X
cN
n
N
−1
X
−k(n−p)
ωN
= NcN
p
k=0
n=− N
2
On peut alors récrire le résultat sous la forme :
cN
p
et en définissant Yn par :
Yn =
N −1
1 X
kp
y k ωN
=
N k=0
0 ≤ n ≤ N2 − 1
N
≤ n ≤ N − 1,
2
cN
n
N
cn−N
on a alors les relations suivantes :
yk =
Yn =
N
−1
X
−nk
Y n ωN
n=0
N
−1
X
1
N
k = 0, 1, · · · , N − 1
nk
y k ωN
k=0
n = 0, 1, · · · , N − 1
L’application qui a la séquence Y associe la séquence y, s’appelle la transformée
de Fourier discrète (TFD) et, celle qui associe y à Y s’appelle transformée de
Fourier inverse.
4.2.1
Approximation des coefficients de Fourier par TFD
Ra
t
On cherche à calculer de manière approchée cn = √1a 0 f (t)e−2iπn a dt. La
méthode des rectangles à gauche conduit à la valeur approchée suivante :
√ N
√ N
−1
−1
aX
aX
k
−2iπn N
−nk
c̃n =
=
yk e
y k ωN
.
N k=0
N k=0
On a bien évidemment c̃n
→ cn (f ). Cependant, il faut faire attention au fait
N →+∞
que l’approximation est périodique de période N. Si possible, il faut considérer
N suffisamment grand pour que c N (f ) soit très petit (on rappelle que cn (f )
2
tend vers 0 (théorème
de
Riemann-Lebesgue)).
On obtient (c̃n )0≤n≤N −1 en
√
a
faisant la TFD de ( N yk )0≤k≤N −1 .
23
4.2.2
Approximation de la transformée de Fourier par
TFD
On suppose maintenant que f a comme support [0, a] et est intégrable sur
[0, a]. Alors la transformée de Fourier de f s’écrit :
Z a
ˆ
f (λ) =
f (t)e−2iπλt dt
0
Comme précédemment, on applique la méthode des rectangles, en considérant
la subdivision ( ka
)
. On a donc :
N 0≤k≤N −1
N −1
a X ka −2iπλ ka
ˆ
N
f ( )e
f (λ) ≈
N k=0 N
en considérant alors λ = na , on obtient
N
−1
X
kn
ka
ˆ n) ≈ a
f(
f ( )e−2iπ N
a
N k=0 N
ˆ n ))0≤n≤N −1 est approché par la TFD de ( a f ( ka ))0≤k≤N −1 .
donc (f(
a
N
N
4.3
Relation entre coefficients de Fourier exacts
et approchés
On suppose que Yn est prolongé à Z tout entier par périodicité N. Considérons
alors
n=+∞
X
t
f (t) =
cn e2iπn a
n=−∞
où l’on suppose pour simplifier que la série est absolument convergente :
n=+∞
X
n=−∞
|cn | < +∞
on peut grouper les indices par paquets de la manière suivantes :
!
!
m=+∞
N
−1 q=+∞
N
−1 q=+∞
X
X
X
X
X
a
mk
nk
−nk
cm ω N
=
cn+qN ωN
=
c−n+qN ωN
f (k ) = yk =
N
m=−∞
n=0
q=−∞
n=0
q=−∞
On en déduit, par transformée inverse, la formule :
q=+∞
Yn =
X
q=−∞
24
c−n+qN
qui conduit à :
Yn − c−n =
X
q6=0
c−n+qN
On voit ainsi que l’approximation à N fixé c−n ≈ Yn est d’autant meilleure que
les coefficients de Fourier tendent plus vite vers 0 lorsque n tend vers +∞.
Remarque : il existe un algorithme rapide de calcul de la transformée de Fourier
discrète dite transformée de Fourier rapide (FFT) qui effectue le calcul de
la transformée de Fourier discrète en O(Nlog(N)) multiplications pour des
données de taille N (N étant une puissance de 2).
4.4
Propriétés de la transformée de Fourier
discrète
On suppose dans la suite que (yk ) → (Yn ), c’est à dire Yn =
FN
PN −1
k=0
kn
yk e−2iπ N .
En périodisant (yk ) sur tout Z, on périodise aussi (Yn ). Dans la suite les suites
(yk ) et (Yn ) sont étendues à Z par périodisation de longueur N. on a alors les
propriétés suivantes :
1. (y−k ) → (Y−n )
FN
2. (ȳk ) → (Y −n )
FN
3. (ȳ−k ) → (Y n )
FN
Avec les mêmes notations que précédemment, on a :
i) (yk ) est paire (resp. impaire) ⇔ (Yn ) est paire (resp. impaire)
ii) (yk ) est réelle ⇔ ∀n ∈ Z Y−n = Y n
iii) (yk ) est réelle paire ⇔ (Yn ) est réelle paire
iv) (yk ) est réelle impaire ⇔ (Yn ) est imaginaire pure, impaire.
Théorème 3 Soient deux suites complexes (xk ) et (yk ), de période N, et leurs
transformées de Fourier discrètes (Xn ) et (Yn ).
i) La suite définie par convolution circulaire
∀k ∈ Z zk =
N
−1
X
xq yk−q
q=0
a pour transformée
(zk ) → (Zn = Xn Yn )
FN
ii) La suite produit a pour transformée
pk = xk yk → Pn
FN
25
avec :
N −1
1 X
Pn =
Xq Yn−q
N q=0
Nous avons aussi une propriété de conservation de la norme :
Théorème 4 Si (yk ) → (Yn ), on a la relation
FN
N
−1
X
N −1
1 X
|yk | =
|Yn |2
N
n=0
k=0
4.5
4.5.1
2
Application de la transformée de Fourier
rapide au calcul de convolution discrète
Calcul d’une convolution périodique
Soient (xn ) et (hn ) deux suites complexes de même période N. On définit
la convolution périodique des deux suites par :
∀n ∈ Z yn =
N
−1
X
hq xn−q
q=0
Le calcul direct de la convolution se fait en N 2 multiplications et N(N − 1)
additions complexes. Si maintenant on calcule la convolution, il est facile de
voir que le calcul s’effectue en O(Nlog(N)) multiplications. On obtient un gain
en temps de calcul.
4.5.2
Convolution non périodique
Soient deux signaux (xn )n∈Z et (hn )n∈Z supposés à support bornés, xn =
0 si n < 0 ou n ≥ M et hn = 0 si n < 0 ou n ≥ Q (Q ≤ M). On définit alors :
yn =
Q−1
X
hq xn−q .
q=0
Les yn sont nuls si n < 0 et n ≥ M + Q − 1. Soit N la plus petite puissance de
2 telle que N ≥ M + Q − 1 (il faut avoir des données de taille une puissance
de 2 pour appliquer la FFT). Par périodisation de période N des suites x et h
(car les signaux d’entrée et de sortie doivent avoir la même période), on obtient
un coût en O(Nlog(N)). Le calcul de la convolution n’est plus rentable par
rapport au calcul direct si Q est très différent de M.
26
Chapitre 5
Distributions
Le cadre fonctionnel définit par les espaces Lp est trop faible pour la
résolution de nombreux problèmes physiques. En théorie des chocs notamment,
il est nécessaire de définir des ”fonctions” localisées en un point et d’intensité
infini. Le cadre mathématique pour définir de tels objets sont les distributions
qui valurent à L. Schwartz (son inventeur), la médaille Fields en 1950.
5.1
Définition des distributions
Le support d’une fonction φ, noté supp(φ) est défini par
t0 ∈
t1 ∈
/
supp(φ) ⇔ ∀ǫ > 0 ∃t ∈]t0 − ǫ; t0 + ǫ[ φ(t) 6= 0
supp(φ) ⇔ ∃ǫ > 0 ∀t ∈]t1 − ǫ, t1 + ǫ[ φ(t) = 0
Définition 1 On note D(R) ou C0∞ (R) l’ensemble des fonctions définies sur
R et à valeurs dans C, infiniment dérivables et à support compact. D(R) est
un espace vectoriel.
Exemples
2
t
1. Posons φ0 (t) = exp(− 1−t
2 )χ]−1,1[ (t). φ0 appartient à D(R).
2. Pour a > 0, on pose φa (t) = φ0 ( at ), alors φa ∈ D(R).
3. Pour a, b ∈ R, a < b, on pose :
Z t ǫ
ǫ Ψa,b (t) =
φ 2ǫ (x − a + ) − φ 2ǫ (x − b − ) dx
2
2
−∞
avec ǫ > 0. Alors Ψa,b ∈ D(R).
Théorème 1 D(R) est dense dans L1 (R) et dans L2 (R)
Définition 2 Soient φn , φ ∈ D(R), ∈ N. On dit que φn converge vers φ dans
D(R) si :
27
i) ∃α, β ∈ R, α < β tels que ∀n
de n).
supp(φn ) ⊂ [α, β], (α et β étant indépendants
(k)
ii) ∀k ∈ N φn → φ(k) uniformément sur R.
Définition 3 Une distribution T sur R est une forme linéaire continue sur
D(R), c’est à dire :
– ∀φ1 , φ2 ∈ D(R), ∀λ ∈ C T (φ1 + λφ2 ) = T (φ1) + λT (φ2 )
– Si φn → φ dans D(R), T (φn ) → T (φ) dans C.
On note D ′ (R) l’ensemble des distributions sur R. C’est un espace vectoriel,
notation : T (φ) ou < T, φ >.
Remarques :
1. Une fois la linéarité de T démontrée, la continuité est équivalente à la
continuité en 0 c’est à dire : φn → 0 dans D(R) ⇒ T (φn ) → 0 dans C.
2. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert. On peut de la même façon définir D(I)
et D ′ (I).
3. Soit N ∈ N∗ et Ω ⊂ RN un ouvert. On peut aussi définir D(Ω) et D ′ (Ω).
Exemples :
1. On note L1loc (R) l’espace vectoriel des classes d’équivalence des fonctions
1
Rintégrables sur tout compact de R. Pour f ∈ Lloc (R), posons < Tf , φ >=
f (x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(R).
R
Comme |f (x)φ(x)| ≤ χsupp(φ) (x)kφk∞ |f (x)|, l’intégrale est bien définie
et il est clair que Tf est une forme linéaire sur D(R). Si φn → 0 dans
D(R), on a :
Z
| < Tf , φn > | ≤
|f (x)|dx kφn k∞
K
où K = [α, β] est tel que ∀n supp(φn ) ⊂ K. Donc < Tf , φn >→ 0 dans
C. Ainsi Tf définit une distribution. On dit que Tf est une distribution
régulière.
2. Soit a ∈ R et φ ∈ D(R). Posons < δa , φ >= φ(a). δa ∈ D ′ (R) (quand
a = 0 on note δ).
3. Soit (an )n∈Z tel que ∀n an ∈ C et soit a > 0 fixé. Pour φ ∈ D(R), on
pose
X
< T, φ >=
an φ(na)
′
T ∈ D (R) et on note T =
P
n∈Z
an δna .
n∈Z
Proposition 1 L’application de L1loc (R) dans D ′ (R) qui a f associe Tf est
linéaire et injective. Elle n’est pas surjective.
28
5.2
Convergence des distributions
Définition 4 On dit que la suite des distributions Tn ∈ D ′ (R) converge vers
la distribution T ∈ D ′ (R) si pour tout φ ∈ P
D(R), la suite < Tn , φ > converge
vers < T, φ > dans C. On dit qu’une série
Tn converge et a pour somme T
n≥0
si la suite SN =
N
P
Tn converge vers T .
n=0
Exemples :
1. Soient an ∈ R, n ∈ N, a ∈ R tel que an → a alors δan → δa .
2. Posons fn (x) = sin(nx), n ∈ N, Tfn → 0
Proposition 2 Soit Tn ∈ D(R), n ∈ N. Si pour tout φ ∈ D(R), la suite
< Tn , φ > a une limite dans C alors Tn a une limite dans D ′ (R).
5.3
Lien avec la convergence des fonctions
La notion de convergence au sens des distributions est en général une notion
de convergence plus faible que la notion de convergence pour les fonctions, nous
avons les résultats suivants :
Proposition 3 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions intégrables qui converge
vers f dans L1 (R). Alors fn converge vers f au sens des distributions.
dém : En effet,
∀φ ∈ D(R) |
Z
R
(fn − f )φ| ≤
Z
R
|fn − f ||φ| ≤ kφk∞ kfn − f k1
p
Remarque : la démonstration s’étend à tous les
S espaces L en utilisant l’inégalité
p
∗
de Hölder (D(R) ⊂ L (R) pour tout p ∈ N {∞}).
Inégalité de Hölder : Soit f ∈ Lp (R) et g ∈ Lq (R) avec 1p + 1q = 1 alors :
Z
R
|f g| ≤
Z
R
|f (t)|
p
p1 Z
R
|g(t)|
q
q1
Proposition 4 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions mesurables qui convergent
ponctuellement presque partout vers une fonction f . S’il existe une fonction
g ∈ L1loc (R) telle que
∀n ∈ N
|fn (x)| ≤ g(x)
p.p.x
alors (fn ) tend vers f au sens des distributions.
Proposition 5 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions dans L1loc (R) qui converge
uniformément sur tout intervalle borné. Alors (fn ) tend vers f au sens des
distributions.
29
5.4
Multiplication d’une distribution par une
fonction C ∞
Le produit de deux distributions quelconques n’est pas possible en général.
En effet, si :
1
f (x) = g(x) = √ pour x ∈ R \ {0}
x
1
pour x 6= 0
f et g sont dans L1loc (R) donc Tf = Tg ∈ D ′ (R). Or f (x)g(x) = |x|
1
et donc f g ∈
/ Lloc (R) et on ne peut pas définir Tf g = Tf Tg . Soit maintenant
1
f ∈ Lloc (R) et g ∈ C ∞ (R). CommeRf g ∈ L1loc (R), on peut définir Tf g ∈ D ′ (R).
Pour φ ∈ D(R), on a < Tf g , φ >= f gφ =< Tf , gφ >, car gφ ∈ D(R).
Définition (et proposition) 5 Soient f ∈ C ∞ (R) et T ∈ D ′ (R). On pose
< f T, φ >=< T, f φ > ∀φ ∈ D(R). Alors f T ∈ D ′(R).
Exemples
1. Si f ∈ L1loc (R) et g ∈ C ∞ (R), on a :
gTf = Tf g
2. Soit a ∈ R et f ∈ C ∞ (R), on a f δa = f (a)δa
P
P
3. Soit a > 0 et ∆a =
δna . Si f ∈ C ∞ (R), on a : f ∆a =
f (na)δna
n∈Z
5.5
n∈Z
Dérivation des distributions
Soit f ∈ C 1 (R), alors f, f ′ ∈ L1loc (R) et on a :
Z
Z
′
< Tf ′ , φ >= f φ = − f φ′ = − < Tf , φ′ > ∀φ ∈ D(R).
D’où :
Définition 6 Soit T ∈ D ′ (R). Posons
< T ′ , φ >= − < T, φ′ >,
∀φ ∈ D(R)
Alors T ′ ∈ D(R).
Proposition 6 Nous avons alors les propriétés suivantes :
1. La dérivation est continue sur D ′ (R), c’est à dire si Tn et T sont dans
D ′ (R) et Tn → T alors Tn′ → T ′ .
2. Toute distribution est indéfiniment dérivable. Si T ∈ D ′ (R) et p ∈ N∗ ,
on a
< T (p) , φ >= (−1)p < T, φ(p) >, φ ∈ D(R)
30
Exemples :
1. Soit f ∈ C 1 (R), alors (Tf )′ = Tf ′ .
2. Y ∈ L1loc (R) (fonction de Heavyside), donc définit une distribution encore
notée Y ∈ D ′(R), on a Y ′ = δ.
3. Posons f (x) = log |x| pour x 6= 0. f ∈ L1loc (R) donc f définit une distribution de D ′ (R). Pour φ ∈ D(R) on a :
Z
′
′
< f , φ >= − < f, φ >= − lim
f (x)φ′ (x)dx
n→+∞
1
|x|≥ n
Théorème (formule des sauts) 2 Soit a ∈ R
1. Soit f ∈ C 1 (R \ {a}) telle que les limites à droite et à gauche de f et f ′
au point a existent (on les note f (a± ) et f ′ (a± )). On a :
f ′ = {f ′} + (f (a+ ) − f (a− ))δa
où f ′ désigne la dérivée de f au sens des distributions (i.e. (Tf )′ ) et {f ′ }
la distribution associée à la dérivée usuelle de f dans R \ {a} (i.e. Tf ′ ).
2. Supposons de plus que f ∈ C 2 (R \ {a}) et que f ′′ (a± ) existent. Alors on
a:
f ′′ = {f ′′ } + (f (a+ ) − f (a− ))δa′ + (f ′ (a+ ) − f ′ (a− ))δa
31
Chapitre 6
Distributions Tempérées,
Transformées de Fourier des
Distributions, Formule de
Shannon et Distributions
Nous avons besoin de définir la transformée de Fourier dans un cadre
plus général pour donner un sens à la transformée de Fourier de signaux
échantillonnés qui sont les signaux rencontrés en pratique. Nous allons ensuite montrer comment les distributions permettent de donner une nouvelle
formulation de la formule de Shannon.
6.1
Les distributions tempérées
définition 1 On appelle distributions tempérées l’ensemble des formes linéaires
continues sur S(R)
Théorème 1 S ′ (R) ⊂ D ′ (R)
Preuve : Comme D(R) ⊂ S(R), si T est linéaire sur S(R) elle est aussi
linéaire sur D(R). Pour définir la continuité de T sur S(R), nous avons besoin
de la notion de convergence vers 0 dans cet espace qui est définie de la manière
suivante :
Φn → 0 dans S(R) ⇔ ∀(p, k) ∈ N2 sup |xk Φn(p) (x)| → 0
x∈R
Si on considère Φn dans D(R), on voit que si Φn tend vers 0 dans D(R) alors
Φn tend vers 0 dans S(R), donc si est T est continue sur S(R), elle l’est aussi
sur D(R) .
32
Pour montrer qu’une distribution est tempérée, on doit a priori utiliser
pour la continuité des fonctions de S(R) qui ne sont pas support compact. En
pratique, nous utiliserons le rsultat suivant :
Théorème 1 Une distribution T appartient S ′ (R), si et seulement si T est
continue sur D(R) pour la convergence induite par S(R).
Preuve : L’implication est immédiate, la réciproque provient du fait que
D(R) est dense dans S(R) (pour la norme sur S(R)). T est linéaire continue
sur D(R) qui est dense dans S(R), donc d’après le théorème de Hahn-Banach
(pour des espaces topologiques...), il existe un unique prolongement linéaire
continu de S(R) dans R .
Nous énonçons maintenant quelques propriétés essentielles des distributions
tempérées :
Proposition 1 Soit T une distribution tempérée.
i) Pour tout k ∈ N, xk T est dans S ′ (R).
ii) Pour tout k ∈ N, la dérivée T (k) est dans S ′ (R)
iii) Les applications T → xk T et T → T (k) sont continues de S ′ (R) dans
S ′ (R).
Exemples classiques de distributions tempérées :
1. Soit f : R → C. On dit que f est à croissance lente si :
∃ c > 0 N ∈ N ∀x ∈ R |f (x)| ≤ c(1 + x2 )N .
Toute fonction à croissance lente est une distribution tempérée.
2. Les fonctions de Lp sont des distributions tempérées.
3. Si la suite (yn ) est à croissance lente alors la distribution
T =
n=+∞
X
yn δna
n=−∞
est tempérée. En particulier, ∆a est tempérée.
6.2
Transformée de Fourier de distributions
Définition 2 On définit la transformée de Fourier des distributions de la
manière suivante :
∀T ∈ S ′ (R), φ ∈ S(R) < T̂ , φ >=< T, φ̂ >
cf .
Remarque : Si f est dans L1 (R) ou L2 (R) alors Tfˆ = T
Nous énonçons tout d’abord le théorème fondamental :
33
Théorème 2 La transformée de Fourier est un application linéaire bijective
et bicontinue de S ′ (R) sur lui-même, d’inverse F défini par :
∀Φ ∈ S(R)
< FT, Φ >=< T, FΦ >
Preuve : Il est immédiat que l’application T → T̂ est linéaire de S ′ (R) dans
lui même. Soit Tn → 0 dans S ′ (R) alors :
∀Φ ∈ S(R)
< T̂n , Φ >=< Tn , Φ̂ >→ 0
car Φ̂ appartient à S(R). Donc l’application est continue.
On montre ensuite que l’inverse est F
∀Φ ∈ S(R)
< F T̂ , Φ >=< T, F (Φ̂) >=< T, Φ >
La démonstration de la continuité de l’application T → F T est la même que
celle de T → T̂ ..
Nous avons alors les propriétés souhaitées suivantes :
Proposition 2 Soit T une distribution tempérée :
\k T
1. pour tout k ∈ N T̂ (k) = (−2iπx)
(k) = (2iπξ)k T̂
2. Td
2iπax T
3. Pour tout a, τa T̂ = e\
4. τa T = e−2iπaξ T̂
Transformées de Fourier des distributions usuelles :
– δ̂ = 1
ˆ a = 1∆1
– ∆
a
a
– Soit f un signal dont les échantillons correspondent à un pas d’échantillonnage
a et forment une suite à croissance lente. On définit l’échantillonnage
de la fonction
f à la fréquence d’échantillonnage a par la distribution
P
f ∆a =
n∈Z f (na)δna . D’après les résultats énoncés plus haut, cette
distribution est tempérée et par continuité de la transformée de Fourier
′
sur
la transformée de Fourier de la fonction échantillonnée est
P S (R),−2iπnaλ
f (na)e
.
n∈Z
6.3 Support d’une distribution et distribution à support compact
Définition 3 Soit T ∈ D ′ (R). Si a, b ∈ R, a < b, on dit que T est nulle
sur ]a, b[ si pour tout φ ∈ D(R) telle que supp(φ) ⊂]a, b[, < T, φ >= 0.
Le support de T , noté supp(T ), est le complémentaire de la réunion des
intervalles ouverts où T est nulle.
34
Exemples
1. Soit f ∈ C 0 (R), alors supp(Tf ) = supp(f ).
2. Posons f = χQ , alors supp(Tf ) = ∅.
3. Si a ∈ R, supp(δa ) = a.
Définition 4 On note E ′ (R), l’espace vectoriel des distributions à support compact
Remarques :
1. On peut montrer que E ′(R) est le dual de C ∞ (R) muni de la topologie suivante : une suite Φn tend vers 0 si et seulement si, pour
(p)
tout p ∈ N, Φn converge uniformément vers 0 sur tout compact.
T est une forme linéaire continue sur C ∞ (R) si et seulement si il
existe un compact K, une constante c et m ∈ N tel que
| < T, Φ > | ≤ c sup sup |Φ(k) (x)|
k≤m x∈K
pour tout Φ appartenant à C ∞ (R).
2. Toute fonction f appartenant à L1loc (R) et à support compact est
dans E ′ (R).
Comme S(R) ⊂ C ∞ (R), nous avons que E ′(R) ⊂ S ′ (R), par conséquent
on peut définir la transformée de Fourier d’une distribution de E ′ (R). On
a alors le théorème suivant :
Théorème 3 La transformée de Fourier d’une distribution de E ′(R) est
une fonction C ∞ à croissance lente aisni que toutes ses dérivées.
6.4
Convolution E ′(R) ∗ D ′(R)
Soient S ∈ E ′ (R) et T ∈ D ′ (R).
i) Il existe une distribution, appelée convolution de S et T notée S ∗ T
telle que pour tout φ dans D(R) on ait :
< S ∗ T, φ >=< St , < Tx , φ(x + t) >>=< Tu , < Sx , φ(x + u) >>
ii) L’application (S, T ) → S ∗ T est continue par rapport à chaque variable.
Cas particulier :
Théorème 4 Soient S ∈ E ′ (R) et T ∈ S ′ (R) alors S ∗ T ∈ S ′ (R)
6.5
Transformée de Fourier E ′ ∗ S ′
Le produit de deux distributions n’étant pas défini, la formule S[
∗T =
Ŝ T̂ n’est pas valable pour des distributions S et T appartenant à S ′ (R).
35
En revanche, la transformée de Fourier de S ∗ T est définie si S ∈ E ′ (R)
et T ∈ S ′ (R). On a alors le théorème suivant :
Théorème 5 Soient S ∈ E ′ (R) et T ∈ S ′ (R). On a :
S[
∗ T = Ŝ T̂
6.6 Translation d’une distribution et distribution périodique
Soit a ∈ R et soit f une fonction définie sur R. La translatée de f par
a est définie par τa f (x) = f (x − a). Supposons f ∈ L1loc (R), on a pour
φ ∈ D(R) :
Z
Z
τa f (x)φ(x) =
R
R
f (x)τ−a φ(x)dx
ce qui nous conduit à définir la translatée d’une distribution T ∈ D ′ (R)
par :
< τa T, φ >=< T, τ−a φ > ∀φ ∈ D(R)
On vérifie que τa T ∈ D ′ (R) et si Tn , T ∈ D ′ (R) sont telles que Tn → T
dans D ′ (R), alors τa Tn → τa T dans D ′ (R). Soit alors a > 0 un réel fixé.
On dit que T ∈ D ′ (R) est périodique si τa T = T .
6.7 Série de Fourier d’une distribution périodique
et Formule de Poisson
Le théorème suivant traduit la formule de Poisson pour les distributions :
Théorème 6 Soit S une distribution à support compact et a > 0. Alors
la distribution :
T = S ∗ ∆a
est périodique de période a, et tempérée. Elle se décompose en série de
Fourier :
1 X n 2iπn t
a
S ∗ ∆a =
Ŝ( )e
a n∈Z a
l’égalité a lieu dans S ′ (R).
Application : Supposons que le signal f appartenant à L1loc (R) et à support compact. On peut donc écrire d’après le théorème précédent.
f ∗ ∆a =
X
n∈Z
f ∗ δna =
X
n∈Z
f (t − na) =
36
1 X ˆ n 2iπn t
a
f ( )e
a n=−∞ a
qui constitue la formule de Poisson (attention, on ne suppose pas la
continuité de f , il faut bien comprendre que cette égalié est vraie dans
S ′ (R)). Remarque : Pour tout Φ dans D(R)
< f ∗ δna , Φ > =
=
=
=
=
< f (x), < (δna )t , Φ(x + t) >>
< f (x), Φ(x + na) >
< f (x), τ−na Φ(x) >
< τna f (x), Φ(x) >
< f (x − na, Φ(x) >
Ce qui justifie la formule précédente.
De façon similaire, si l’on suppose cette fois que ĝ est à support compact,
on a la formule dite forme duale de la formule de Poisson :
+∞
X
n=+∞
X
n
ĝ(λ − ) = a
g(na)e−2iπλna
a
n=−∞
n=−∞
6.8
Formule de Shannon
Si f est un signal appartenant à S ′ (R), à bande limitée, c’est à dire
fˆ ⊂ [−λc , λc ], alors on peut écrire :
X
f (na)e−2iπnaλ =
n∈Z
n
1X
f (λ − ),
a n∈Z
a
ce qui correspond à la forme duale de la formule de Poisson dans S ′ (R).
Si a est assez petit (i. e. a < 2λ1 c ) le premier terme est la reproduction
périodique du spectre de f en lobes séparés de a1 .
Supposons alors que fˆ ∈ L2 (R), on remarque que
F (λ) =
X
n
fˆ(λ − )
a
n∈Z
appartient à L2 ([0, a1 ]), donc on peut la développer en série de Fourier :
X
F (λ) =
cn e2iπλna ,
n∈Z
l’egalité ayant lieu dans L2 (0, a1 ). D’aprés l’unicité des coefficients de
Fourier, on obtient c−n = af (na), cePqui entraine que la formule de
Poisson est valide dans L2 (0, a1 ) et on a n∈Z |f (na)|2 < +∞. Multiplions
alors la fonction F (λ) par le créneau centré :
r(λ) = χ[− 1 , 1 ] (λ)
2a 2a
37
pour obtenir dans L2 (R) :
ˆ =a
f(λ)
+∞
X
f (na)r(λ)e−2iπλna .
n=−∞
Par continuité de F sur L2 (R) et d’après la relation
F [r(λ)e−2iπλna ] = (F r)(t − na) =
sin( πa (t − na))
,
π(t − na)
on obtient la formule d’interpolation :
f (t) =
n=+∞
X
f (na)
n=−∞
sin( πa (t − na)
.
π
(t − na)
a
La convergence de la série vers f a lieu dans L2 (R). Si de plus on a
n=+∞
X
n=−∞
|f (na)| < +∞
la série est uniformément convergente vers une fonction g, continue sur
R. Comme f est C ∞ (R), l’égalité a lieu pour tout t. Ceci est résumé par
le théorème de Shannon sous la forme suivante :
Théorème 7 Soit f un signal ne comportant pas de fréquences supérieures
à une valeur limite λc et qui soit en outre d’énergie finie :
ˆ ⊂ [−λc , λc ]
fˆ ∈ L2 (R) et Supp(f)
Alors on a
∀a > 0
et
∀a ≤
1
2λc
n=+∞
X
n=−∞
f (t) =
|f (na)|2 < +∞
n=+∞
X
n=−∞
f (na)
sin( πa (t − na))
π
(t − na)
a
Cette égalité a lieu au sens de la norme L2 (R). Elle a lieu au sens de la
convergence uniforme (donc en particulier pour tout t réel) si en outre :
n=+∞
X
n=−∞
|f (na)| < +∞
38
Chapitre 7
Solutions tempérées
d’équations différentielles et
filtres analogiques
7.1
Filtres analogiques
La modélisation mathématique des filtres est définie par les données suivantes :
i) deux espaces vectoriels X et Y de signaux d’entrée et de sortie, muni
chacun d’une notion de convergence.
ii) un opérateur linéaire A : X → Y , continu et invariant par translation.
7.2
Exemples de filtres analogiques
On considère le système régi par l’équation différentielle suivante :
q
X
k=0
bk g
(k)
=
p
X
j=0
aj f (j)
ap bq 6= 0
(7.1)
f est l’entrée du système et g = A(f ) la sortie. Un tel système est
évidemment linéaire et invariant par translation. Pour qu’une telle équation
définisse un filtre, il faut donc trouver des espaces X et Y tels que A soit
continue.
39
7.3
Cas où l’entrée est dans S(R) et q ≥ p
Lorsque f appartient à S(R), on peut écrire en considérant la transformée
de Fourier du système que :
q
X
k
bk (2iπλ) ĝ(λ) =
p
X
aj (2iπλ)j fˆ(λ)
(7.2)
j=0
k=0
Ce qui se réécrit en utilisant les polynômes P et Q :
P (x) =
p
X
j
aj x et Q(x) =
j=0
q
X
bk xk
k=0
sous la forme :
ĝ(λ) =
P (2iπλ) ˆ
f (λ).
Q(2iπλ)
Si Q n’admet pas de racines sur l’axe imaginaire alors ĝ définit une
fonction de S(R). Dans ce cas, l’equation différentielle (7.1) est un filtre
car l’opérateur associé est continu de S(R) dans S(R). En effet, fn → 0
S(R)
entraine fˆn → 0 donc ĝn → 0 et par conséquent gn tend vers 0 dans
S(R)
S(R)
S(R).
(2iπλ)
appartient à
Si l’on suppose de plus que do P < do Q alors H(λ) = PQ(2iπλ)
2
L (R) donc elle admet une transformée de Fourier inverse h = F −1 (H).
En décomposant H en élements simples, on peut montrer que h est
bornée et à decroisance rapide (nous le verrons un peu plus loin). On
peut alors écrire :
ĝ = ĥfˆ,
puis, en appliquant le théorème d’inversion dans L2 (R), il vient :
g = h ∗ f.
L’effet du filtrage est donc équivalent, dans ce cas, à une convolution de
f par h.
Remarques :
1. Dans le cas, où do P = doQ, par changement de fonction inconnue on peut abaisser le degré et se ramener au cas précédent (par
exemple :g ′′ − ω 2g = f ′′ et prendre g0 = g − f ). Le changement de
fonction inconnue ne change pas les pôles de Q.
2. Lorsque Q a des racines imaginaires pures ou que do P > do Q, nous
nous servirons des distributions pour résoudre le problème.
40
7.3.1
Solutions généralisées du filtre
La fonction g = h ∗ f peut exister sans que f soit dans S(R) lorsque
do P ≤ do Q. Nous avons vu que le cas do P = do Q se traite par changement de fonction inconnue et nous nous restreindrons au cas do P < do Q,
sans perte de généralités.
le cas do P < do Q, la réponse impusionS Dans
S
1
2
nelle h est dans L (R) L (R) L∞ (R). En utilisant les propriétés de
la convolution, nous pouvons alors écrire que :
Premier cas : f ∈ L1 (R)
S
S
Alors g est dans L1 (R) L2 (R) L∞ (R) car :
kgk1 ≤ khk1 kf k1
kgk2 ≤ khk2 kf k1
kgk∞ ≤ khk∞ kf k1
DeuxièmeScas : f ∈ L2 (R)
g ∈ L∞ (R) L2 (R) car :
kgk2 ≤ khk1 kf k2
kgk∞ ≤ khk2 kf k2
Troisième cas : f ∈ L∞ (R)
alors g ∈ L∞ (R) puisque l’on a :
kgk∞ ≤ khk1 kf k∞
Ces inégalités permettent de conclure que le système g = h ∗ f est un
filtre continu de L∞ (R) dans L∞ (R), de L1 (R) dans Lp (R) (p = 1, 2, ∞)
et de L2 (R) dans Lq (R) (q = 2, ∞).
7.4 Principe général du calcul de h lorsque
dO P < dO Q
H est appelé fonction de transfert du filtre et h la réponse impulsionnelle.
Le principe général pour le calcul de la réponse impulsionnelle est de
décomposer H en éléments simples et de reconnaı̂tre dans chaque élément
simple la transformée de Fourier d’une fonction connue.
(x)
1. Lorsque PQ(x)
n’a que des pôles simples, elle s’écrit sous la forme :
H(λ) =
q
X
k=0
βk
2iπλ − zk
Nous pouvons écrire, en utilisant la transformée de Fourier dans
L2 (R), que :
X
X
βk ezk t u(−t)
βk ezk t u(t) −
h(t) =
k∈K+
k∈K−
41
où K− = {k ∈ {1, 2, · · · , q}, Re(zk ) < 0} et K+ = {k ∈ {1, 2, · · · , q}, Re(zk ) >
0}.
2. Dans le cas ou les pôles sont multiples, on peut écrire :
H(λ) =
mk
l X
X
k=1
βk,m
,
m
(2iπλ
−
z
)
k
m=1
ce qui nous donne cette fois que h est de la forme :




X
X
h(t) = 
Pk (t)ezk t  u(−t)
Pk (t)ezk t  u(t) − 
k∈K+
k∈K−
avec Pk (t) =
mk
P
m=1
7.4.1
m−1
t
.
βk,m (m−1)!
Unicité des solutions généralisées
(x)
Lorsque PQ(x)
n’a pas de pôles sur l’axe imaginaire et que do P ≤ do Q,
on peut définir une solution généralisée
du système (7.1),unique, sous la
S
S
seule condition que f ∈ L1 (R) L2 (R) L∞ (R). A(f ) = g est un filtre
que nous appelerons filtre généralisé A associé à (7.1).
7.4.2
Stabilité des filtres
Définition 1 UnTsystème A : X → Y est stable s’il existe M > 0 tel
que ∀f ∈ L∞ (R) X kAf k∞ ≤ Mkf k∞
On a donc le résultat suivant :
P
n’a pas de pôles sur l’axe imaginaire
Théorème 1 Si do P ≤ doQ et Q
alors le filtre généralisé A est stable.
7.4.3
Filtres réalisables
Définition 2 Un système est dit réalisable (ou causal), si deux signaux
d’entrée identiques pour t < t0 donnent des sorties identiques pour t < t0 .
Si do P ≤ do Q, on peut alors montrer les équivalences suivantes :
Théorème 2 Le filtre généralisé A est réalisable ⇔ Supp (h) ⊂ [0, +∞[.
En utilisant l’écriture du filtre h on peut alors réécrire le théorème
précédent sous la forme :
P
Théorème 3 Le filtre généralisé A est réalisable ⇔ les pôles de Q
sont
situés à gauche de l’axe imaginaire.
Finalement, on déduit que si do P ≤ do Q :
Théorème 4 Le filtre généralisé A est réalisable et stable ⇔ tous les
pôles ont une partie réelle strictement négative.
42
Chapitre 8
Etude des filtres discrets,
transformée en Z
8.1
Définition des filtres discrets
Nous étudions dans ce chapitre les signaux discrets x définis de la manière
suivante :
n=+∞
X
x=
xn δna
n=−∞
On note Xa l’ensemble de ces signaux :
Xa = {x ∈ D ′ (R), x =
n=+∞
X
n=−∞
xn δna }
Il s’agit d’un espace vectoriel que l’on munit de la notion de convergence
induite par celle sur D ′ :
D′
(xN → x) ⇔ (∀n ∈ Z xN
n → xn )
On définit alors les filtres discrets de la manière suivante :
Définition 1 On appelle filtre discret toute application D : X → Xa
linéaire, continue et invariante par les translations τka k ∈ Z où X est
un sous-espace vectoriel de Xa contenant δ, invariant par les translations
τka et muni de la même notion de convergence que Xa .
8.2
Convolution et filtres discrets
On peut montrer dans de nombreux cas qu’un filtre discret se ramène à
une convolution discrète. Nous avons pour deux cas simples la proposition
suivante :
43
Proposition 1 Si h = Dδ est fini ou si h et x sont à support limité à
+∞
P
hk xn−k et est en fait une
gauche, alors y = Dx = h ∗ x. Alors yn =
k=−∞
somme finie.
8.3 Stabilité et réalisabilité des filtres discrets
Les définitions de réalisabilité sont calquées sur le cas continu. Nous
commençons par la réalisabilité :
Définition 2
( Le filtre D : X → Xa est réalisable ) ⇔ ((∀n < 0,
xn = 0) ⇒ (∀n < 0,
yn = 0))
Pour la notion de stabilité des filtres nous avons besoin de l’ensemble :
X
xn δna , sup |xn | < +∞}
la∞ = {x =
n∈Z
muni duquel nous pouvons alors écrire la définition de stabilité :
Définition 3
( Le filtre D : X → Xa est stable ) ⇔ (∃A > 0, ∀x ∈ X ∩ la∞ , kDxk∞ ≤ Akxk∞ )
Les filtres stables et réalisables sont alors caractérisés par :
Théorème 1
P
i) D est stable ⇔
|hn | < +∞
n∈Z
ii) D est réalisable ⇔ ∀ n < 0 hn = 0
8.4
Transformée en z
La transformée de Fourier d’un signal discret tempéré x =
+∞
P
xn δna
n=−∞
est la distribution périodique :
x̂(λ) =
+∞
X
xn e−2iπλna
n=−∞
Le changement de variable z = e2iπλa permet d’obtenir ce qu’on appelle
la transformée en z du signal x :
X(z) =
+∞
X
n=−∞
44
xn z −n
z∈C
Cette série converge sur une couronne de convergence r < |z| < R.
Remarque : la transformée en Z n’existe pas forcément.
Pour l’étude des signaux discrets on remplace très souvent la transformée
de Fourier par la transformée en z. En effet, nous avons vu que la relation
h[
∗ x = ĥx̂ n’est valable que sous des hypothèses assez restrictives. En
revanche, la transformée en Z existe dès que la convolution des signaux
x et h existent. Nous avons la propriété essentielle qui va nous servir par
la suite :
n=+∞
n=+∞
P
P
xn δna ,
hn δna et x =
Théorème 2 Soient deux signaux discrets h =
n=−∞
n=−∞
tels que l’on soit dans les conditions d’existence de la convolution (ce qui
est vrai si h est fini ou si h et x sont a support limité à gauche. Alors,
leurs transformées en z respectives H et X existent dans des couronnes
C1 et C2 . Nous avons alors :
\
∀z ∈ C1 C2 Y (z) = H(z)X(z)
8.4.1
Inversion de la transformée en Z
On peut retrouver x à l’aide de X(z) en inversant la transformée en Z.
Cependant, la fonction X(z) est une fonction holomorphe dont l’inversion se fait par développement en séries de Laurent (comme les séries
entières mais sur Z) ou par la méthode des résidus (hors programme).
Nous n’inverserons donc la transformée en Z que dans les cas simples où
nous reconnaissons des développements en séries entières classiques.
8.4.2 Filtre gouverné par une équation aux différences
linéaires à coefficients constants
On considère un filtre discret vérifiant l’équation aux différences linéaires
à coefficients constants :
p
q
X
X
aj xn−j b0 = 1
bk yn−k =
k=0
j=0
On considère alors la transformée en z du système pour obtenir :
!
!
q
p
X
X
−k
−j
Y (z) =
X(z)
bk z
aj z
j=0
k=0
et on obtient alors :
H(z) =
p
P
j=0
q
P
k=0
45
aj z −j
bk z −k
8.4.3
Stabilité, Réalisabilité et transformée en Z
On peut caractériser la stabilité des filtres à l’aide de leur fonction de
transfert H(z).
Théorème 3
i) Pour que le filtre soit stable, il faut et il suffit que la couronne de
convergence contienne le cercle unité.
ii) Si le filtre est réalisable, il est stable si et seulement si les pôles de
H(z) sont situés à l’intérieur du disque unité.
Sous l’hypothèse que le filtre h cherché soit réalisable, on peut déterminer
ses composantes par récurrence de la manière suivante :

h0 = a0

n
P
bk hn−k n = 1, 2, · · ·
 hn = an −
k=1
Les coefficients yn étant donnés par :
∀n ∈ Z yn =
46
+∞
X
k=0
hk xn−k