TRANSFORM´EES DE FOURIER Notes pour l`agrégation

TRANSFORM´ EES DE FOURIER
Notes pour l’agr´egation
P. Ha¨ıssinsky∗
1 Propri´et´es ´el´ementaires
On se place sur RN. Pour x, y ∈RN,x.y d´esignera le produit scalaire de xet y.
Pour 1 ≤p < ∞, on notera Lp(RN) pour l’espace des fonctions d´efinies sur RN`a valeurs
dans Ctelles que R|u(x)|pdx < ∞. On notera aussi
kukp:= Z|u(x)|pdx1/p ,
pour la norme de udans Lp(RN).
1.1 D´efinitions
D´efinition 1.1 Soit u∈L1(RN). Sa transform´ee de Fourier est la fonction d´efinie sur RN
par la formule:
ˆu(y) := ZRN u(x)e−2iπx.y dx .
On utilisera ´egalement la notation Fu= ˆu.
On remarque que comme |u(x)e−2iπx.y|=|u(x)| ∈ L1(RN), l’int´egrale d´efinissant ˆuest bien
d´efinie et de plus
|ˆu(y)| ≤ Z|u(x)|dx < ∞.
Exercice 1.2 Montrez que pour toute fonction u∈L1(RN)alors ˆuest continue.
∗compil´e `a partir de notes de P. Mathieu
1

1.2 Transformations simples
Soit u∈L1(RN).
Translations: soit a∈RN. Notons τaula fonction τau(x) = u(x−a). Alors τau∈L1(RN)
et de plus
cτau(y) = e−2iπa.y ˆu(y).
Dilatations: soit λ∈R. Notons δλula fonction δλu(x) = u(x/λ). Alors δλu∈L1(RN) et
de plus
d
δλu(y) = |λ|Nδ1/λ ˆu(y).
Notez que δ−1u(x) = u(−x).
Ces deux formules s’obtiennent comme cons´equences du comportement de la mesure de
Lebesgue par translation et dilatation. Les preuves sont ´el´ementaires.
2 Analyse de Fourier sur l’espace de Schwartz
2.1 Quelques notations
Soit α= (α1, ..., αN)∈NNun multi-indice de longueur N. On notera alors |α|=α1+...αN,
α! = α1!...αN!. Par convention, 0! = 1.
Soit x= (x1, ..., xN)∈RN. On notera xαle produit xα=xα1
1...xαN
Net on d´efinit l’op´erateur
de d´erivation partielle: ∂α=∂α1
1...∂αN
No`u ∂jd´edigne la d´eriv´ee partielle par rapport `a la j`eme
coordonn´ee. Ainsi ∂αest un op´erateur qui op`ere α1d´eriv´ees partielles par rapport `a x1puis α2
d´eriv´ees partielles par rapport `a x2... Par convention, on pose ∂0
j=identit´e.
Avec ces notations, la r`egle de Leibniz s’´ecrit:
∂α(uv) = X
β+γ=α
α!
β!γ!∂βu ∂γv ,
o`u la somme porte sur les couples de multi-indices (β, γ) tels que βj+γj=αjpour tout j.
Quant `a la formule d’int´egration par parties, elle devient:
Zv(x)∂αu(x)dx = (−1)|α|Zu(x)∂αv(x)dx ,
pour toutes fonctions uet vde classe C∞et de supports compacts.
2.2 L’espace de Schwartz
D´efinition 2.1 L’espace des fonctions `a d´ecroissance rapide ou encore espace de Schwartz est
l’ensemble
S(RN) := {u∈C∞(RN) : ∀α β ∈NN,sup
x∈RN
|xα∂βu(x)|<∞} .
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Remarquez que S(RN) contient D(RN), l’espace des fonctions C∞`a support compact. Nous
utiliserons ce fait pour montrer que S(RN) est dense par exemple dans L1(RN). (Il faut d’abord
v´erifier que S(RN)⊂L1(RN)).
Soient u, v ∈ S(RN) et α, β ∈NN.
1. Montrez qu’alors uv ∈ S(RN) et ∂βu∈ S(RN)
2. Montrez que x→xαu(x) appartient ´egalement `a S(RN).
Propri´et´e 2.2 OnaS(RN)⊂Lp(RN)pour tout p∈[1,∞[.
D´emonstration. — On ´ecrit que
|u(x)|p= (1 + |x|2)mp|u(x)|p(1 + |x|2)−mp ,
et on remarque que, si 2pm > N alors la fonction (1 + |x|2)−mp est int´egrable. De plus, comme
u∈ S(RN), la fonction (1 + |x|2)mp|u(x)|pest born´ee. On voit ainsi que |u(x)|pest int´egrable
i.e. u∈Lp(RN).
Propri´et´e 2.3 Soit ϕ∈ S telle que ϕ≥0et Rϕ= 1. Alors la suite (ϕk)d´efinie par
ϕk(x) = kNϕ(kx)
est une approximation de l’identit´e.
Propri´et´e 2.4 Soit u∈L1telle que Zuv = 0
pour tout v∈ S. Alors u= 0 dans L1.
D´emonstration. — Puisque Sest dense dans les fonctions continues qui tendent vers 0 `a
l’infini, on a aussi Zuv = 0
pour tout vcontinue `a support compact:
Zuv=Zu(v−vn)≤ kuk1kv−vnk∞
L’unicit´e dans le de repr´esentation de Riesz nous affirme que u= 0.
Notons A±={|f|=±f}. On peut approcher χA±par des fonctions continues en norme....
2.3 Inversion de la transform´ee de Fourier sur S
Th´eor`eme 2.5 (Inversion de la transform´ee de Fourier sur S.)
Soit u∈ S(RN). Alors ˆu∈ S(RN). De plus l’application
F:S(RN)→ S(RN)
u→ˆu
est une bijection lin´eaire telle que F ◦ F =δ−1.
La preuve utilise diff´erents ´el´ements qui ont leur propre int´erˆet. Nous la donnons ci-dessous
en plusieurs paragraphes.
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2.3.1 Transform´ee de Fourier et d´erivations
Propri´et´e 2.6 Soient u∈ S(RN)et α∈NN. Alors ˆuest de classe C|α|et on a
a) \ (−2iπx)αu(x) = ∂αˆu(x),
b) d ∂αu(y) = (2iπy)αˆu(y).
D´emonstration. — Commencez par remarquer que les d´eriv´ees partielles de la fonction
x→e−2iπx.y sont donn´ees par la formule ∂α(e−2iπx.y) = (−2iπy)αe−2iπx.y.
Pour le a), on ´ecrit que
∂αˆu(x) = ∂αZe−2iπx.yu(y)dy
=Z(−2iπy)αe−2iπx.yu(y)dy
=\ (−2iπx)αu(x).
La d´erivation sous le signe Rne pose pas de probl`eme car la fonction y→(−2iπy)αe−2iπx.yu(y)
appartient `a S(RN) et donc `a L1(RN).
On prouve b) par int´egration par parties:
d
∂αu(y) = Ze−2iπx.y∂αu(x)dx
= (−1)|α|Z(−2iπy)αe−2iπx.yu(x)dx
= (2iπy)αˆu(y).
2.3.2 Transform´ee de Fourier de la gaussienne
Lemme 2.7 La fonction w:x→e−π|x|2appartient `a S(RN)et satisfait ˆw=w.
D´emonstration. — Soit αun multi-indice tel que |α|= 1. On a ∂αw(x) = −2πxαw(x). En
prenant la transform´ee de Fourier de cette ´egalit´e et d’apr`es la proposition pr´ec´edente, on voit
que cela implique que (2πyα) ˆw(y) = −∂αˆw(y). On en d´eduit que
∂αˆw
w(y) = 1 w2(y)(w(y)∂αˆw(y)−ˆw(y)∂αw(y)) = 0 .
On r´esoud cette ´equation diff´erentielle: il existe une constante ctelle que w(y) = cˆw(y). On
trouve la valeur de cen ´ecrivant que c=ˆw(0)
w(0) =Re−π|x|2dx = 1.
En effet, on rappelle que
ZR
e−π|x|2dx2 =ZR dx ZR dy e−πx2−πy2
=Z∞
0
rdr Z2π
0
dθ e−πr2
= 2π−1
2πe−πr2∞
0
= 1 ,
d’o`u RRe−π|x|2dx = 1. )
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2.3.3 Fin de la preuve du th´eor`eme d’inversion
Montrons que, si u∈ S alors ˆu∈ S: soient αet βdeux multi-indices. On a alors
(2iπy)α∂βˆu(y) = (2iπy)α\ (−2iπy)βu(y) = d ∂αv(y),
o`u v(x) = (−2iπx)βu(x). La fonction vappartient `a S, donc ∂αv∈L1et donc d ∂αvest born´ee.
On a donc montr´e que la fonction y→(2iπy)α∂βˆu(y) est born´ee pour tous multi-indices αet
βi.e. ˆu∈ S.
Pour terminer la preuve de la formule d’inversion F ◦ F =δ−1, on commence par le
Lemme 2.8 (Relation de dualit´e)
Soient u,v∈ S(RN). Alors Zv(x)ˆu(x)dx =Zu(x)ˆv(x)dx .
D´emonstration. — Par le th´eor`eme de Fubini-Tonelli, on a
Z Z |v(x)u(y)e−2iπxy|dydx =Z|v(x)|dx·Z|u(y)|dy<∞.
Par le th´eor`eme de Fubini,
Zv(x)ˆu(x)dx =Zv(x)Zu(y)e−2iπxydydx
=Zu(y)Zv(x)e−2iπxydxdy
=Zu(x)ˆv(x)dx .
Posons wt(x) = e−πt2|x|2. De l’invariance de la gaussienne par Fourier et des formules de
dilatations, il d´ecoule que ˆwt(y) = t−Ne−πt−2|x|2. On a
Zˆu(y)wt(y)e−2iπx.y dy =Zcτxu(y)wt(y)dy =Zτxu(y) ˆwt(y)dy
=Zu(y−x)t−Ne−πt−2|y|2dy =Zu(ty −x)e−π|y|2dy .
D’une part, comme ˆu∈ S, il est facile d’utiliser le th´eor`eme de convergence domin´ee pour
montrer que Zˆu(y)wt(y)e−2iπx.y dy →t→0Zˆu(y)e−2iπx.y dy =F ◦ F(u)(x).
Par ailleurs,
|u(ty −x)e−π|y|2| ≤ kuk∞e−π|y|2∈L1
donc il est possible d’appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee pour montrer que
Zu(ty −x)e−π|y|2dy →t→0Zu(−x)e−π|y|2dy =u(−x).
En conclusion, nous avons montr´e que F ◦ F(u)(x) = u(−x) = δ−1u(x).
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