Intervalles de fluctuation

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Séquence 9– MA01
Intervalles de fluctua-
tion,estimation
 Dans le chapitre 2, on étudie des intervalles de fluctuation des variables aléatoires
= FX
n
,
nn
fréquences des variables aléatoires binomiales
Xn
de paramètres n et p . On
étudie quelques exemples de prise de décision.
 Dans le chapitre 3, on aborde l’estimation d’une proportion inconnue à partir de celle
d’un échantillon.
Objectifs de la séquence
Séquence 9
Sommaire
1. Pré-requis
2. Intervalles de fluctuation
3. Estimation
4. Synthèse de la séquence
5. Exercices de synthèse
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Séquence 9– MA01
1Pré-requis 1
Échantillonnage
En statistiques, un échantillon de taille n est la liste des n résultats obtenus par
n répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire. Ici l’expérience
répétée est une épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire qu’elle ne prend que deux
valeurs : échec / réussite, oui / non, homme / femme, 0 / 1…
Par exemple, un échantillon de taille 100 du lancer d’une pièce dans lequel on
compte le nombre de fois où on obtient Pile est la liste des résultats obtenus en
lançant effectivement 100 fois la pièce.
Le nombre de réussites dans un échantillon de taille
n suit la loi binomiale
Ꮾ np (;).
On appelle
f la fréquence du nombre de réussites dans l’échantillon.
On a vu en Seconde que :
L’intervalle −+
pnpn
1;1 est un intervalle de fluctuation approché au
seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille
n .
dans certains cas, la probabilité que la fréquence appartienne à l’intervalle
−+ pnpn
1;1 est très proche de 0,95 mais en étant inférieure, c’est
pourquoi on dit que ce sont des intervalles de fluctuation « approchés ».
Dans la pratique, on utilise l’intervalle
−+ pnpn
1;1
pour des probabilités p
comprises entre 0,2 et 0,8 et des échantillons de taille
n supérieure ou égale à 25.
Définition
Un intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille
n , est un intervalle où se situe la fréquence f observée dans un échantillon
de taille n avec une probabilité supérieure à 0,95.
Commentaire :
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Séquence 9– MA01
Tout intervalle qui contient un intervalle de fluctuation au seuil de 95%, est
lui aussi un intervalle de fluctuation à ce même seuil.
L’intervalle
[]
0;1 contient toutes les fréquences, il vérifie la condition de la
définition précédente, mais il est sans intérêt. On cherchera des intervalles
de fluctuation correspondant à des probabilités supérieures à 0,95 et aussi
très proches de 0,95 en particulier dans les prises de décision.
Remarque
Il y a plusieurs sortes d’intervalle de fluctuation. On peut choisir des
intervalles de fluctuation centrés en p comme ceux vus en Seconde, où pour
lesquels la probabilité que la fréquence soit à l’extérieur de l’intervalle à
gauche soit égale à la probabilité que la fréquence soit à l’extérieur de
l’intervalle à droite comme ceux vus en Première, ou…
Par exemple, pour =
p 0,2 et =
n 100, l’intervalle de fluctuation vu en
Seconde est
[]
0,1; 0,3 et celui obtenu en Première est
[]
0,12; 0,28 .
Remarque
On utilisera ici les intervalles de fluctuation au seuil de 95% de la forme
−+ pnpn
1;1.
 On dispose d’un dé bien équilibré, on gagne quand on obtient 1 ou 6. Déter-
miner un intervalle de fluctuation au seuil de 95%, de la fréquence des lancers
gagnants dans les échantillons de taille 100.
 On sait qu’en moyenne 51% des nouveau-nés sont des garçons. Détermi-
ner un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des garçons
nouveau-nés dans des échantillons de taille 25. Que peut-on en déduire pour le
nombre de garçons parmi 25 nouveau-nés ?
Prise de décision
On a découvert une pièce ancienne et on se demande si elle est bien équilibrée.
Comment faire ?
On lance
n fois la pièce et on note la fréquence f d’apparition de Pile.
On détermine un intervalle de fluctuation
In
au seuil de 95%, de la fréquence
d’apparition de Pile dans des échantillons de taille n .
 Exercice
Utilisation
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Séquence 9– MA01
Règle de décision : si f appartient à l’intervalle
I ,
n
on décide que la pièce est équili-
brée, si
f n’appartient pas à l’intervalle
In
on décide que la pièce n’est pas équilibrée.
Dans chacun des deux cas suivants, quelle est la décision prise ?
 =
n 100 et =
f 0,56
 =
n 1000 et =
f 0,560.
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Séquence 9– MA01
2Intervalles de fluctuation
Objectifs du chapitre
Quand on réalise une expérience aléatoire, on observe bien sûr que les résultats
obtenus ne sont pas toujours les mêmes, c’est la fluctuation d’échantillonnage.
Mais on observe aussi que, plus on répète une expérience un grand nombre de
fois, plus la régularité de la fréquence des résultats est grande.
On définit les intervalles de fluctuation asymptotique et on en donne un exemple.
On peut alors décider si on considère que des résultats obtenus lors d’une expé-
rience sont dus au hasard (c’est-à-dire à la fluctuation d’échantillonnage), ou
si on considère qu’ils sont statistiquement significatifs d’une différence avec le
modèle choisi.
Pour débuter
Sur le tableur Open Office, on a simulé 100 échantillons de n lancers d’un dé
tétraédrique bien équilibré.
On a déterminé les fréquences où la face marquée 1 est la face cachée =
p (0,25),
elles sont indiquées en ordonnées sur le graphique.
Dans chacun des trois cas, déterminer :
 Le pourcentage des fréquences appartenant à l’intervalle −+
pnpn
1;1,
 Le pourcentage des fréquences appartenant à
−−+− ppp
nppp n
1, 96 (1 ) ;1,96(1 ) .
A
B
Activité 1
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