Chapitre 2 : Les suites avec MAPLE

(1.1.3)
O
OO
O
(1.1.1)
O
OO
O
O
OO
O
O
OO
O
O
OO
O
(1.1.2)
Chapitre 2 : Les suites avec MAPLE
Généralité sur les suites
Définir une suite
Une suite étant une application sur des entiers, on la définera comme une
fonction à une variable, sauf que l'on n'oubliera pas que la variable est
entière :
Exemple 1 : Définir la suite de terme général u(n)=2n^2+2, avec un
appel paramètrique et un appel par valeur. Puis construire le graphe de
u pour n entre 1 et 20
restart;
u:=n->2*n^2+2; u:= n/2 n
2
C2
u(n); 2 n
2
C2
u(5); 52
plot(u,1..20, style=point);

(1.1.6)
(1.1.5)
O
OO
O
O
OO
O
O
OO
O
O
OO
O
(1.1.4)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
100
200
300
400
500
600
700
800
Exemple 2 : Définir une suite récurrente de type u(n)=f(u(n-1)), avec
u(0)=3 et f:x->1/(x+1), puis donner la valeur de u(12).
restart;
f:=x->1/(x+1);
f:= x/1
xC1
u:=n->f(u(n-1)); u:= n/f u n
K
1
u(0):=3;u(12); u0 := 3
411
665
Représentation des termes d'une suite
La fonction plot permet aussi de représenter graphiquement les termes
d'une suite et d'en déduire ainsi le comportement de la suite à l'infini.

O
OO
O
(1.2.1)
O
OO
O
O
OO
O
(1.2.2)
O
OO
O
Exemple 1: Représenter graphiquement la suite récurrente de type u(n)=f
(u(n-1)), avec u(0)=1 et f:x->1/(x+1) , pour n entre 0 et 20.
restart;
f:=x->1/(x+1);
u:=n->f(u(n-1));
u(0):=1;
f:= x/1
xC1
u:= n/f u n
K
1
u0 := 1
seq([n,u(n)], n=0..20);
0, 1 , 1, 1
2, 2, 2 3, 3, 3 5, 4, 5 8, 5, 8 13 , 6, 13 21 , 7, 21 34 , 8, 34 55 , 9,
55
89 , 10, 89 144 , 11, 144 233 , 12, 233 377 , 13, 377 610 , 14, 610 987 , 15, 987 1597 ,
16, 1597
2584 , 17, 2584 4181 , 18, 4181 6765 , 19, 6765 10946 , 20, 10946 17711
plot([seq([n,u(n)], n=0..20)], style=point);
#puisque u(n) est donnée en fonction de u(n-1) et n'est pas
en fonction de n, on ne peut pas tracer la courbe de u(n)
directement (c.a.d, si on fait plot(u,0..20) et si on
execute Maple on obtient un message d'erreur)

O
OO
O
0 5 10 15 20
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Exemple 2 : Soit f la fonction définie en tout point par
f(x)=(x+1)/(x^2+4). On considère la suite entière suivante
u(n)=f(u(n-1)), avec u(0)=0, écrire et représenter u pour n entre 0 et 10.
restart;
f:=x->(x+1)/(x^2+4);
u:=n->f(u(n-1));
u(0):=0;
plot([seq([n,u(n)],n=0..10)], style=point);
f:= x/xC1
x
2
C4
u:= n/f u n
K
1
u0 := 0

O
OO
O
O
OO
O
0 2 4 6 8 10
0
0,1
0,2
0,3
Calcul des termes d'une suite
On peut calculer simplement la valeur des termes d'une suite et même le
calcul de plusieurs d'entre eux (à l'aide de la demande de boucle seq par
example)
On notera par ailleurs qu'il peut être bon de travailler avec des nombres
en virgule flottante ("1." et non par "1") , afin que Maple ne travaille pas
de manière symbolique.
Considérons l'exemple 1 du pragraphe ci-dessous. donner les valeurs de
u en 1 , 3 et 5, puis les valeurs de u sur une ligne pour tout n entre 1 et
10.
restart;
f:=x->1/(x+1);
u:=n->f(u(n-1));
u(0):=1.;