Maple : fonctions, nombres complexes, listes

Maple : fonctions, nombres complexes, listes
Pour accéder à l’aide de Maple, par exemple sur l’usage de la fonction series, on tape ?series. L’aide fournit
la syntaxe de la commande ainsi que plusieurs exemples. Il faut s’habituer à utiliser l’aide pour voir la syntaxe
et l’usage précis d’une fonction. En pratique, on commence toujours par aller voir les exemples fournis à la fin
des pages d’aides : ils répondent en général à la question.
Penser à faire des sauvegardes régulières : lors de l’examen, ce qui n’a pas été sauvegardé sera perdu.
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Fonctions
Au début de chaque nouvel exercice, vider la mémoire de la session en tapant restart. Pour entrer la fonction
g définie par g(x) = sh x − ex dans Maple, on utilise g :=x->sinh(x) - exp(x). On peut ensuite calculer g(1) à
l’aide de g(1). Pour calculer la fonction dérivée de g, on utilise D(g) ; si on veut l’expression de la dérivée de g,
on utilisera D(g)(x) ou diff(g(x),x). Pour tracer le graphe de g sur [−3; 2], on utilisera plot(g(x),x=-3..2).
Exercice 1. Commandes utiles : cosh, series, plot
1) Après avoir fait restart, entrer dans Maple la fonction f définie par f (x) = ch x + cos x − 2.
2) Calculer f (7). S’il reste du x dans le calcul, revenir à la question 1).
3) Déterminer à l’aide de Maple un équivalent le plus simple possible de f (x) en 0 à l’aide de series.
4) A l’aide de la commande plot, représenter la courbe représentative de la fonction f en vert.
5) Sur le même graphique, représenter la courbe représentative de la fonction f en vert ainsi que celle de son
équivalent en 0 en bleu sur l’intervalle [1.5; 1.5] puis sur l’intervalle [−5; 5].
Exercice 2. Commandes utiles : arctan, sinh, cosh.
1) Après avoir fait restart, entrer la fonction f définie par f (x) = arctan(sh x).
2) Calculer f (42). S’il reste du x dans le calcul, revenir à la question 1).
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pour tout x ∈ R (on pourra utiliser la commandes simplify et diff).
3) Vérifier que f ′ (x) =
ch x
4) a) Faire calculer avec la commande series le développement limité à l’ordre 10 en 0 de f .
b) Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f au voisinage de 0 ?
c) Avec plot, tracer la courbe de f en noir, sa tangente en 0 en bleu et le polynôme de degré 10 tangent à
la courbe de f en 0 en rouge sur l’intervalle [−2; 2].
5) Avec la commande limit, calculer lim f (x).
x→+∞
6) On considère la fonction g définie par g(x) = arctan
sh x
1 + ch x
pour tout x ∈ R.
a) Montrer que f (x) = 2g(x) pour tout x ∈ R.
ln 3
ln 3
et sh
.
b) Simplifier ch
2
2
π
c) En déduire la valeur exacte de tan
et comparer avec la valeur numérique fournie par Maple en
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utilisant evalf.
2
Nombres complexes
Le complexe i est notée I en Maple. La partie réelle du complexe z peut être calculée avec la commande Re
et sa partie imaginaire avec la commande Im. Pour son module on peut utiliser abs, pour un argument argument,
et pour le conjugué conjugate. La commande evalc permet de forcer Maple à faire certains calculs.
Exercice 3. Pour chacun des nombres complexes suivants, entrer le dans Maple en utilisant l’affectation z :=,
déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire ainsi que son module et un argument.
1
"√
5
(1 − i)6
3−i
.
1) z = −
√ 7
"
1+i 3
2iπ
2) z = 1 − 2j + 3j − 4j avec j = exp
.
3
√
√
2 i 2
3
7
10
3) z = −1 + 2α − α + 2α − α avec α =
−
.
2
2
Indication : pour entrer le nombre j dans Maple, on tape j :=exp(2*I*Pi/3).
7
14
21
Exercice 4. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants (on pourra
utiliser la commande assuming).
2 − eix
e(−r+is)t
1) z =
avec x ∈ R.
avec a, b, r, s, t ∈ R.
2) z =
ix
3+e
a + ib
Exercice 5. A l’aide de la commande expand, exprimer cos(7x) et sin(7x) en fonction de cos x et sin x.
Exercice 6. A l’aide de la commande solve, résoudre l’équation z 2 + (1 + 4i)z − 5 + 5i = 0 d’inconnue z ∈ C.
3
Listes
On utilise dans la suite la commande seq qui permet de générer des listes indexées par des entiers. Par exemple
la commande seq(k 2 , k=2..10) donne la liste des carrés des nombres entiers de 2 à 10. Les listes ordonnées de
Maple doivent en général être entre crochets, pour cela il suffit de faire [seq(k 2 ,k=2..10)]
Un point du plan est représenté par
de ses coordonnées : le point de coordonnées (−2, 3) est stocké par
" la liste
[−2, 3]. Pour avoir la liste des points k, k 2 pour k entre 2 et 10, il suffira d’écrire [seq([k,k 2 ],k=2..10)]. On peut
visualiser ces points avec la commande plot. Pour cela, on donne nom à la liste, par exemple L :=[seq([k,k 2 ],k=2..10)],
puis on affiche les points avec plot(L). Par défaut, Maple choisit la couleur et joins les points par des segments
de droite. Mais on peut corriger cela en faisant plot(L, color = blue, style=point)
Exercice 7. Entrer la fonction f définie par f (x) = 2x − ln(ch x), puis vérifier que la fonction est bien entrée.
1) a) Faire calculer par Maple son développement limité en 0 à l’ordre 10 grâce à la commande series.
b) A l’aide de convert(series(f(x),x=0,11),polynom), entrer la fonction polynomiale P contenant la partie
régulière de ce développement limité.
c) Avec plot, tracer sur un même graphique la courbe de f en rouge et la courbe de P en bleu sur l’intervalle
[2; 2].
2) a) Faire calculer la dérivée de f à l’aide de la commande diff.
b) Montrer que f définit une bijection de R dans R. On note g sa bijection réciproque.
c) Que vaut g(0) ?
3) Comme les courbes de f et g sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x, les points de la
courbe de g sont de la forme (f (x), x) pour x ∈ R.
a) A l’aide de la commande seq, entrer la liste des points de la courbe de g obtenus en découpant l’intervalle
[−a; a] en n intervalles de même longueur en utilisant L :=(a,n)->[seq([ , ],k=0..n)]
b) A l’aide de la commande seq, entre une fonction d permettant de dessiner ces points en bleu et en reliant
les points consécutifs par des segments de droite en utilisant d :=(a,n)->plot(L(a,n),color=blue) ;
Pour afficher un dessin il faudra taper d(2, 10) si on prend a = 2 et n = 10.
c) Charger le package plots en utilisant with(plots), tracer sur un même dessin les points de la liste L(3, 20)
ainsi que la courbe de f en rouge et la droite y = x en noir sur l’intervalle [3; 3] en utilisant display.
4) a) Montrer que la fonction g admet des développements limités à tout ordre en 0.
b) Déterminer le développement limité de g en 0 à l’ordre 3.
Indication : la question
" précédente permet d’écrire ce développement limité sous la forme g(x) = a +
bx + cx2 + dx3 + o x3 . On remarque que f (g(x)) = x et que a = 0, puis on utilise la composition de
développements limités pour en en déduire b, c et d.
5) Avec la commande display, tracer sur un même dessin les points de la liste L(3, 20) ainsi que la partie
polynomiale du développement limité de g en 0 à l’ordre 3 sur l’intervalle [3; 3], en limitant les ordonnées
entre 1 et 1.
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