Maple : fonctions, nombres complexes, listes

Maple : fonctions, nombres complexes, listes
Pour acc´eder `a l’aide de Maple, par exemple sur l’usage de la fonction series, on tape ?series. L’aide fournit
la syntaxe de la commande ainsi que plusieurs exemples. Il faut s’habituer `a utiliser l’aide pour voir la syntaxe
et l’usage pr´ecis d’une fonction. En pratique, on commence toujours par aller voir les exemples fournis `a la fin
des pages d’aides : ils r´epondent en g´en´eral `a la question.
Penser `a faire des sauvegardes r´eguli`eres : lors de l’examen, ce qui n’a pas ´et´e sauvegard´e sera perdu.
1 Fonctions
Au d´ebut de chaque nouvel exercice, vider la m´emoire de la session en tapant restart. Pour entrer la fonction
gd´efinie par g(x) = sh x−exdans Maple, on utilise g :=x->sinh(x) - exp(x). On peut ensuite calculer g(1) `a
l’aide de g(1). Pour calculer la fonction d´eriv´ee de g, on utilise D(g) ; si on veut l’expression de la d´eriv´ee de g,
on utilisera D(g)(x) ou diff(g(x),x). Pour tracer le graphe de gsur [−3; 2], on utilisera plot(g(x),x=-3..2).
Exercice 1. Commandes utiles : cosh, series, plot
1) Apr`es avoir fait restart, entrer dans Maple la fonction fd´efinie par f(x) = ch x+ cos x−2.
2) Calculer f(7). S’il reste du xdans le calcul, revenir `a la question 1).
3) D´eterminer `a l’aide de Maple un ´equivalent le plus simple possible de f(x) en 0 `a l’aide de series.
4) A l’aide de la commande plot, repr´esenter la courbe repr´esentative de la fonction fen vert.
5) Sur le mˆeme graphique, repr´esenter la courbe repr´esentative de la fonction fen vert ainsi que celle de son
´equivalent en 0 en bleu sur l’intervalle [1.5; 1.5] puis sur l’intervalle [−5; 5].
Exercice 2. Commandes utiles : arctan, sinh, cosh.
1) Apr`es avoir fait restart, entrer la fonction fd´efinie par f(x) = arctan(sh x).
2) Calculer f(42). S’il reste du xdans le calcul, revenir `a la question 1).
3) V´erifier que f′(x) = 1
ch xpour tout x∈R(on pourra utiliser la commandes simplify et diff).
4) a) Faire calculer avec la commande series le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 10 en 0 de f.
b) Que peut-on en d´eduire pour la courbe repr´esentative de fau voisinage de 0 ?
c) Avec plot, tracer la courbe de fen noir, sa tangente en 0 en bleu et le polynˆome de degr´e 10 tangent `a
la courbe de fen 0 en rouge sur l’intervalle [−2; 2].
5) Avec la commande limit, calculer lim
x→+∞
f(x).
6) On consid`ere la fonction gd´efinie par g(x) = arctan sh x
1 + ch xpour tout x∈R.
a) Montrer que f(x) = 2g(x) pour tout x∈R.
b) Simplifier ch ln 3
2et sh ln 3 2.
c) En d´eduire la valeur exacte de tan π
12et comparer avec la valeur num´erique fournie par Maple en
utilisant evalf.
2 Nombres complexes
Le complexe iest not´ee Ien Maple. La partie r´eelle du complexe zpeut ˆetre calcul´ee avec la commande Re
et sa partie imaginaire avec la commande Im. Pour son module on peut utiliser abs, pour un argument argument,
et pour le conjugu´e conjugate. La commande evalc permet de forcer Maple `a faire certains calculs.
Exercice 3. Pour chacun des nombres complexes suivants, entrer le dans Maple en utilisant l’affectation z :=,
d´eterminer sa partie r´eelle et sa partie imaginaire ainsi que son module et un argument.
1

1) z=−(1 −i)6"√3−i5
"1 + i√37.
2) z= 1 −2j7+ 3j14 −4j21 avec j= exp 2iπ
3.
3) z=−1 + 2α−α3+ 2α7−α10 avec α=√2
2−i√2 2.
Indication : pour entrer le nombre jdans Maple, on tape j :=exp(2*I*Pi/3).
Exercice 4. D´eterminer la partie r´eelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants (on pourra
utiliser la commande assuming).
1) z=2−eix
3 + eix avec x∈R.2) z=e(−r+is)t
a+ib avec a, b, r, s, t ∈R.
Exercice 5. A l’aide de la commande expand, exprimer cos(7x) et sin(7x) en fonction de cos xet sin x.
Exercice 6. A l’aide de la commande solve, r´esoudre l’´equation z2+ (1 + 4i)z−5 + 5i= 0 d’inconnue z∈C.
3 Listes
On utilise dans la suite la commande seq qui permet de g´en´erer des listes index´ees par des entiers. Par exemple
la commande seq(k2, k=2..10) donne la liste des carr´es des nombres entiers de 2 `a 10. Les listes ordonn´ees de
Maple doivent en g´en´eral ˆetre entre crochets, pour cela il suffit de faire [seq(k2,k=2..10)]
Un point du plan est repr´esent´e par la liste de ses coordonn´ees : le point de coordonn´ees (−2,3) est stock´e par
[−2,3]. Pour avoir la liste des points "k, k2pour kentre 2 et 10, il suffira d’´ecrire [seq([k,k2],k=2..10)]. On peut
visualiser ces points avec la commande plot. Pour cela, on donne nom `a la liste, par exemple L :=[seq([k,k2],k=2..10)],
puis on affiche les points avec plot(L). Par d´efaut, Maple choisit la couleur et joins les points par des segments
de droite. Mais on peut corriger cela en faisant plot(L, color = blue, style=point)
Exercice 7. Entrer la fonction fd´efinie par f(x) = 2x−ln(ch x), puis v´erifier que la fonction est bien entr´ee.
1) a) Faire calculer par Maple son d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 10 grˆace `a la commande series.
b) A l’aide de convert(series(f(x),x=0,11),polynom), entrer la fonction polynomiale Pcontenant la partie
r´eguli`ere de ce d´eveloppement limit´e.
c) Avec plot, tracer sur un mˆeme graphique la courbe de fen rouge et la courbe de Pen bleu sur l’intervalle
[2; 2].
2) a) Faire calculer la d´eriv´ee de f`a l’aide de la commande diff.
b) Montrer que fd´efinit une bijection de Rdans R. On note gsa bijection r´eciproque.
c) Que vaut g(0) ?
3) Comme les courbes de fet gsont sym´etriques par rapport `a la droite d’´equation y=x, les points de la
courbe de gsont de la forme (f(x), x) pour x∈R.
a) A l’aide de la commande seq, entrer la liste des points de la courbe de gobtenus en d´ecoupant l’intervalle
[−a;a] en nintervalles de mˆeme longueur en utilisant L :=(a,n)->[seq([ , ],k=0..n)]
b) A l’aide de la commande seq, entre une fonction dpermettant de dessiner ces points en bleu et en reliant
les points cons´ecutifs par des segments de droite en utilisant d :=(a,n)->plot(L(a,n),color=blue) ;
Pour afficher un dessin il faudra taper d(2,10) si on prend a= 2 et n= 10.
c) Charger le package plots en utilisant with(plots), tracer sur un mˆeme dessin les points de la liste L(3,20)
ainsi que la courbe de fen rouge et la droite y=xen noir sur l’intervalle [3; 3] en utilisant display.
4) a) Montrer que la fonction gadmet des d´eveloppements limit´es `a tout ordre en 0.
b) D´eterminer le d´eveloppement limit´e de gen 0 `a l’ordre 3.
Indication : la question pr´ec´edente permet d’´ecrire ce d´eveloppement limit´e sous la forme g(x) = a+
bx +cx2+dx3+o"x3. On remarque que f(g(x)) = xet que a= 0, puis on utilise la composition de
d´eveloppements limit´es pour en en d´eduire b,cet d.
5) Avec la commande display, tracer sur un mˆeme dessin les points de la liste L(3,20) ainsi que la partie
polynomiale du d´eveloppement limit´e de gen 0 `a l’ordre 3 sur l’intervalle [3; 3], en limitant les ordonn´ees
entre 1 et 1.
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