Chapitre 19 POLYNÔMES Enoncé des exercices

Chapitre 19
POLYNÔMES
Enoncé des exercices
1Les basiques
Exercice 19.1 Montrer que
n
k=0
n
k3
k
(1 −X)
3n−2k
X
k
=1−X
3
n
Exercice 19.2 Deux polynômes Uet Vvérifient U(x) sin x+V(x) cos x= 0 pour tout x > 0.Montrez que Uet V
sont tous deux égaux au polynôme nul.
Exercice 19.3 Déterminer le degré de (X
2
+ 1)
n
−2X
2n
+ (X
2
−1)
n
.
Exercice 19.4 (Archimède 1998). On considère l’application Φde R[X]dans lui même définie par
Φ (P) = (2X−1) P−X
2
+1
2P
′
où P
′
désigne le polynôme dérivé. Déterminer le degré de Φ (P)en fonction du degré de P. Résoudre Φ (P) = 1.
Exercice 19.5 Soit P
n
(X) = (1 + X)(1 + X
2
)(1 + X
4
)...(1 + X
2
n
).Calculer les coefficients de P
n
.
Exercice 19.6 Pour n= 0, factoriser le polynôme
P
n
= 1 −X+X(X−1)
2! −... + (−1)
n
X(X−1)...(X−n+ 1)
n!
Exercice 19.7 Déterminer aet bpour que X
2
−aX + 1 divise X
4
−X+b.
Exercice 19.8 Déterminer pet qdans Rpour que P=X
3
+pX +qsoit divisible par Q=X
2
+ 3X−1.
Exercice 19.9 Montrer que X
2
−X+ 1 divise P= (X−1)
n+2
+X
2n+1
Exercice 19.10 Calculer, pour n≥2les restes des divisions euclidiennes de P= (X−3)
2n
+ (X−2)
n
−2par
a) (X−3)(X−2) b) (X−2)
2
(on pourra, pour b dériver l’expression obtenue en écrivant une division euclidienne)
Exercice 19.11 Donner une CNS (Condition nécessaire et suffisante) pour que X
2
+1 divise X
4
+X
3
+λX
2
+µX +2
dans C[X].
Exercice 19.12 Soit t∈R,n∈N,et P
n
(X) = (sin (t)X+ cos (t))
n
.
Déterminer le reste de la division euclidienne de Ppar X
2
+ 1.

1. LES BASIQUES CHAPITRE 19. POLYNÔMES
Exercice 19.13 Déterminer aet bdans Ctels que A=X
2
+X+ 1 divise B=X
4
+aX
2
+bX +a
2
+ 1.
Exercice 19.14 Soit n∈N, montrer que le polynôme P
n
= 1 + X+X
2
2+X
3
3! +···+X
n
n!n’a pas de racine multiple.
Exercice 19.15 Déterminer λ > 0pour que P=X
3
−3X+λait une racine double. Quelle est alors l’autre racine ?
Exercice 19.16 Déterminer tous les polynômes Pde R[X], non nuls, tels que X
2
+ 1P
′′
−6P= 0 et P(1) = 2
Exercice 19.17 Résoudre l’équation suivante dans C[X] : X(X+ 1) P
′′
+ (X+ 2) P
′
−P= 1
Exercice 19.18 Résoudre l’équation suivante dans C[X] : P(2X) = P
′
(X)P
′′
(X)
Exercice 19.19 Résoudre le système :
x+y+z= 2
xyz =−
1
2
1
x+1 y+1 z=1 2
Exercice 19.20 Soit P=X
4
+12X−5, factoriser Psur Ret sur C, sachant qu’il admet deux racines dont le produit
vaut −1.
Exercice 19.21 Olympiade mathématiques du Canada 1996
Si α, β, γ sont les racines de P(X) = X
3
−X−1,calculer
1 + α
1−α+1 + β 1−β+1 + γ 1−γ
Exercice 19.22 Factoriser le polynôme P=X
2
+ 1
2
+X
2
−X−1
2
Exercice 19.23 Trouver trois réels x, y et ztels que
x+y+z=1
x+1 y+1 z= 5
et x
2
+y
2
+z
2
= 15
Exercice 19.24 Soit Ple polynôme à coefficients réels défini par P=X
2
−1
2
−3XX
2
+ 1. Montrer que j=e
2iπ
3
est racine de P.
En déduire la factorisation de Pdans R[X]en produits d’irréductibles et les racines réelles de P.
Exercice 19.25 Déterminer λpour que le polynôme X
4
−2X
3
+λX
2
+ 2X−1ait une racine d’ordre 3au moins.
Exercice 19.26 Soit P=X
3
+X+ 1,on note α, β et γses racines complexes.
1. Calculer
α+β+γ
α
2
+β
2
+γ
2
2. En utilisant P(α) + P(β) + P(γ)que l’on exprimera de deux manières différentes, en déduire la valeur de
α
3
+β
3
+γ
3
.
3. Exprimer le reste de la division euclidienne de X
4
par P. En déduire la valeur de α
4
+β
4
+γ
4
.
Exercice 19.27 Soient α, β, γ les racines de l’équation X
3
−5X
2
+ 6X−1.Déterminer la valeur exacte de
A=1
1−α+1 1−β+1 1−γ
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CHAPITRE 19. POLYNÔMES 2. LES TECHNIQUES
Exercice 19.28 Factoriser sur Rle polynôme P=X
6
+X
3
+ 1.
Exercice 19.29 Résoudre (X+ 4) P(X) = XP (X+ 1) .Généraliser à (X+n)P(X) = XP (X+ 1) où n∈N
∗
Exercice 19.30 Soit P(X) = X
4
+aX
3
+bX
2
+cX+d, où a, b, c et dsont des réels. On sait que P(2i) = P(2 + i) = 0,
que vaut a+b+c+d?
Exercice 19.31 Déterminer apour que P(X) = X
4
+aX +aet Q(X) = X
3
+aX +aaient une racine commune,
préciser cette racine.
Exercice 19.32 Soient Pet Qdans K[X]tels que P◦Q=Q◦P, montrer que si l’équation P(P(x)) = Q(Q(x))
admet une solution, il en est de même de l’équation P(x) = Q(x).
Exercice 19.33 Soit P=aX
n+1
+bX
n
+1 ∈C[X],déterminer une CNS sur (a, b)pour que Pait une racine double.
Exercice 19.34 Un exercice sur la divisibilité.
1. Déterminer deux suites (a
n
)
n∈N
et (b
n
)
n∈N
telle que A
n
=a
n
X
n+1
+b
n
X
n
+ 1 soit divisible par B= (X−1)
2
.
On choisira ainsi pour la suite de l’exercice (a
n
)
n∈N
et (b
n
)
n∈N
.
2. Déterminer le quotient de la division euclidienne de A
n
par Bpour n≥1
3. En déduire une expression simple de
n
k=1
kx
k
si x= 1 est un complexe.
Exercice 19.35 Soient A, B, C et Dquatre polynômes à coefficients réels, on définit alors
P(x) = 
x
1
A(t)C(t)dt,Q(x) = 
x
1
A(t)D(t)dt,R(x) = 
x
1
B(t)C(t)dt et S(x) = 
x
1
B(t)D(t)dt
Montrer que (X−1)
4
divise P(X)S(X)−Q(X)R(X).
Exercice 19.36 Montrer que P=X
3
+pX +qadmet une racine double si et seulement si 4p
3
+ 27q
2
= 0.
2Les techniques
Exercice 19.37 Soit Pun polynôme tel que les restes de la division euclidienne de Ppar (X−1) ,(X−2) et (X−3)
soient 3,7et 13 respectivement. Déterminer le reste de la division euclidienne de Ppar (X−1) (X−2) (X−3) .
Exercice 19.38 Soit ϕ∈Ret pour n∈N
∗
,P
n
= cos ((n−1) θ)X
n+1
−cos (nθ)X
n
−cos (θ)X+ 1. Montrer que P
1
divise P
n
et expliciter le quotient.
Exercice 19.39 Résoudre l’équation (X−1) P
′
+XP = 1 + X
3
2.
Exercice 19.40 Résoudre l’équation 4P= (X−1) P
′
+P
′′
.
Exercice 19.41 Déterminer les polynômes Ptels que P
′
divise P.
Exercice 19.42 Soit P
n
= (1 + iX)
n
−(1 −iX)
n
pour n≥1.Factoriser le polynôme P
n
et en déduire la valeur de
p
k=0
tan
2
kπ
2p+ 1et de
p−1
k=0
tan
2
kπ
2p.
En déduire la valeur de tan
2
π
14+ tan
2
3π
14 + tan
2
5π
14 .
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2. LES TECHNIQUES CHAPITRE 19. POLYNÔMES
Exercice 19.43 Factoriser sur Cle polynôme P= (X+ 1)
n
−e
2ina
où a∈R,en déduire
n−1
k=0
sin a+kπ
n
Que vaut
n−1
k=0
sin kπ
n? Déterminer, par passage à la limite, le produit
n−1
k=1
sin kπ
n.
Exercice 19.44 Soit P∈C[X],on suppose que ∀x∈R,P(x)∈R. Montrer que les coefficients de Psont tous réels.
Exercice 19.45 Soit Pun polynôme tel que P(X) = P(1 −X),montrer que Ppeut s’écrire comme un polynôme
en X(1 −X).
Exercice 19.46 Soit Pun polynôme de degré 3ayant au moins deux racines distinctes αet β, montrer que P
′
α+β
2=
0(Alors que d’après le théorème de Rolle, il existe c∈]α, β[tel que P
′
(c) = 0,cela prouve que cn’est jamais le milieu
du segment).
Exercice 19.47 Soit P(X)un polynôme de degré 3à coefficients réels ayant trois racines réelles α, β et γ. Montrer
que la tangente en α+β
2au graphe de Pen Ox coupe l’axe en la troisième racine γ. On pourra utiliser l’exercie
19.46.
Plus technique : Que dire si Pa une seule racine ?.En déduire la propriété suivante pour les polynômes de degré 3:
Soit Pde degré 3,si (u, v)∈R
2
,on définit Aet Bde coordonnées (u, P (u)) et (v, P (v)) dans le repère canonique
de R
2
. Montrer que la corde (AB)et la tangente au graphe de Pau point d’abscisse u+v
2se coupent en un point du
graphe de P.
Exercice 19.48 Soit Pde degré 4tel que ses racines forment une suite arithmétique, montrez que les racines de P
′
forment aussi une suite arithmétique.
Exercice 19.49 Soit P(X) = X
3
−aX
2
+bX −c, déterminer une CNS pour que ses racines dans Csoient en
progression arithmétique.
Exercice 19.50 Déterminer tous les polynômes Ptels que
PX
2
=X
2
X
2
+ 1P(X)
P(2) = 12
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CHAPITRE 19. POLYNÔMES 2. LES TECHNIQUES
Exercice 19.51 Soit P= 2X
3
−6X
2
+ 7X+λoù λ∈C. Déterminer λpour que 2des racines soient inverses l’une
de l’autre. Quelles sont alors les racines de P?
Exercice 19.52 Soit P=X
3
+aX
2
+bX +c, on note α, β, γ ses racines. Déterminer le polynôme Qunitaire ayant
pour racines α
2
, β
2
, γ
2
. Montrer que P(X)divise QX
2
. Retrouver alors Q(X).
Exercice 19.53 Le but de cet exercice est de présenter sur les poynômes de degré 4la méthode Laguerre pour la
localisation des racines.
On considère donc un polynôme unitaire P=X
4
+aX
3
+bX
2
+cX +ddont on suppose qu’il admet 4racines réelles
notées α, β, γ et δ.
1. Justifier que
a
2
−2b−α
2
=β
2
+γ
2
+δ
2
2. Soit −→ u=
β
γ
δ
et −→
v=
1
1
1
,justifier que
(−→ u·−→ v)
2
≤ −→ u
2
−→ v
2
en déduire que
(a+α)
2
≤3a
2
−2b−α
2
3. Conclure que les racines de Psont dans l’intervalle
I=−a−√9a
2
−24b
4,−a+√9a
2
−24b
4
En particulier le réel 9a
2
−24best positif ou nul.
Exercice 19.54 (Olympiade de Norvége 2007) Déterminer m > 0tel que le polynôme P(X) = X
4
−(3m+ 2) X
2
+
m
2
ait quatre racines en progression arithmétique.
Exercice 19.55 Soit P=X
3
+X+ 1 et Qle polynôme de degré 3tel que Q(0) = −1et dont les racines sont les
cubes des racines de P. Calculer Q(−1) .
Exercice 19.56 Soit le polynôme P(X) = X
3
−4X
2
+ 6X−4.
1. Déterminer les racines de Psachant que le produit de deux d’entre elles est égal à la troisième.
2. Résoudre le système 
(x−1) + (y−1) + (z−1) = 1
x(x−1) + y(y−1) + z(z−1) = 0
x
2
(x−1) + y
2
(y−1) + z
2
(z−1) = 0
Exercice 19.57 Soient aet bdeux complexes, pour n≥2,on considère le polynôme P(X) = X
n
+aX −b.
Montrer que Padmet une racine double si et seulement si a
n
n
+b
n−1
n−1
= 0.
Quelle condition retrouve-t-on si n= 2 ? Quelle condition retrouve-t-on si n= 3 et si P(X) = X
3
+pX +q?
Exercice 19.58 Soit P∈R[X]tel que P(0) = 0 et PX
2
+ 1=P(X)
2
+ 1. On définit la suite (u
n
)
n∈N
par u
0
= 0
et u
n+1
=u
2
n
+ 1. Montrer que ∀n∈N,P(u
n
) = u
n
. En déduire P.
Exercice 19.59 (Mines-Ponts PSI 2008) Trouver une CNS sur (p, q)∈C
2
pour que les trois racines a, b et cdu
polynômes X
3
+pX +qvérifient a
2
+b
2
= 1 + c
2
.
Exercice 19.60 (Mines-Ponts PSI 2008) Soit P=X
3
+aX
2
+bX +c∈C[X],trouver une CN S sur (a, b, c)
pour que le carré de l’une des racines soit égal au produit des deux autres.
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