Algèbre Linéaire - Pages personnelles Université Rennes 2

UFR Sciences Sociales - Département MASS
Licence M A S S - Deuxième année
Algèbre Linéaire
Laurent Rouvière
Université Rennes 2
Place du Recteur H. le Moal
CS 24307 - 35043 Rennes
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Table des matières
1 Espaces vectoriels et bases 5
1.1 Espace vectoriel ...................................... 5
1.2 Bases et dimension .................................... 7
2 Applications linéaires 9
2.1 Définitions ......................................... 9
2.2 Matrices et applications linéaires ............................ 11
2.2.1 Matrice de la somme ............................... 13
2.2.2 Matrice de la composée .............................. 13
2.3 Exemples dans R2..................................... 14
2.3.1 Matrice d’une projection ............................. 14
2.3.2 Matrice d’une symétrie .............................. 15
2.3.3 Matrice d’une rotation .............................. 16
2.4 Changement de base ................................... 17
2.4.1 Pour un vecteur .................................. 17
2.4.2 Pour une matrice (ou une application linéaire) ................. 19
3 Réduction d’endomorphisme 25
3.1 Valeurs propres et espaces propres ............................ 25
3.2 Diagonalisation ...................................... 27
3.2.1 Condition suffisante ................................ 27
3.2.2 Condition nécessaire et suffisante ........................ 28
3.3 Triangularisation ..................................... 29
4 Distance, norme, produit scalaire 31
4.1 Rappels .......................................... 31
4.2 Produit scalaire ...................................... 33
4.2.1 Définition ..................................... 33
4.2.2 Ecriture matricielle du produit scalaire ..................... 34
4.2.3 Comment reconnaître un produit scalaire ? ................... 35
4.2.4 Produit scalaire et changement de base ..................... 37
4.3 Norme et angle ...................................... 38
4.4 Orthogonalité ....................................... 39
4.4.1 Définitions ..................................... 39
4.4.2 Construction de bases orthogonales : procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 40
4.5 Projection orthogonale .................................. 43
MASS-Algèbre Laurent Rouvière

4TABLE DES MATIÈRES
5 Transformations orthogonales et matrices symétriques 47
5.1 Transformations orthogonales .............................. 47
5.1.1 Définition ..................................... 47
5.1.2 Comment reconnaître une matrice orthogonale ? ................ 48
5.2 Diagonalisation de matrices symétriques ........................ 49
5.3 Retour au produit scalaire ................................ 50
A Récapitulatif sur les changements de base 51
A.1 Vecteur .......................................... 51
A.2 Application linéaire .................................... 51
A.3 Produit scalaire ...................................... 52
B Annales 53
Juin 2005 ............................................ 54
Juin 2006 ............................................ 56
Juin 2007 (plus corrigé) .................................... 58
Mai 2008 (plus corrigé) ..................................... 64
Mai 2009 (plus corrigé) ..................................... 69
Avril 2010 (plus corrigé) .................................... 74

Chapitre 1
Espaces vectoriels et bases
1.1 Espace vectoriel
Définition 1.1 Etant donné un corps K(généralement Rou C), un Kespace vectoriel est un
triplet (E, +, .)formé :
— d’un ensemble Edont tous les éléments sont appelés vecteurs ;
— d’une loi d’addition qui est une application
+ : E×E→E
(u, v)7→ (u+v)
— d’une loi de multiplication par un scalaire
.:K×E→E
(λ, u)7→ λu
tel que
1. (E, +) est un groupe abélien (associativité, commutativité, existence d’un élément neutre et
d’un opposé) ;
2. ∀(λ, µ)∈K2et ∀(u, v)∈E2on a :
(λµ)u=λ(µu)
(λ+µ)u=λu +µu
λ(u+v) = λu +λv
1u=u
Exemple 1.1 — L’espace Rn, pour n≥0;
— L’espace des suites de nombres réels ;
— L’espace R[X]des polynômes à coefficients réels ;
— L’espace F onct(I, R)des fonctions d’un intervalle Ide Rdans R.
Pour vérifier que ces exemples conviennent, il faut vérifier les 8 axiomes, ce qui n’est pas forcément
difficile mais un peu long. Pour montrer qu’un espace est un espace vectoriel, on préfère souvent
montrer que c’est un sous-espace vectoriel.
Définition 1.2 Soit (E, +, .)un espace vectoriel. Un espace vectoriel (F, +′, .′)est appelé sous-
espace vectoriel de (E, +, .)si :
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