Nous ne connaissons pas de caractérisation générale des espaces ©; mais
il est prouvé que des espaces uniformément convexes à norme uniformément
régulière formant une classe assez large sont des espaces
&]
parmi eux se trou-
vent les espaces de Hilbert, et les espaces
La
pour
a ^
2, ce qui ouvre déjà un
vaste champ d'applications; pour
La,
le meilleur choix de A est:
A
=
{OL~
l)2a~2
(a
^2);
il semble bien d'après cela que la propriété, pour un espace de Banach, d'être un
espace
©
est une propriété de convexité.
On peut prouver que:
III.
Si 36 est un espace
&,
si les
Xj
sont mutuellement indépendants, si
pour tout
/
E(||
Xj
||2) < + oo et
E(Xi)
= 0, on a:
A
n
E{\\
Yn
H«) =g
— V
£(||
X,
H2)
pour tout », (3,1)
n1
*-*
3=1
où le A est celui intervenant dans b) ci-dessus; de sorte que, si:
n
2
E(\\
Xj
||2)
=.
0(n8),
avec s < 2, pour n
->
+ oo,
3=1
a)
presque-sûrement
Yn
tend (fortement) vers 0 lorsque n
->
+ oo;
ß)
Yn
tend vers 0 en moyenne d'ordre 2 lorsque n
-> -p
oo, dans les con-
ditions précisées par (3,1).
On peut remarquer, par comparaison avec I et II, que dans III
36
n'est
pas nécessairement
separable,
ni les
Xj
de même loi de probabilité.
Les résultats exposés dans ces §§ 2 et 3 sont établis dans E. Mourier [1],
R. Fortet et E. Mourier [1], [2]; il conviendrait de les préciser et de les étendre,
mais tels quels nous avons déjà pu dans R. Fortet et E. Mourier [2], [3] en
déduire
d'intéressantes
applications, et nous comptons en développer encore
beaucoup d'autres.
4.
Un résultat de S. Doss. Nous connaissons un seul exemple de loi des
grands nombres concernant un élément aléatoire à valeurs dans un espace
36
qui n'est pas forcément de Banach, ni même vectoriel, à savoir le résultat
suivant de S. Doss (cf. S. Doss [1]). Comme
36
peut ne pas être vectoriel, il faut
substituer à
Yn
un élément aléatoire
Zn
dont la définition n'exige pas
l'existence
d'une addition dans
36
— et par suite on déborde un peu le cadre des lois des
grands nombres au sens strict adopté plus haut.
Supposons
36
distancié; désignons par (x, y) la distance de 2 éléments x, y
de 36; ne donsidérons que des éléments aléatoires X[x(u)] tels que, pour tout
y
e diet
pour tout nombre positif g, l'ensemble des u pour lesquels (x(u), y)
^
g
appartient à
S3.
S. Doss appelle moyenne de X tout a e
36,
s'il en existe, tel que:
(a, y)
^
E[(X,y)] pour tout
y
e
36.
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