les théorèmes de 6ème 5ème 4ème et 3ème

COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS
GEOMETRIE EN 3ème
Démontrer qu'un point est le milieu d’un segment .......................................................................... 2
Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d’un triangle ......................................... 3
Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d’un triangle ................................................ 3
Démontrer que deux droites sont parallèles ..................................................................................... 4
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires .......................................................................... 5
Démontrer qu'une droite est une médiane ....................................................................................... 6
Démontrer qu'une droite est une hauteur ......................................................................................... 6
Démontrer qu'une droite est une tangente d’un cercle ..................................................................... 6
Démontrer qu'une droite est une médiatrice .................................................................................... 7
Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice ........................................................................... 8
Démontrer qu'un triangle est isocèle ................................................................................................ 9
Démontrer qu'un triangle est équilatéral .......................................................................................... 9
Démontrer qu'un triangle est rectangle ......................................................................................... 10
Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme ................................................................... 11
Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle .............................................................................. 12
Démontrer qu'un quadrilatère est un losange ................................................................................. 13
Démontrer qu'un quadrilatère est un carré .................................................................................... 14
Démontrer que deux segments ont la même longueur ................................................................... 15
Calculer la longueur d'un segment ................................................................................................ 16
Démontrer que deux angles ont la même mesure .......................................................................... 17
Calculer la mesure d'un angle ....................................................................................................... 18
Utiliser la trigonométrie ................................................................................................................. 19
Utiliser la symétrie par rapport à une droite .................................................................................. 20
Utiliser la symétrie par rapport à un point ..................................................................................... 20
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Démontrer qu'un point est le milieu d’un segment
Définition (6°)
Le milieu d’un segment est le point
du segment qui est équidistant de
ses extrémités I point de [AB]
I est un point de [AB] et IA = IB
Donc
I est le milieu de [AB]
Définition (5°)
Deux points A et B sont
symétriques par rapport à un point
O signifie que O est le milieux du
segment [AB]
A et B sont symétriques par rapport
au point O
Donc
O est le milieu de [AB]
Définition (6°)
La médiatrice d’un segment est la
droite perpendiculaire à ce
segment qui passe par son milieu
(d) est la médiatrice de [AB]
La droite (d) est la médiatrice du
segment [AB]
Donc
(d) passe par le milieu de [AB]
Définition (5°)
Une médiane d’un triangle est une
droite qui passe par un sommet et
le milieu du côté opposé.
(d) est la médiane issue de C
La droite (d) est la médiane issue
de C du triangle ABC
Donc
(d) passe par le milieu de [AB]
Propriété (5°)
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses
diagonales ont le même milieu.
ABCD est un parallélogramme
Le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme
Donc
Les diagonales [AC] et [BD] ont le
même milieu.
Théorème (4°)
Si une droite passe par le milieu
d'un côté d'un triangle
parallèlement à un autre côté alors
elle coupe le troisième côté en son
milieu (EF) // (BC)
La droite (EF) passe par le milieu E
de [AB] parallèlement à (BC)
Donc
La droite (EF) passe par le milieu
de [AC]
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Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d’un triangle
Propriété (5°)
Le centre du cercle circonscrit
d’un triangle est le point de
concours des médiatrices du
triangle
Les médiatrices des segments
[AB] et [BC] sont sécantes en O
Donc
O est le centre du cercle
circonscrit du triangle ABC
Propriété (4°)
Si un triangle est rectangle
alors le centre de son cercle
circonscrit est milieu de
l’hypoténuse
Le triangle ABC est rectangle en
A
Donc
Le centre du cercle circonscrit du
triangle ABC est le milieu O de
[BC]
Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d’un triangle
Propriété (4°)
Le centre du cercle inscrit
dans un triangle est le point
de concours des trois
bissectrices du triangle
Les bissectrices issues de A et B
sont sécantes en I
Donc
I est le centre du cercle inscrit
dans le triangle ABC
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Démontrer que deux droites sont parallèles
Propriété (6°)
Si deux droites sont parallèles
à une même droite alors elles
sont parallèles
(d1) // (d3) et (d2) // (d3)
(d1) // (d3) et (d2) // (d3)
Donc
(d1) // (d2)
Propriété (6°)
Si deux droites sont
perpendiculaires à une même
droite alors elles sont
parallèles
(d1) ┴ (d3) et (d2) ┴ (d3)
Donc
(d1) // (d2)
Propriété (5°)
Si deux droites coupées par
une sécante déterminent deux
angles alternes-internes de
même mesure, alors ces deux
droites sont parallèles
a
et
b
sont alternes-internes et
a
=
b
Donc
(d1) // (d2)
Propriété (5°)
Si deux droites coupées par
une sécante déterminent deux
angles correspondants de
même mesure, alors ces deux
droites sont parallèles
a
et
b
sont correspondants et
a
=
b
Donc
(d1) // (d2)
Définition (5°)
Un parallélogramme est un
quadrilatère qui a ses côtés
opposés parallèles
ABCD est un parallélogramme
ABCD est un parallélogramme
Donc
(AB) // (DC)
Propriété (4°)
Si une droites passe par les
milieux de deux côtés d’un
triangle alors elle est parallèle
au troisième côté
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
Donc
(IJ) // (BC)
Théorème (3°)
( Réciproque de Thalès )
Si les points A,M,B sont
alignés dans cet ordre
si les points A,N,C sont alignés
dans cet ordre
si
AM
AB
=
AN
AC
alors (MN) est parallèle à (BC)
AM
AB
=
AN
AC
A, M, B sont alignés dans cet ordre
A, N, C sont alignés dans cet ordre
AM
AB
=….
AN
AC
=……
On constate que
AM
AB
=
AN
AC
Donc (D’après la réciproque du
théorème de Thalès)
(MN) // (BC)
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Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
Propriété (6°)
Si deux droites sont parallèles et
qu’une troisième droite est
perpendiculaire à l’une alors elle est
perpendiculaire à l’autre.
(d1) // (d2)
(d1) // (d2)
(d3) ┴ (d1)
Donc
(d3) ┴ (d2)
Définition (6°)
La médiatrice d’un segment est la
droite perpendiculaire à ce segment en
son milieu
(d) est la médiatrice de [AB]
(d) est la médiatrice de [AB]
Donc
(d) ┴ (AB)
Définition (5°)
Une hauteur d’un triangle est une
droite qui passe par un sommet et qui
est perpendiculaire au côté opposé
(d) est la hauteur issue de C
(d) est la hauteur du triangle
ABC issue de C
Donc
(d) ┴ (AB)
Propriété (6°)
Si un quadrilatère est un losange alors
ses diagonales sont perpendiculaires.
ABCD est un losange
Donc
(AC) ┴ (BD)
Propriété (6°)
Si un quadrilatère est un cerf-volant
alors ses diagonales sont
perpendiculaires.
ABCD est un cerf-volant
Donc
(AC) ┴ (BD)
Définition (4°)
A est un point d’un cercle de centre O.
La tangente au cercle au point A est la
droite perpendiculaire au rayon [OA]
au point A O est le centre de cercle
(d) est la tangente au cercle
de centre O au point A
Donc
(d) ┴ (OA)
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