Nombre complexe I. Forme algébrique, Représentation géométrique

Nombre complexe
I. Forme algébrique, Représentation géométrique
1. Il existe un nombre noté i, (ou j dans les matières comportant de l’électricité), tel que
2. On appelle nombre complexe tout nombre de la forme a+bi (où a est un réel, b est un réel, et
i tel que i²=-1.
a est appelé la parie réel du complexe a+bi
b est appelé la partie imaginaire du complexe a+bi
3. On note , l’ensemble des nombres complexes.
4. On identifie le réel, a et le complexe a+0i
Avec cette convention, tout réel est aussi un complexe.
D’où :
c : inclus dans
5. Egalité de deux complexes
Soient z=a+bi et z’a’+b’i deux complexes
Z=z’ si et seulement si a=a’ et b=b’.
6. Si on écrit un complexe z sous la forme z=a+bi on dit qu’on écrit z sous la forme algébrique.
7. On définit dans l’ensemble des complexes une addition, une soustraction, une multiplication,
une division.
Les règles de calcul sont les même que dans l’ensemble des réel en plus i²=-1
8. Tout nombre z=0+bi=bi est appelé un imaginaire pur
Par exemple i=1xi=0+1x1, donc i est un imaginaire pur
Pi x i est aussi un imaginaire pur
9. Le conjugué d’un nombre complexe
a. Définition
Soit z=a+Bi un nombre complexe, le complexe conjugué de z est le complexe noté et définit par
b. Exemple

c. Propriété admise
-
-
-
-
-
- En particulier :
- Soit et
 le résultat est toujours un réel
 le résultat est toujours un imaginaire
 la résultat est toujours un réel positif
Cette dernier formule est utilisé pour ecrire un quotient de complexe sous forme algébrique
Exemple : écrire sous forme algébrique le complexe
10. Représentation géométrique des nombres complexes
Le plan est rapporté au repère orthonormé
Soit et
L’image de z est le point M (a ; b) que l’on note M(z)
Le vecteur, image de z est le vecteur
Le complexe z est l’affixe du point M et de vecteur
Appelons M’ l’image de z’ donc on à M’ (a’ ; b’)
L’image de z+z’ est le point M’’ tel que
C'est-à-dire tel que OMM’’M’est un parallélogramme
Si M est l’image de z et si M’est l’image de z’
Alors le vecteur, image de z-z’ est M4 tel que
Remarque

Tout réel on une image situé sur l’axe des abscisses est réciproquement tout point de l’axe des
abscisses et l’image d’un réel
L’axe des abscisses est parfois appelé l’axe réel.
Tous les imaginaires purs ont une image située sur l’axe des ordonnées et réciproquement tout
point de l’axe des ordonnées et l’image d’un imaginaire pur.
L’axe des ordonnées et parfois appelé l’axe imaginaire.
II. Module et argument, forme trigonométrique
1. Module d’un complexe
a. Définition
Soit z = a+bi un complexe, et d’image M
Le module de z est un réel positif ou nul noté , on lit module de z
Ce module est définit par
b. Propriété
Si et seulement si
Attention :
Mais :
Si M est l’image de Z, et M’ est l’image de z’ alors est l’image de z-z’
Donc
2. Argument d’un complexe non nul
Soit un complexe non nul d’image M, les points M et O sont donc distincts
On appelle argument de z toutes mesures θ (en radian) de l’angle
Schéma
Remarque : Si θ est une mesure de l’angle est ou k appartient à entier
relatif.
3. Forme trigonométrique d’un complexe non nul
a. Théorème

Tout complexe, non nul, z, peut s’écrire sous la forme trigonométrique suivante :
Où r est le module de z et θ l’argument de z. Cette forme est appelé
forme trigonométrique de z.
b. Passage d’une forme à une autre
Si
Alors
Avec
θ Est définit par : et
Si
Alors
Avec
c. Théorème admis
Soit et deux complexes
Alors on a
d. Exemple
On considère les complexes et
Ecrire z1, z2, z1 x z2, z1/z2, z2
^3
, z1
^10
sous forme trigonométrique
C’est calcul ne sont pas saisi
e. Cas particuliers
Soit un complexe d’image M, z est différent de 0
Supposons que la forme trigonométrique de z soit :
L’angle θ est une mesure de l’angle
M’est le symétrique de M par l’axe réel, on a donc :
Soit θ’ un argument de , alors θ’= - θ

Donc on a :
Et on a :
Si , où , et si
Alors :
Rappel de première
, admet deux solutions x
1
et x
2
Factoriser
X0 ; A=0 :
III. Equation du second degré a coefficient réel
1. Définition
Une équation du second degré et une équation qui peut s’écrire sous la forme : az²+bz+c=0 où a,
b, c, sont des réels constants et z est l’inconnue qui prend ces valeurs dans l’ensemble des
complexes.
Résoudre dans l’ensemble des complexes az²+bz+c=0 c’est trouver tout les complexes solutions
de cette équation.
2. Résolution dans l’ensemble des complexes de l’équation az²+bz+c=0 (où a, b, c réel non
nul)
On calcule le discriminant delta :
Delta est un réel
On distingue 3 cas
a. Cas 01
Si alors l’équation az²+bz+c=0 admet deux solutions z1 et z2 qui sont réel.
et
b. Cas 02
Si alors l’équation az²+bz+c=0 admet une solution z qui est réel
c. Cas 03
Si alors l’équation az²+bz+c=0 admet deux solutions complexes conjugués