Nombre complexe I. Forme algébrique, Représentation géométrique

Nombre complexe
I.
Forme algébrique, Représentation géométrique
1. Il existe un nombre noté i, (ou j dans les matières comportant de l’électricité), tel que
2. On appelle nombre complexe tout nombre de la forme a+bi (où a est un réel, b est un réel, et
i tel que i²=-1.
a est appelé la parie réel du complexe a+bi
b est appelé la partie imaginaire du complexe a+bi
3. On note
, l’ensemble des nombres complexes.
4. On identifie le réel, a et le complexe a+0i
Avec cette convention, tout réel est aussi un complexe.
D’où :
c : inclus dans
5. Egalité de deux complexes
Soient z=a+bi et z’a’+b’i deux complexes
Z=z’ si et seulement si a=a’ et b=b’.
6. Si on écrit un complexe z sous la forme z=a+bi on dit qu’on écrit z sous la forme algébrique.
7. On définit dans l’ensemble des complexes une addition, une soustraction, une multiplication,
une division.
Les règles de calcul sont les même que dans l’ensemble des réel en plus i²=-1
8. Tout nombre z=0+bi=bi est appelé un imaginaire pur
Par exemple i=1xi=0+1x1, donc i est un imaginaire pur
Pi x i est aussi un imaginaire pur
9. Le conjugué d’un nombre complexe
a. Définition
Soit z=a+Bi un nombre complexe, le complexe conjugué de z est le complexe noté
b. Exemple
et définit par
c. Propriété admise
-
-
En particulier :
-
Soit
et
le résultat est toujours un réel
le résultat est toujours un imaginaire
la résultat est toujours un réel positif
Cette dernier formule est utilisé pour ecrire un quotient de complexe sous forme algébrique
Exemple : écrire sous forme algébrique le complexe
10. Représentation géométrique des nombres complexes
Le plan est rapporté au repère orthonormé
Soit
et
L’image de z est le point M (a ; b) que l’on note M(z)
Le vecteur, image de z est le vecteur
Le complexe z est l’affixe du point M et de vecteur
Appelons M’ l’image de z’ donc on à M’ (a’ ; b’)
L’image de z+z’ est le point M’’ tel que
C'est-à-dire tel que OMM’’M’est un parallélogramme
Si M est l’image de z et si M’est l’image de z’
Alors le vecteur, image de z-z’ est M4 tel que
Remarque
Tout réel on une image situé sur l’axe des abscisses est réciproquement tout point de l’axe des
abscisses et l’image d’un réel
L’axe des abscisses est parfois appelé l’axe réel.
Tous les imaginaires purs ont une image située sur l’axe des ordonnées et réciproquement tout
point de l’axe des ordonnées et l’image d’un imaginaire pur.
L’axe des ordonnées et parfois appelé l’axe imaginaire.
II. Module et argument, forme trigonométrique
1. Module d’un complexe
a. Définition
Soit z = a+bi un complexe, et d’image M
Le module de z est un réel positif ou nul noté
, on lit module de z
Ce module est définit par
b. Propriété
Si et seulement si
Attention :
Mais :
Si M est l’image de Z, et M’ est l’image de z’ alors
est l’image de z-z’
Donc
2. Argument d’un complexe non nul
Soit
un complexe non nul d’image M, les points M et O sont donc distincts
On appelle argument de z toutes mesures θ (en radian) de l’angle
Schéma
Remarque :
Si θ est une mesure de l’angle
relatif.
3. Forme trigonométrique d’un complexe non nul
a. Théorème
est
ou k appartient à entier
Tout complexe, non nul, z, peut s’écrire sous la forme trigonométrique suivante :
Où r est le module de z et θ l’argument de z. Cette forme est appelé
forme trigonométrique de z.
b. Passage d’une forme à une autre
Si
Alors
Avec
θ Est définit par :
et
Si
Alors
Avec
c. Théorème admis
Soit
Alors on a
et
deux complexes
d. Exemple
On considère les complexes
et
Ecrire z1, z2, z1 x z2, z1/z2, z2^3, z1^10 sous forme trigonométrique
C’est calcul ne sont pas saisi
e. Cas particuliers
Soit
un complexe d’image M, z est différent de 0
Supposons que la forme trigonométrique de z soit :
L’angle θ est une mesure de l’angle
M’est le symétrique de M par l’axe réel, on a donc :
Soit θ’ un argument de , alors θ’= - θ
Donc on a :
Et on a :
Si
, où
, et si
Alors :
Rappel de première
, admet deux solutions x1 et x2
Factoriser
X0 ; A=0 :
III. Equation du second degré a coefficient réel
1. Définition
Une équation du second degré et une équation qui peut s’écrire sous la forme : az²+bz+c=0 où a,
b, c, sont des réels constants et z est l’inconnue qui prend ces valeurs dans l’ensemble des
complexes.
Résoudre dans l’ensemble des complexes az²+bz+c=0 c’est trouver tout les complexes solutions
de cette équation.
2. Résolution dans l’ensemble des complexes de l’équation az²+bz+c=0 (où a, b, c réel non
nul)
On calcule le discriminant delta :
Delta est un réel
On distingue 3 cas
a. Cas 01
Si
alors l’équation az²+bz+c=0 admet deux solutions z1 et z2 qui sont réel.
et
b. Cas 02
Si
alors l’équation az²+bz+c=0 admet une solution z qui est réel
c. Cas 03
Si
alors l’équation az²+bz+c=0 admet deux solutions complexes conjugués
et
3. Exemple
Résoudre dans l’ensemble des complexes l’équation 3z²-z+5 = 0
Calcul du discriminant delta :
Le discriminant delta est strictement inferieur à 0, l’équation admet 2 solutions complexes
conjuguées
et
IV. Forme exponentielle d’un complexe non nul
1. On pose
2. Tout complexe non nul z dont la forme trigonométrique est
s’écrire aussi
3. La forme
est appelle forme exponentiel ou écriture exponentielle du nombre z.
4. Formule
r × r ' cos ( Θ + Θ ' ) + i sin ( Θ + Θ ' )  = r × eiΘ × r '× eiΘ ' = r × r '× ei ( Θ−Θ ')
r × eiΘ
r
= × ei ( Θ−Θ ')
iΘ '
r '× e
r'
1
1
1
= × ei ( −Θ ) = × e−iΘ
iΘ
r ×e
r
r
(r × e )
iΘ
n
= r n × einΘ
Si z = r × eiΘ alors z = r × ei ( −Θ ) = r × e− iΘ
5. Formule d’Euler
eiΘ = cos Θ + i sin Θ
e −iΘ = cos Θ − i sin Θ
En ajoutant membre a membre on obtient
eiΘ + e −iΘ = 2 cos Θ
=>
eiΘ + e − iΘ
= cos Θ
2
peut
En soustrayant membre à membre on obtient
eiΘ − e − iΘ = 2i sin Θ
=>
eiΘ − e − iΘ
= sin Θ
2
6. Linéariser des expressions avec les formules d’Euler
Exemple linéariser l’expression : A = cos ²(2 x ) × sin(3 x) = (cos(2 x ))² × sin(3 x )
A = cos ²(2 x) × sin(3 x) = (cos(2 x))² × sin(3 x)
eiΘ + e − iΘ e i 2 x + e − i 2 x
cos(2 x) =
=
2
2
iΘ
− iΘ
i3 x
e −e
e − e−i3 x
sin(3 x) =
=
2i
2i
2
 ei 2 x + e − i 2 x  ei 3 x − e − i 3 x
A=
 ×
2
2i


(e
A=
i2x
+ e−i 2 x
(((
2²
)
2
×
ei 3 x − e − i 3 x
2i
)
))
)) (
(
2
2
1
e 2ix + 2 × e 2ix × e−2ix + e −2ix × ei 3 x − e −i 3 x ⇒ (a + b) = a ² + 2ab + b ²
8i
n
1
A=
e 4ix + 2 × 1 + e −4ix × ei 3 x − e −i 3 x ⇒ eiΘ = einΘ ⇒ et ⇒ eiΘ × eiΘ ' = eiΘ−Θ '
8i
1 7 ix ix
A=
e − e + 2e3ix − 2e −3ix + e− ix − e−7ix
8i
1 7 ix −7ix
A=
e − e + 2 × e3ix − e −3ix − eix − e −ix
8i
1
A = ( 2i × sin ( 7 x ) + 2 × 2i × sin ( 3 x ) − 2i × sin ( x ) )
8i
1
1
1
A = sin(7 x) + sin(3 x) − sin( x)
4
2
4
A=
((
)) ( )
) (
(
(
)
(
) (
))
V. Comment trouver un argument d’un complexe quand les valeurs ne sont pas remarquables
Z A = 2 + 3i
Exemple : Trouver un argument des complexes suivants : Z B = −1 + 4i
Z C = −3 − 4i
Z A = 2² + 3² = 13
Calcule des modules respectifs des trois nombres complexes : Z B =
ZC =
( −1) ² + 4² =
17
( −3 ) ² + ( −4 ) ² = 5
Avec la méthode du cosinus et du sinus calcule des arguments respectifs des complexes
2
⇔ Θ Z A = 0.9827
13
3
sin Θ Z A =
⇔ Θ Z A = 0.9827
13
Θ Z A = 0.9827
cos Θ z A =
−1
⇔ Θ Z B = 1.81
17
4
sin Θ Z B =
⇔ Θ Z B = 1.3258
17
Θ Z B = 1.81
cos Θ Z B =
−3
⇔ Θ ZC = 2.214
5
4
sin Θ ZC =
⇔ Θ ZC = −0.927
17
Θ ZC = −2.214
cos Θ ZC =
Règle générale
Soit z = a + bi un complexe non nul où z est le module de ce complexe et Θ un argument de ce
complexe
a
 z 
 
a
Si sin Θ < 0 alors Θ = − cos −1  
 z
 
Si sin Θ > 0 alors Θ = cos −1 
VI. Compléments
(
r r
)
Le plan est rapporté au repère ortho normal O; u; v , z1 z2 z3 sont trois nombres complexes
distincts, d’image respective M1, M2, M3.
Les points M1 d’affixe z1, M2 d’affixe z2, et M3 d’affixe z3 sont alignés si est seulement si il existe
un réel k tel que : z3 − z1 = k ( z2 − z1 )
(
uuuuuuur uuuuuuur
)
Une mesure en radian de l’angle M 1M 2 ; M 1M 3 est un argument du complexe Z =
En particulier si z1=0 dans ce cas M1=0.
z3 − z1
z2 − z1
(
uuuuur uuuuur
)
Une mesure en radian de l’angle OM 2 ; OM 3 est un argument du complexe Z =
Exemple : On considère A d’affixe zA=3+2i et B d’affixe zB=-4+4i
Placer les points A et B
(
uuur uuur
Déterminer une mesure en radian à 10-2 près de l’angle OA; OB
(
uuur uuur
)
Une mesure de l’angle OA; OB est un argument du complexe Z =
Z=
z3
z2
)
ZB
ZA
−5 + 4i ( −5 + 4i ) × ( 3 − 2i ) −15 + 10i + 12i + 8
7 22
=
=
=− + i
3 + 2i
13
13 13
( 3 + 2i )( 3 − 2i )
2
2
41
 7   22 
Z = −  +  =
13
 13   13 
7
−
−7
cos Θ = 13 =
41
533
13
22
22
sin Θ = 13 =
41
533
13
sin Θ > 0
7
−7
Θ = cos −1 13 =
≈ 1.88rad
41
533
13
1.88 × 180
Θ=
= 107.7°
−
π
VII. Etude de deux transformations du plan, liée aux nombres complexes
(
r r
Le plan est rapporté a un repère orthonormé O; u; v
)
1. Translation
Soit z0=α+βi ou α et β sont des reels
Soit f la fonction définit sur l’ensemble des complexes qui a tout complexe z associe :
z ' = f ( z ) = z + z0
Si M est l’image de z et M l’image de z’
r
r
On appelle x le vecteur image de z0 (on sait que x (α; β)
z ' = f ( z)
z ' = z + z0
z '− z = z0
uuuuur r
MM ' = x
r
M’est l’image de M par la translation de vecteur x
Théorème :
Soit f la fonction définit sur l’ensemble des complexes qui à tout z associe le
complexe z ' = f ( z ) = z + z0 où z0 est un complexe donné au départ.
Soit M l’image de z et M’ l’image de z’
r
M’est l’image de M par la translation de vecteur x d’affixe z0
On dit que cette translation est associée à la fonction f
2. Rotation
Soit z0 = eiΘ un complexe de module 1 donné
Soit f la fonction définit sur l’ensemble des complexes qui a tout z associe z ' = f ( z ) = eiΘ0 × z
Soit M l’image de z, on appelle M’ l’image de z’ (z’=f(z))
z’=f(z) si est seulement si z ' = f ( z ) = eiΘ0 × z
Si z=0 alors z ' = eiΘ0 × 0
Si z est différent de 0 alors il existe un module et un argument réel tel que z = r ×iΘ
Dans ce cas
z ' = eiΘ0 × r ×iΘ
z ' = r ×e (
i Θ0 −Θ )
On en déduit que z ' = r et que Θ0 − Θ est un argument de z’
Donc OM’=r=(OM)
(
uuuur uuuuur
)
Et OM ; OM ' a pour mesure un argument de Z =
z'
soit ( Θ0 + Θ ) − Θ = Θ0
z
Donc M’est l’image de M par la rotation de cantre O et d’angle Θ0
Théorème :
Soit f la fonction définit sur l’ensemble des complexe z associe le complexe :
z ' = f ( z ) = eiΘ0 × z (Θ0 réel donné)
Soit M l’image de z et M’ l’image z’
M’est l’image de M par la rotation de centre 0 et d’angle Θ0
On dit que cette rotation est associée à f.