Courant électrique dans une bobine
Courant électrique dans une bobine.
I. La bobine en convention récepteur
1. Représentation symbolique
Une bobine est constituée d'un enroulement serré de fil conducteur enrobé d'un
matériau isolant. Ce fil conducteur présente le plus souvent une résistance r de
faible valeur.
Une bobine de résistance r est équivalente à l'association en série d'une bobine de
résistance nulle et d'un conducteur ohmique de résistance r, nous utiliserons la représentation symbolique suivante:
2. Etude expérimentale
On réalise le montage ci-dessous.
L'ordinateur ou l’oscilloscope permet de tracer les courbes uL=f(t) et i=f(t)
(car
R
u
R
u
iR2
). On obtient le graphique suivant:
3. Inductance de la bobine
Pendant une demi-période le courant i est de la forme i=a.t+b et de ce fait,
ctea
dt
di
. La tension aux
bornes de la bobine étant elle aussi constante, elle peut s'écrire
dt
di
kuL.
. Le coefficient k dépend de la bobine.
On posera k=L. L s'appelle inductance de la bobine et s'exprime en Henrys (H), d'où:
avec
uL: tension aux bornes de la bobine en volts (V).
L: inductance de la bobine en henrys (H).
dt
di
: dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant traversant la
bobine en ampères par seconde (A.s-1).
4. Tension aux bornes de la bobine
Si la résistance de la bobine n'est pas négligeable, celle-ci peut-être considérée comme l'association en
série d'un conducteur ohmique et d'une bobine de résistance nulle.
La tension aux bornes de la bobine s'écrit alors:
avec
uB: tension aux bornes de la bobine en volts (V).
L: inductance de la bobine en henrys (H).
dt
di
: dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant traversant la
bobine en ampères par seconde (A.s-1).
r: résistance de la bobine en ohms ().
i: intensité du courant traversant la bobine en ampères (A).
dt
di
LuL.
dt
di
LriuB.
Remarques :
Si la bobine est une inductance pure, sa résistance est nulle et la tension à ses bornes s'écrit :
dt
di
LuB.
En régime permanent, le courant est constant (i=cte), la tension aux bornes de la bobine s'écrit uB=ri: la bobine
se comporte comme un conducteur ohmique.
II. Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension
1. Etude expérimentale.Cas d’une bobine de résistance nulle.
On réalise le montage ci-contre:
L'ordinateur permet de tracer la courbe i=f(t) (car
R
u
iR
). On obtient le
graphique suivant:
Observations :
Lorsqu'on ferme l'interrupteur, l'intensité i croît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur
maximale.
Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, l'intensité i décroît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur
minimale.
Interprétations :
Lorsqu'on ferme l'interrupteur, le courant s'installe progressivement, sans la bobine, il aurait instantanément la
valeur finale. La bobine s'oppose à l'apparition du courant.
Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, le courant diminue progressivement, sans la bobine, il s'annulerait instantanément, la
bobine s'oppose à la disparition du courant.
Conclusion: Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit.
2. Réponse en courant à l'établissement du courant, lorsque l’on ferme l’interrupteur. (r = 0 Ω)
a. Equation différentielle
D'après la loi d'additivité des tensions:
uR + uL = E =>
E
dt
di
LiR .
=>
b. Solution de l'équation différentielle
Remarque préalable: en régime permanent, le courant est constant.
i = cte =>
0
dt
di
=>
R
E
i
Vérifions que
t
BeAi
est solution de l'équation différentielle.
t
e
B
dt
di
. L'équation différentielle s'écrit alors:
R
E
e
B
R
L
BeAtt
)(
=>
R
E
e
R
L
BA t
)
.
1(
Cette équation est vérifiée quelque soit le paramètre t, d'où le système:
R
E
A
0
.
1
R
L
=>
R
E
A
R
L
On en déduit que l'intensité du courant s'écrit
t
eB
R
E
i
.
avec la constante de temps.
R
E
dt
di
R
L
i
R
L
D'autre part, à t = 0, i = 0 =>
0
.0 eB
R
E
donc
R
E
B
l'intensité du courant s'écrit
t
e
R
E
R
E
i
.
soit :
Définition: La grandeur
R
L
est appelée constante de temps du circuit. Son unité est la seconde (s).
Remarque: analyse dimensionnelle :
uR = R.i
dt
di
LuL.
=>
I
U
R
ITU
L.
=>
R
L
R
L
=>
IU ITU
R
L...
=>
T
R
L
Donc
R
L
est homogène à un temps.
Remarque: La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit RL.
3. Réponse en tension à l'établissement du courant, lorsque l’on ferme l’interrupteur.
=>
)
1
.(.
t
Le
R
E
Lu
avec
dt
di
LuL.
R
L
On en déduit :
Remarque: Détermination de uL à partir de la loi des tensions:
uL + uR = E => uL = E – uR => uL = E - R.i
)1.(.
t
Le
R
E
REu
on retrouve :
t
LeEu
.
4. Réponse en courant à la rupture du courant, lorsque l’on ouvre l’interrupteur.
Loi d'additivité : uR + uL = 0 R.i + L.
dt
di
= 0 (équation différentielle pour i)
solution de l'équation :
t
eBAi
.
; donc :
t
e
B
dt
di
.
0..)..(
tt e
B
LeBAR
0)(..
L
ReBAR t
Ceci est valable quelque soit l'instant t, il faut donc : R.A = 0 et
0
L
R
A = 0 et
R
L
L’expression de l’intensité devient :
t
eBi
.
Pour déterminer B, on utilise la valeur de i à t = 0 s :
0
.eB
R
E
i
R
E
B
Donc l’expression de l’intensité est avec la constante de temps du dipôle RL
(en s)
5. Réponse en tension à la rupture du courant, lorsque l’on ouvre l’interrupteur.
t
Le
R
E
L
dt
di
Lu
.
..
avec
R
L
on en déduit :
Remarque: Détermination de uL à partir de la loi des tensions:
uL + uR = 0
iRuL.
t
le
R
E
Ru
..
on retrouve :
t
LeEu
.
)1(
t
e
R
E
i
t
LeEu
.
t
e
R
E
i
.
R
L
t
LeEu
.
6. Détermination de la constante de temps
Après une durée , l'intensité est égale à 63% de sa valeur maximale.
Après une durée 5, l'intensité est égale à 99% de sa valeur maximale.
Apparition du courant lors de la fermeture du circuit
)1(
t
e
R
E
i
Disparition du courant lors de l'ouverture du circuit
t
e
R
E
i
.
Remarque :
Si la résistance r de la bobine est différente de zéro il faut remplacer R par R+r la constante de temps devient
alors :
III. Énergie emmagasinée dans une bobine
Une bobine d'inductance L traversée par un courant i emmagasine l'énergie magnétique:
avec
EL: énergie emmagasinée par la bobine en joules (J).
L: inductance de la bobine en henrys (H).
i: intensité du courant traversant la bobine en ampères (A).
2
..
2
1iLEL
rRL
1
/
4
100%
