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TD n°6 : Probabilités discrètes
Exercice 1
On désigne par un entier naturel non nul.
On lance fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité (avec 0 1 et "face" avec la probabilité 1 . On
appelle -chaine une suite de lancers consécutifs ayant tous donné "pile", cette suite devant être suivie d'un "face" ou être la dernière
suite du tirage.
Pour tout de 1, . . , , on note la variable aléatoire égale au nombre total de -chaines de "pile" obtenues au cours de ces lancers.
Pour tout de 1, . . , , on pourra noter l'évènement "on obtient "pile" au ` lancer"
Par exemple, avec 11, si l'on a obtenu les résultats alors 2, 1 et 1.
Le but de cet exercice est de déterminer, pour tout de 1, . . , , l'espérance de , noté !" .
1. Déterminer la loi de # et donner !"# .
# correspond au nombre de chaînes de longueur que l’on peut obtenir en lancers. Ce nombre est soit
0, soit 1.
On obtient une chaîne de longueur si et seulement si on a eu piles consécutifs.
On a donc
"# 1 … #
On a donc par indépendance
"# 1 #
"# 0 1 #
On a # & ' "# . Donc
! "# "# 1 #
2.
Montrer que "#( 1 2#( et donner !"#( .
Sur lancers, il ne peut y avoir qu’au plus une chaîne de longueur 1.
On a
#( "Ω 0,1
On a
"#( 1 … #( # * … #
Par incompatibilité, puis par indépendance, on a :
"#( 1 #( + #( 2#(
On a
! "#( "#( 1 2#(
3.
Dans cette question, désigne un élément de 1, . . , 2.
Pour tout , de 1, . . , , on note -., la variable aléatoire qui vaut 1 si une -chaine de "pile" commence au , ` lancer et qui vaut 0
sinon.
a. Calculer /-, 10.
La réalisation de l’évènement "-, 1 signifie qu’une chaîne de piles commence au premier lancer (et
s’arrête donc au lancer + 1, sin on on aurait une chaîne de " + 1 piles).
On a donc
/-, 10 … 1
Donc par indépendance
/-, 10 b.
Soit , 2 2, . . , . Montrer que "-., 1 .
Si 2 3 , 3 , une chaîne que piles qui commencent au lancer numéro , se termine avant le lancer
numéro .
Si la chaîne commence au lancer numéro ,, le lancer précédent est un face. Après les piles, le lancer qui
suit la chaîne est aussi un face.
On a donc
/-., 10 .( .1(
45
565
57 .1
.…
piles
Donc par indépendance
c.
/-., 10 Montrer que "-#(1, 1 .
Si la chaîne de piles commence au lancer numéro + 1, elle se terminera au lancer .
Le lancer numéro est un face, sinon la chaîne aurait commencé un lancer plus tôt.
On peut donc écrire
/-#(1, 10 #( 4556557
#(1 … #
On en déduit par indépendance que
d.
piles
/-#(1, 10 Exprimer en fonction des variables -., puis déterminer !" .
Le nombre de chaînes de longueur que l’on trouvera sur lancers est égal au nombre de fois où une
telle chaîne commence. Ce nombre de « démarrages » correspond au nombre de variables -., prenant la
valeur 1, c’est-à-dire à la somme des variables -., .
Réciproquement cette somme donne bien le nombre de chaînes de longueur puisqu’elle indique le
nombre de « commencement ».
On a donc
#(1
= -.,
Donc par linéarité de l’espérance mathématique :
.>
#(1
! " = !/-., 0
.>
Comme les variables -, et -#(1, ont des comportements différents, on les isole.
On a donc
#(
! " !/-, 0 + = !"-., + !"-#(1, .>
Toutes les variables -., sont des variables de Bernoulli, on a donc
!/-., 0 /-., 10
Ce qui donne
#(
! " + = + .>
2 + " 2 + 1 2 + " 1 Exercice 2
On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la probabilité d'apparition de " pile" soit égale à , 2 ?0; 1A.
On pourra noter 1 .
Soit B un entier naturel non nul fixé.
On effectue B lancers du dé ; si est le nombre de " 6" obtenus, on lance alors fois la pièce.
On définit trois variables aléatoires -, , C de la manière suivante :
C indique le nombre de ''6'' obtenus aux lancers du dé,
- indique le nombre de ''piles'' obtenus aux lancers de la pièce,
indique le nombre de " faces" obtenues aux lancers de la pièce.
Ainsi, - + C et, si C prend la valeur 0, alors - et prennent la valeur 0.
1. Préciser la loi de C, son espérance et sa variance.
Chaque lancer du dé correspond à une expérience de Bernoulli, le succès étant d’obtenir un « 6 ».
On répète cette expérience un nombre de fois fixé à l’avance "B dans les mêmes conditions, la
probabilité du succès étant constante. Le nombre de succès obtenus suit donc une loi binomiale. Comme
le dé est bien équilibré, on a :
1
C & ' DB, F
6
5 M(
B 1
G 2 H0, BI, "C J K D F D F
6
6
On a
B
! "C 6
5B
N "C 36
2.
Pour 2 N , 2 N, déterminer la probabilité conditionnelle Q># "- . On distinguera les cas : 3 et R .
Le nombre de piles obtenus ne peut pas être supérieur au nombre de lancers de la pièce, c’est-à-dire au
nombre de 6 obtenus sur le dé.
On a donc
Si R ,
Q># "- 0
Si 3 , la loi de - conditionnée par "C est une loi binomiale. En effet, on répète une même
expérience de Bernoulli (lancer la pièce), le suucès étant d’obtenir pile, dans les mêmes conditions, un
nombre de fois fixé à l’avance ".
On a donc
Q># "- J K #(
3.
Montrer, pour tout couple d'entiers naturels ", :
M(#
si 0 3 3 3 B alors "- T C /#0/M
0 "1 #( J K
#
si R B ou R alors "- U C 0
#
J K
La deuxième relation est évidente. En effet le nombre de « 6 » qui vaut est nécessairement inférieur ou
égal au nombre de lancers du dé "B, et le nombre de piles " est nécessairement inférieur au nombres
de lancers de la pièce, nombre de lancers égal au nombre de « 6 » obtenus.
On a donc
Si R B ou R ,
"- T C 0
Dans le cas contraire, donc si 0 3 3 3 B, on a
"- T C Q># "- "C 4.
1 # 5 M(#
B
#(
J K "1 J KD F D F
6
6
#
1
5 M(#
B #(
J K J K "1 D F D F
6
6
Calculer la probabilité "- 0
Décomposons l’évènement "- 0 selon le système complet d’évènements "C #2H,MI .
On a
M
"- 0 X"- 0 T C Donc par incompatibilité, on a
#>
M
"- 0 = "- 0 T C #>
M
1 # 5 M(#
B
= J K J K "1 #( D F D F
0 6
6
#>
M
1 # 5 M(#
B
#
= J K "1 D F D F
6
6
#>
M
#
5 M(#
B 1
= J KD
F D F
6
6
#>
On reconnaît la formule du binôme de Newton.
On a donc
"- 0 D
5.
On a
1 5 M
M
+ F J1 K
6
6
6
Montrer pour tout couple d'entiers naturels ", tel que 0 3 3 3 B:
B
B B
J KD F D FD
F
On a donc bien
6.
!
B!
B!
B
J KJ K ! " ! ! "B ! ! " ! "B !
"B !
B!
B B
J KJ
K
! "B ! " ! /B " 0!
B!
! " ! "B !
B
B B
J KD F D FD
F
En déduire la probabilité "- .
On décompose l’évènement "- selon le système complet d’évènements "C #2H,MI .
On a
M
"- X"- T C #>
Donc par incompatibilité,
M
"- = "- T C #>
Mais nous avons vu que si R , alors "- T C 0
Donc
M
"- = "- T C #>
M
1 # 5 M(#
B #(
= J K J K "1 D F D F
6
6
#>
On utilise la formule démontrée dans la question précédente.
M
B B 1 # 5 M(#
"- = D F D
F "1 #( D F D F
6
6
#>
On factorise les termes qui ne dépendent pas de [
M
B
1 # 5 M(#
B #(
"
"
=
- D F
D
F 1
D F D F
6
6
#>
Procédons à un changement de variables en posant \ . La somme s’écrit
M(
B B
5 M("]1
]
"- D F = D
F "1 D F
\
6
]>
M(
M((]
B 1 B 1 ] 5
D F D F = D
FD
F D F
6
\
6
6
On reconnaît la formule du binôme de Newton.
On a
]>
M(
M(
B 1 5
B "
- J KJ K D
+ F
J K J K J1 K
6
6
6
6
6
7.
^
Montrer que la variable aléatoire - suit une loi binomiale de paramètre "B, .
On a bien
D’autre part, on a G R 0,
On a enfin
-"Ω H0, BI
M(
B "- J K J K J1 K
6
6
M
M
B "- 0 J1 K J K J K J1 K
0 6
6
6
Nous avons bien une loi binomiale.
On a
- & ' JB, K
6
8.
Quelle est la loi de la variable aléatoire ?
Par raison de symétrie des rôles entre pile et face, en considérant que le succès a pour probabilité dans
la cas où l’on s’intéresse au nombre de faces, on aura
& ' JB, K
6
9.
Est-ce que les variables aléatoires - et sont indépendantes ? Déterminer la loi du couple "-, .
Il est évident que l’on en peut pas obtenir simultanément B piles et B faces. On a donc
"- B T B 0
Or
M
M
"- B J K _ 0, " B J K _ 0
6
6
Donc
"- B T B _ "- B" B
Les variables - et ne sont pas indépendantes.
Déterminons "- , T \ pour tout couple ",, \ avec , 2 H0, BI et \ 2 H0, BI.
On a
"- , T \ "- , T - + , + \ "- , T C , + \
Donc si , + \ R B, on a
"- , T \ 0
Si 0 3 , + \ 3 B, alors
"- , T \ "- , T C , + \
J
1 .1] 5 M(.(]
B
,+\
KD
F . "1 ] D F D F
,+\
,
6
6
10. En comparant les variances de C et de - + , déterminer la covariance du couple "-, .
On sait que
On sait que
On a de plus
N"- + N "- + N " + 2`ab "-, - & ' JB, K donc N "- B J1 K
6
6
6
f & ' JB, K donc N"- B J1 K
6
6
6
C -+
Et l’on a vu que
On en déduit que
N"C 5B
36
1
`ab"-, /N"C N "- N "0
2
1 5B
g
B J1 K B J1 Kh
2 36
6
6
6
6
B 5 6 6
D F
2 36 6 6
6 6
B
/5 "6 "6 0
72
B
"5 6 + 6 + 72
B
"5 6" + + + 72
B
"5 6 j 1 + + 72
B
"1 + + 72
B
"" + 2 1
72
B
""1 2 1
72
B
36