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TD n°6 : Probabilités discrètes
Exercice 1
On désigne par  un entier naturel non nul.
On lance  fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité  (avec  et "face" avec la probabilité  On
appelle -chaine une suite de  lancers consécutifs ayant tous donné "pile", cette suite devant être suivie d'un "face" ou être la dernière
suite du tirage.
Pour tout  de  on note  la variable aléatoire égale au nombre total de -chaines de "pile" obtenues au cours de ces  lancers.
Pour tout  de  on pourra noter  l'évènement "on obtient "pile" au  lancer"
Par exemple, avec  si l'on a obtenu les résultats  alors   et 
Le but de cet exercice est de déterminer, pour tout  de  l'espérance de   noté 
1. Déterminer la loi de  et donner 
 correspond au nombre de chaînes de longueur  que l’on peut obtenir en  lancers. Ce nombre est soit
0, soit 1.
On obtient une chaîne de longueur si et seulement si on a eu  piles consécutifs.
On a donc 
On a donc par indépendance 
On a Donc 
2. Montrer que  et donner 
Sur  lancers, il ne peut y avoir qu’au plus une chaîne de longueur 
On a 
On a  
Par incompatibilité, puis par indépendance, on a :
On a  
3. Dans cette question,  désigne un élément de 
Pour tout  de  on note  la variable aléatoire qui vaut  si une -chaine de "pile" commence au  lancer et qui vaut 
sinon.
a. Calculer 
La réalisation de l’évènement   signifie qu’une chaîne de piles commence au premier lancer (et
s’arrête donc au lancer  sin on on aurait une chaîne de  piles).
On a donc  
Donc par indépendance

b. Soit  Montrer que 
Si , une chaîne que piles qui commencent au lancer numéro  se termine avant le lancer
numéro 
Si la chaîne commence au lancer numéro , le lancer précédent est un face. Après les  piles, le lancer qui
suit la chaîne est aussi un face.
On a donc  
Donc par indépendance  
c. Montrer que 
Si la chaîne de piles commence au lancer numéro , elle se terminera au lancer .
Le lancer numéro  est un face, sinon la chaîne aurait commencé un lancer plus tôt.
On peut donc écrire  
On en déduit par indépendance que  
d. Exprimer  en fonction des variables  puis déterminer 
Le nombre de chaînes de longueur  que l’on trouvera sur  lancers est égal au nombre de fois où une
telle chaîne commence. Ce nombre de « démarrages » correspond au nombre de variables  prenant la
valeur 1, c’est-à-dire à la somme des variables .
Réciproquement cette somme donne bien le nombre de chaînes de longueur  puisqu’elle indique le
nombre de « commencement ».
On a donc
Donc par linéarité de l’espérance mathématique :
Comme les variables  et  ont des comportements différents, on les isole.
On a donc
Toutes les variables  sont des variables de Bernoulli, on a donc

Ce qui donne
Exercice 2
On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la probabilité d'apparition de " pile" soit égale à  .
On pourra noter  .
Soit  un entier naturel non nul fixé.
On effectue  lancers du dé ; si  est le nombre de " 6" obtenus, on lance alors  fois la pièce.
On définit trois variables aléatoires    de la manière suivante :
 indique le nombre de ''6'' obtenus aux lancers du dé,
 indique le nombre de ''piles'' obtenus aux lancers de la pièce,
 indique le nombre de " faces" obtenues aux lancers de la pièce.
Ainsi,  et, si  prend la valeur 0, alors  et  prennent la valeur 0.
1. Préciser la loi de , son espérance et sa variance.
Chaque lancer du dé correspond à une expérience de Bernoulli, le succès étant d’obtenir un « 6 ».
On répète cette expérience un nombre de fois fixé à l’avance  dans les mêmes conditions, la
probabilité du succès étant constante. Le nombre de succès obtenus suit donc une loi binomiale. Comme
le dé est bien équilibré, on a : 
On a 
2. Pour  , , déterminer la probabilité conditionnelle  . On distinguera les cas :  et 
Le nombre de piles obtenus ne peut pas être supérieur au nombre de lancers de la pièce, c’est-à-dire au
nombre de 6 obtenus sur le dé.
On a donc  
Si  la loi de  conditionnée par  est une loi binomiale. En effet, on répète une même
expérience de Bernoulli (lancer la pièce), le suucès étant d’obtenir pile, dans les mêmes conditions, un
nombre de fois fixé à l’avance 
On a donc 

3. Montrer, pour tout couple d'entiers naturels  :
si  alors 
si  ou  alors 
La deuxième relation est évidente. En effet le nombre de « 6 » qui vaut  est nécessairement inférieur ou
égal au nombre de lancers du dé  et le nombre de piles  est nécessairement inférieur au nombres
de lancers de la pièce, nombre de lancers égal au nombre de « 6 » obtenus.
On a donc  
Dans le cas contraire, donc si  on a
4. Calculer la probabilité 
Décomposons l’évènement  selon le système complet d’évènements 
On a
Donc par incompatibilité, on a
On reconnaît la formule du binôme de Newton.
On a donc
5. Montrer pour tout couple d'entiers naturels  tel que 
On a

On a donc bien
6. En déduire la probabilité .
On décompose l’évènement  selon le système complet d’évènements 
On a
Donc par incompatibilité,
Mais nous avons vu que si  alors 
Donc
On utilise la formule démontrée dans la question précédente.
On factorise les termes qui ne dépendent pas de 
Procédons à un changement de variables en posant  La somme s’écrit
On reconnaît la formule du binôme de Newton.
On a