VARIABLES ALEATOIRES – Cours T GE

VARIABLES ALEATOIRES – Cours T GE
Soit une expérience aléatoire et un univers fini . On appelle variable aléatoire toute application de 
dans R. Cette application (fonction) est en général notée X.
Exemple :
On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie et on note, dans l’ordre, les piles et faces obtenus.
FFF,FFP,FPF,FPP,PFF,PFP,PPF,PPP
. Soit X la variable aléatoire : le nombre de piles obtenus
lors des 3 lancers. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3
Loi de probabilité :
C’est le tableau, qui à chaque valeur xi de X fait correspondre la probabilité pi de l’événement (X = xi).
X
0
1
2
3
pi
Error!
Error!
Error!
Error!
On vérifie que
1p
4
1i i
.
On appelle fonction de répartition de X, l’application notée F, de R dans
1;0
qui à tout réel x associe
la probabilité de l’événement
xX 
.
Reprenons notre exemple :
i
j
1/8
1/2
7/8
2 30 1
1
x
y
i
j
Représentation de la fonction F de répartition :
)xX(P)x(F 
.
C’est une fonction en escaliers.
Valeurs caractéristiques d’une variable aléatoire :
- Espérance mathématique :
n
1i iipx)X(E
. C’est une caractéristique de position : le barycentre
des nombres xi affectés des coefficients pi. Dans notre exemple,
8
1
3
8
3
2
8
3
1
8
1
0)X(E 
, soit
2
3
)X(E 
. Cette valeur était attendue, car si on répète
l’expérience un grand nombre de fois, on obtiendra « en moyenne » la moitié de piles sur 3
lancers.
- Variance de X :
2
)X(EXE)X(V 
ou encore
2
2)X(EXE)X(V 
, ce qui s’écrit encore
 n
1i i
2
ip.)X(Ex)X(V
ou bien
2
n
1i i
2
i)X(Ep.x)X(V  

- Ecart type :
)X(V)X( 
Ce sont des caractéristiques de dispersion. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs de X sont
dispersées autour de E(X).
Dans notre exemple,
3
8
1
3
8
3
2
8
3
1
8
1
0p.x)X(E 2222
4
1i i
2
i
2 
4
3
2
3
3)X(V 2
et
2
3
)X( 
.
Deux personnes A et B jouent 3 fois de suite à pile ou face de la façon suivante :
Si le nombre de faces est 1 ou 3 : B donne 2 € à A
Si le nombre de faces est 2 : A donne 4 € à B
Si le nombre de faces est 0 : le jeu est nul
Soit Y la variable aléatoire suivante : le gain de A (négatif en cas de perte). Donnons la loi de probabilité
de Y et calculons son espérance et sa variance.
Y
- 4
0
2
pi
Error!
Error!
Error!
2
1
2
1
2
8
1
0
8
3
4)Y(E 
. L’espérance est négative : A est perdant (en « moyenne » sur un
grand nombre de parties).
Dans le cas où l’espérance est nulle, le jeu est dit équitable.
p.224 n°16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 32, 37.