Recherche Op´erationnelle 1A
Th´eorie des graphes
Arbres + arbre couvrant de coˆut minimum
Zolt´an Szigeti
Laboratoire G-SCOP
INP Grenoble, France
Z. Szigeti (G-SCOP, Grenoble) RO 1A 1 / 13
Connexit´e
Lemme 1
Si eest une arˆete d’un cycle Cd’un graphe connexe G,alors Geest
connexe.
D´emonstration
1x,yV(G),il existe une (x,y)-chaˆıne Pcar Gest connexe.
2Si e/E(P),alors Pest une (x,y)-chaˆıne dans Ge.
3Si eE(P) alors en rempla¸cant dans Pl’arˆete epar la chaˆıne Ce
on obtient une (x,y)-chaˆıne Pdans Ge.
4Geest donc connexe.
C
e
xy
P
P
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Arbres, forˆets
D´efinition
arbre : graphe connexe, sans cycle.
forˆet : graphe sans cycle.
Remarques
Chaque composante connexe d’une forˆet est un arbre.
Tout graphe partiel d’un arbre est une forˆet.
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Arbres : propri´et´es utiles
Lemme 2
Soit Gun arbre `a n2 sommets.
(a) Gcontient un sommet de degr´e 1.
(b) En supprimant un sommet vde degr´e 1 de Gon obtient un arbre.
D´emonstration
(a) 1Puisque Gest connexe et n2, par l’EXO 2.3, vV:d(v)1.
2Puisque Gest sans cycle, par l’EXO 2.6(b), uV:d(u)1.
3Par cons´equent, d(u) = 1.
(b) 1Gvest connexe : u,wV(Gv),
1puisque Gest connexe, (u,w)-chaˆıne ´el´ementaire Pdans G,
2par v6=u,w,d(x) = 2 xV(P)\ {u,w}et d(v) = 1, v/V(P),
3d’o`u Pest une (u,w)-chaˆıne dans Gv.
2Gvest sans cycle : puisque Gest sans cycle.
3Gvest donc un arbre.
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Arbres : nombre d’arˆetes
Th´eor`eme 1
Le nombre md’arˆetes d’un arbre `a nsommets est ´egal `a n1.
D´emonstration
1Par r´ecurrence sur n.
2Si n= 1,alors m= 0 = 1 1 = n1.
3On suppose que c’est vrai pour tous les arbres `a n11 sommets.
4Soit Gun arbre `a nsommets.
5Par Lemme 2, vV(G) : d(v) = 1, et G=Gvest un arbre
6tel que m=m1et n=n1.
7En vertu de l’hypoth`ese de r´ecurrence: m=m+ 1 =n=n1.
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