Nombre de transpositions engendrant S n

Sandrine CARUSO
Générateurs de Sn.
Référence : Francinou – Gianella – Nicolas, Oraux X-ENS, Algèbre 1
Théorème. Le nombre minimum de transpositions engendrant Snest n−1.
Montrons tout d’abord que les n−1transpositions (1 2),(1 3),...,(1 n)engendrent
Sn. On procède par récurrence sur n. Il est évident que (1 2) engendre S2. Soit n>2;
supposons que (1 2),(1 3),...,(1 n)engendrent Snet montrons que (1 2),(1 3),...,
(1 n+ 1) engendrent Sn+1. Soit σ∈Sn+1. De deux choses l’une :
– Si σ(n+ 1) = n+ 1, alors σ|J1,nK∈Snet donc σest engendrée par (1 2),
(1 3),...,(1 n).
– Si σ(n+ 1) = javec j∈J1, nK, alors l’application σ0= (1 n+ 1)(1 j)σvérifie
σ0(n+ 1) = n+ 1, et est redevable du point précédent.
Finalement, (1 2),(1 3),...,(1 n+ 1) engendrent bien Sn+1, ce qui conclut la récur-
rence.
Nous allons montrer maintenant que Snne peut pas être engendrée par moins de
n−1transpositions, à l’aide de la théorie des graphes. Étant donné un ensemble T=
{τ1, . . . , τk}de transpositions de Sn, on lui associe le graphe (non orienté) GT, dont
l’ensemble des sommets est J1, nK, et où une arête relie iet jsi et seulement si (i j)∈T.
Remarquons alors que si l’ensemble Tengendre Snalors le graphe GTest connexe.
En effet, si ce n’est pas le cas, deux éléments iet jqui sont dans deux composantes
connexes distinctes ne peuvent être envoyé l’un sur l’autre par un élément de < T >.
Pour conclure, il suffit d’établir le lemme suivant :
Lemme. Soit Gun graphe à nsommets. Si Gest connexe, alors Ga au moins n−1
arêtes.
Démonstration. On procède par récurrence sur n. Si n= 2, le résultat est clair. Soit
n>3. Supposons que tout graphe connexe à n−1sommets a au moins n−2arêtes.
Notons Sl’ensemble des sommets de G, et a(G)le nombre d’arêtes de G. Pour x∈S,
on note δ(x)la valence, c’est-à-dire le nombre d’arêtes arrivant en x. Comme toute arête
a au moins deux sommets1,
2a(G)>X
x∈S
δ(x)(1)
Le fait que Gsoit connexe entraîne l’inégalité δ(x)>1pour tout x. Séparons deux cas :
– si pour tout x∈S,δ(x)>2, alors l’inégalité (1) donne immédiatement a(G)>
n;
1Éventuellement un seul si l’arête « boucle » sur le même sommet.
1

– s’il existe x0∈Stel que δ(x0) = 1, on considère le graphe G0privé de x0et de
l’unique arête y arrivant. Alors G0an−1sommets et a(G0) = a(G)−1. De plus,
G0est encore connexe, et par hypothèse de récurrence, a(G0)>n−2. Ce qui
donne bien a(G)>n−1.
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