Mathématique (graphes)
Les arbres (Prim et Kruskal)
En théorie des graphes, un arbre est un graphe non orienté, acyclique (graphe qui ne contient
aucun cycle) et connexe. Un ensemble d'arbres est appelé une forêt.
Une feuille : Sommet dont le degré est égal à 1.
Un nœud : Sommet dont le degré est supérieur à 1.
Exemple :
Arbre à 1 nœud et 4 feuilles
Algorithme de Prim
L'algorithme de Prim calcule un arbre couvrant minimal dans un graphe connexe valué et
non orienté. Un arbre couvrant est un arbre inclus dans un graphe et qui connecte tous les
sommets de ce graphe. Dans ce cas de figure l’arbre couvrant est donc un sous-ensemble
d'arêtes formant un arbre sur l'ensemble des sommets du graphe initial, et tel que la somme des
poids de ces arêtes soit minimale.
Si le graphe n'est pas connexe, alors l'algorithme détermine un arbre couvrant minimal d'une
composante connexe du graphe.
Algorithme :
L'algorithme consiste à faire croître un arbre depuis un sommet. On commence avec un
seul sommet puis à chaque étape, on ajoute une arête de poids minimum adjacente à
l'arbre en construction.
Exemple :
1e itération : Localement a :
b pour 2
c pour 3
d pour 4
2e itération : Localement b :
c pour 1
e pour 4
3e itération : Localement c :
d pour 2
e pour 3
4e itération : Localement d :
e pour 5
Arbre couvrant minimal : (a, b, c, d, e)