Application de la topologie algébrique en informatique théorique

Application de la topologie algébrique en
informatique théorique
Jérémy Dubut
Stage de M1
sous la direction de Kathryn Hess Bellwald
ENS - Cachan / EPFL - Lausanne
12 Septembre 2012
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Laboratoire et équipe
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Higher Dimensional Automata
Ensemble pré-cubique :
une famille d’ensembles (Qn )n≥0
une famille de fonctions
sin , tin : Qn → Qn−1 pour tout n > 0 et 1 ≤ i ≤ n
vérifiant :
n
◦ αin+1
αin ◦ βjn+1 = βj−1
pour tout 1 ≤ i < j ≤ n + 1 et α, β ∈ {s, t}
Higher Dimensional Automaton (HDA) sur A :
un ensemble pré-cubique ((Qn ), (sin ), (tin ))
un point initial I0 ∈ Q0
un ensemble de points finaux F ⊆ Q0
une fonction d’étiquetage l : Q1 → A
tels que l(si2 (q)) = l(ti2 (q)) pour tout q ∈ Q2 et i ∈ {1, 2}
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Exemple
α
β
γ
β
α
x ∈ Qn
cube de dimension n
ordre induit par les transitions
ordre partiel produit sur chaque
cellule
execution
’trace de chemin croissant’
HDA
réalisation géométrique
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Pospace, di-path, espace des traces
Pospace
X un espace topologique
≤X ⊆ X × X un ordre partiel fermé
Di-path
f : I = [0, 1] → X une fonction continue tq :
∀x, y ∈ I , x ≤ y ⇒ f (x) ≤X f (y )
~ )(c, d) := espace des di-paths dans X de c à d muni de la topologie
P(X
compacte-ouverte
Espace des traces
~ (X )(c, d) := P(X
~ )(c, d)/Rep+ (I )
T
où Rep+ (I ) = monoide des reparamétrisations croissantes.
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Objectifs
~ (X )(c, d) quand X est un HDA
étudier le type d’homotopie de T
observer quelles informations sur le HDA cela donne
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
HDA simples, langage PV
HDA simple
X de la forme I n \ F avec :
l
S
Tj
F =
j=1
n
Q
Iij
i=1
= ]aij , bij [ ou [0, bij [ ou ]aij , 1]
:= inf Iij et bij := sup Iij
Tj =
Iij
aij
ou [0, 1]
Va
Pa
Pa
Jérémy Dubut
Va
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Travaux de Martin Raussen
propriétés topologiques (métrisable, localement compact, localement
contractile, type d’homotopie d’un CW complexe)
algorithme de construction d’un complexe simplicial (et d’un
prod-simplicial complexe) homotopiquement équivalent
espace des traces d’un HDA à sémaphores d’arité 1
homotopiquement équivalent à un espace discret en bijection avec
un ensemble de permutations compatibles
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Ordre partiel sur les trous, graphe
Ordre partiel, chaı̂ne
~ (X )((b i , ..., b i ), (aj , ..., aj )) 6= ∅
Ti < Tj si T
n
n
1
1
Ti1 , ..., Tik k-chaı̂ne si Ti1 < ... < Tik
Graphe des trous
GX , graphe non-orienté :
Sommets : Ti
Arêtes : (Ti , Tj ) si Ti < Tj ou Tj < Ti
T3
T4
T3
T1 T2
T1
T4
T2
T2
T1
Jérémy Dubut
T2
T3
T1
T3
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Generalized moment angle complex
Generalized moment angle complex
Soient (X , A) = {(Xi , Ai ) | i ∈ {1, ..., l}} un ensemble de paires de CW
complexes et G , un graphe non orienté à l sommets, qu’on supposera
numérotés de 1 à l.
Pour tout σ, clique de G , on définit :
D(σ) :=
l
Y
Yi
avec Yi = Xi si i ∈ σ et Yi = Ai sinon
i=1
On définit alors le generalized moment angle complex déterminé par
(X , A) et G comme :
[
ZG (X , A) :=
D(σ)
σ∈G
Si de plus, ∀i, Xi = X et Ai = ∗, on notera ZG (X ) à la place.
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Conjecture
Conjecture
Soit X , un HDA simple de dimension n avec l trous et ayant de bonnes
~ (X )(0, 1) est homotopiquement équivalent à
propriétés Alors, T
n−2
ZGX (S
).
De plus,
~ (X )(0, 1)) = ZpX
H0 (T
~ (X )(0, 1)) = 0 pour i 6= 0 si n = 2
Hi (T
avec pX , le nombre de chaı̂nes de trous de X .
~ (X )(0, 1)) = Zpk
H(n−2).k (T
~ (X )(0, 1)) = 0 pour i 6= (n − 2).k si n > 2
Hi (T
avec pk , le nombre de k-chaı̂nes de X .
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
En dimension 2
Théorème
Soit X , de dimension 2 tel que pour tout k = 1, 2, il n’existe pas i, j tels
que aki < akj < bki ou aki < bkj < bki .
~ (X )(0, 1) est homotopiquement équivalent à un espace discret à
Alors, T
pX éléments.
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
Jérémy Dubut
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
T4
T3
T1 T2
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Un trou, l-chaı̂ne
Théorème
Soit X , de dimension n dont le graphe des trous GX est une l-clique (i.e.,
les trous forment une l-chaı̂ne).
~ (X )(0, 1) est homotopiquement équivalent à
Alors, T
(S n−2 )l = ZGX (S n−2 )
1
0
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Trous incomparables
Théorème
Soit X , de dimension n > 2 dont le graphe des trous a l sommets et
aucune arête (i.e., X a l trous incomparables). Supposons également que
∀i, j, ∀k, soit bkj < aki soit bki < akj , soit aki = akj et bki = bkj . Alors,
~ (X )(0, 1) '
T
l
_
S n−2 = ZGX (S n−2 )
i=1
Preuve
calcul par récurrence des groupes d’homologie (par Mayer-Vietoris)
et du groupe fondamental (par Van Kampen)
l’unicité du type d’homotopie des espaces de Moore prouve le cas
n≥4
l’unicité du type d’homotopie des espaces d’Eilenberg-MacLane
prouve le cas n = 3
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Espace ’diagonalisable’
Diagonalisation admissible
p 1 < ... < p s ∈ I n , p 0 = 0 et p s+1 = 1.
n
s
Q
S
Xi
Xi := X ∩ [pji , pji+1 ] et Xp1 ,...,ps :=
j=1
i=0
p 1 , ..., p s diagonalisation admissible pour X si pour tout k il existe i tel
n
Q
que Tk ⊂ [pji , pji+1 ]
j=1
Théorème
Si p 1 , ..., p s est une diagonalisation admissible pour X et si pour tout
~ (Xi )(p i , p i+1 ) ' ZG (S n−2 ) alors :
i ∈ {0, ..., s}, T
Xi
~ (X )(0, 1) ' ZG (S n−2 )
T
X
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
Conclusion et perspectives
Fait :
formaliser une conjecture sur le type d’homotopie de l’espace des
traces d’une classe générale de HDA
preuve de cette conjecture sur une sous-classe
A faire :
voir quelles sont les hypothèses suffisantes pour que la conjecture
soit vraie et la prouver
voir quelles informations en tirer sur le HDA
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique
MERCI
Jérémy Dubut
Application de la topologie algébrique en informatique théorique