Application de la topologie algébrique en informatique théorique

Application de la topologie alg´ebrique en
informatique th´eorique
J´er´emy Dubut
Stage de M1
sous la direction de Kathryn Hess Bellwald
ENS - Cachan / EPFL - Lausanne
12 Septembre 2012
J´er´emy Dubut Application de la topologie alg´ebrique en informatique th´eorique

Laboratoire et ´equipe
J´er´emy Dubut Application de la topologie alg´ebrique en informatique th´eorique

Higher Dimensional Automata
Ensemble pr´e-cubique :
une famille d’ensembles (Qn)n≥0
une famille de fonctions
sn
i,tn i:Qn→Qn−1pour tout n>0 et 1 ≤i≤n
v´erifiant :
αn
i◦βn+1
j=βn
j−1◦αn+1
ipour tout 1≤i<j≤n+ 1 et α, β ∈ {s,t}
Higher Dimensional Automaton (HDA) sur A:
un ensemble pr´e-cubique ((Qn),(sn
i),(tn i))
un point initial I0∈Q0
un ensemble de points finaux F⊆Q0
une fonction d’´etiquetage l:Q1→A
tels que l(s2
i(q)) = l(t2 i(q)) pour tout q ∈Q2et i ∈ {1,2}
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Exemple
αβ
βα
γ
x∈Qncube de dimension n
ordre induit par les transitions ordre partiel produit sur chaque
cellule
execution ’trace de chemin croissant’
HDA r´ealisation g´eom´etrique
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Pospace, di-path, espace des traces
Pospace
Xun espace topologique
≤X⊆X×Xun ordre partiel ferm´e
Di-path
f:I= [0,1] →Xune fonction continue tq :
∀x,y∈I,x≤y⇒f(x)≤Xf(y)
~
P(X)(c,d) := espace des di-paths dans Xde c`a dmuni de la topologie
compacte-ouverte
Espace des traces
~
T(X)(c,d) := ~ P(X)(c,d)/Rep+(I)
o`u Rep+(I) = monoide des reparam´etrisations croissantes.
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