Exercice 2

Corrigé des exercices sur les matrices
Exercice 1
A+B=
1
2
3
3
0
3
5
-2
3
B+A=
1
2
3
3
0
3
5
-2
3
AB
=
9 3 7
3 -11 -3
5 4 7
BA
=
3
7
1
4 1
3 17
7 -1
Exercice 2
Si D et E sont 2 matrices diagonales, elles s’écrivent :
d 0 
D=  1

0 d 2 
e 0 
E=  1

0 e 2 
Il s’ensuit que la somme
0 
d  e
D+E=  1 1
d 2  e2 
0
est une matrice diagonale. La somme est donc une loi de composition interne.
Comme la somme de deux matrices quelconques est associative et commutative, la
somme de deux matrices diagonales est associative et commutative.
L’élément neutre de l’addition de deux matrices quelconques est la matrice nulle; la
matrice nulle est une matrice diagonale; c’est donc l’élément neutre de l’addition de
matrices diagonales.
d 0 
 d 0 
L’opposé d’une matrice diagonale D =  1
est la matrice diagonale  1


0 d 2 
0  d 2 
On a montré que l’addition de deux matrices diagonales est :
- loi interne
- associative
-
commutative
a un élément neutre (matrice nulle)
a un opposé.
De même, le produit d’un nombre réel par une matrice diagonale donne une
matrice diagonale.
On peut vérifier que  et R, et D une matrice diagonale, on a :
- ( + )D = D + D
-  (D+E) = D + E
-  (D) = ( ) D
- 1D=D
Il s’ensuit que l’ensemble des matrices diagonales a une structure d’espace vectoriel par
rapport à l’addition de matrices diagonales et la multiplication par un réel.
a 0 
Si A =  1
 et B =
0 a 2 
b1 0 
0 b  alors,
2

a b 0 
AB=  1 1
 et B A =
0 a 2 b2 
b1 a1 0 
0 b a 
2 2

Comme le produit a1b1 = b1a1 et a2b2 = b2a2 , il s’ensuit que AB = BA; dans le cas de
matrices diagonales, le produit de 2 matrices est commutatif et le résultat du produit est
une matrice diagonale.
L’élément neutre est une matrice diagonale N telle que A N = N A = A. Il est immédiat
1 0
de vérifier que si on choisit N = I = 
 , les 2 équations précédentes sont vérifier.
0 1
1 / a 0 
a 0 
Pour toute matrice A =  1
, la matrice B =  1
 est telle que AB = I; B est

0 1 / a 2 
0 a 2 
donc la matrice inverse de A et c’est une matrice diagonale.
Comme le produit de matrices quelconques est associatif, le produit de matrices
diagonales est associatif.
On a donc vérifié que le produit de matrices diagonales :
- est une loi interne,
- est commutatif,
- a un élément neutre,
- a un inverse,
- est associatif.
En considérant le produit d’un nombre scalaire par une matrice, il est immédiat de
vérifier que :
- ( + )A =  A +  A
- ( )A =  (A)
- 1A=A
Par contre,  (A B) est différent de ( A)( B).
Comme la dernière loi n’est pas vérifiée, l’ensemble des matrices diagonales n’est pas un
espace vectoriel par rapport au produit de matrices.
Exercice 3
1 0 0 
Si A = 0 2 0 , il s’ensuit que


0 0 3 
2
1 0 0  1 0 0  1 0 0 


A2 = 0 2 0 0 2 0 = 0 2 2 0 ;



0 0 3  0 0 3  0 0 3 2 


2
3
1 0 0  1 0 0  1 0 0 




3
A = 0 2 2 0  0 2 0  = 0 2 3 0  ;


0 0 3 2  0 0 3  0 0 3 3 
 



De manière générale, nous allons montrer par récurrence que
1k 0 0 


Ak = 0 2 k 0
0 0 3 k 


1k 1 0 0 


Pour cela, nous supposons que Ak-1 = 0 2 k 1 0 , et nous démontrons que , si cette
0 0 3k 1 


k
1 0 0 


supposition est vraie, alors Ak = 0 2 k 0 .
0 0 3 k 


Or Ak = A Ak-1
k 1
0 0  1k 0 0 
1 0 0  1

 

Avec la supposition sur Ak-1, Ak = A Ak-1 = 0 2 0 0 2 k 1 0 = 0 2 k 0 .


0 0 3  0 0 3k 1  0 0 3 k 

 

1k 0 0 


On a donc démontré que si la supposition sur Ak-1est vraie, alors Ak = 0 2 k 0 . On
0 0 3 k 


k-1
2
3
remarque que la supposition sur A est vraie pour A, A et A .
Exercice 6
La relation que vérifie M est M2 – M + I = 0.
Par définition, si R est la matrice inverse de M, on a M R = I
D’après la relation précédente, on
-(M2 – M) = I ,
M( -(M-I)) = I
M(I-M) = I
Il s’ensuit que la matrice inverse de M est égale à I-M.