partie b

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012
1/12 FR
SOLUTIONS
Partie B
Examen avec support technologique
MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
2/12
PARTIE B
QUESTION B1 ANALYSE
Page 1/11
Barème
Pour tout entier
n0
, on considère la famille de fonctions
gn
définies par
e
() 1e
nx
nx
gx
.
a)
Esquisser le graphique de
0
g
.
01
1e
x
gx
. Graphique : voir tns p.1.
2 points
b)
Montrer que
01
( ) ( )g x g x
pour tout nombre réel
x
.
Interpréter géométriquement cette propriété et esquisser le graphique de
1
g
sur le même diagramme que celui de
0
g
.
1 1 0
ee
e1
1 e e 1
1+e e
xx
x
xx
xx
g x g x g x
. CQFD.
Donc le graphique de
1
g
est symétrique de celui de
0
g
par rapport à l’axe des
ordonnées. Graphique : voir tns p.1.
2 points
c)
Montrer que toutes les courbes d’équations
()
n
y g x
ont un point
commun A.
Donner les coordonnées de
A
.
D’après les graphiques de
01
et gg
, on peut conjecturer que le point
1
0;2
est le point A. Prouvons-le : pour tout
11
0, on a 0 .
1 1 2
n
ng  
CQFQ.
2 points
d)
Pour
n2
, déterminer le comportement de
()
n
gx
lorsque
x  
et
lorsque
x  
, et indiquer une équation de l’asymptote.
Calculons, pour
2n
, les limites de
n
gx
respectivement pour
et xx   
.
e0
lim lim 0
1 e 1
nx
nx
xx
gx
.
On a donc une asymptote horizontale en
, d’équation
0.y
e
lim lim 1e
nx
nx
xx
gx
, car
e l'emporte sur e .
nx x
3 points

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
3/12
PARTIE B
QUESTION B1 ANALYSE
Page 2/11
Barème
e)
Pour
n2
, calculer
()
n
gx
et déterminer si
n
g
est croissante ou
décroissante.
Pour
22
e 1 e e e e 1 e
2, 0 sur .
1 e 1 e
nx x nx x nx x
nxx
nnn
n g x 
On en déduit que
n
g
est strictement croissante sur .
3 points
f)
Au point d’abscisse
0x
, le graphique de
n
g
admet une tangente
parallèle à la droite d’équation
9 4 1 0.xy  
Calculer n et établir une équation de cette tangente.
La pente de la tangente t parallèle à la droite d’équation
9 4 1 0xy  
en
0x
a la même pente que cette droite, c’est-à-dire
9
4
.
D’autre part, cette pente est égale à
21
04
nn
g
. Donc
2 1 9 5.
44
nn
t a pour équation
91
et 0 .
42
n
y x k g  
Donc t a pour équation
91
42
yx
.
3 points
g)
Calculer l’aire de la surface délimitée par les graphiques de g0 et g1 entre
les droites d’équations
1x
et
1x
.
La surface délimitée par les graphiques de g0 et g1 entre les droites d’équations
1x
et
1x
est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Donc l’aire A
de cette surface
111
1
00
0
0
2e e 1 e
2 4 2 4 2 4 2
1+e 1+e 1+e
x x x
x x x
dx dx I x I
où
1
0
e
e1
x
x
I dx
.
Soit
e 1 e ; si 0, alors 2 et si 1, alors e 1
xx
u du dx x u x u        
.
Donc
e1 e1
2
2
e1
ln ln 2
du
Iu
u
. D’où
e1
4ln 2 0,48.
2
A
3 points

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
4/12
PARTIE B
QUESTION B1 ANALYSE
Page 3/11
Barème
h)
Pour tout entier
0n
, une suite de nombres In est donnée par
0
1
( )
nn
I g x dx
.
En utilisant la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de n pour
laquelle
0,11
n
I
.
La suite
n
I
est décroissante.
En effet
1
1ee
e
nx
nx
nx
n
gx
gx
.
Or pour tout
0, e 1
x
x
et pour tout
0, 0
n
n g x
.
Donc pour tout
1
0, 0 nn x g x g x
et donc
00
1
11
.
nn
g x dx g x dx
On utilise la calculatrice (voir tns p.3) pour déterminer la plus petite valeur de
n pour laquelle
0,11
n
I
:
5.n
2 points

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
5/12
PARTIE B
QUESTION B2 GÉOMÉTRIE
Page 4/11
Barème
Dans un espace à trois dimensions, on considère les droites
12
2 7 3 10
: , et : , .
3 14 2 6
xx
dd
yy
zz
a)
Démontrer que les droites d1 et d2 sont gauches.
1°) d1 et d2 ne sont pas parallèles. En effet leurs vecteurs directeurs respectifs
12
23
3 et 2
11
dd
sont non colinéaires
23
32
.
d1 et d2 ne sont pas non plus sécantes. En effet le système
2 7 3 10 3
3 14 2 6 8
. Il n’a donc pas de solution.
Donc d1 et d2 sont gauches.
2°) Soient le point
11
( 7; 14;0)Dd  
et le point
22
( 10; 6;0)Dd  
.
Le produit mixte
1 2 1 2
3 8 0
2 3 1 5 0
3 2 1
D D d d
.
Donc d1 et d2 sont gauches.
3 points