Sujet de bac maths B 2012 (FR) 5 périodes

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012
MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
PARTIE B
DATE : 11 juin 2012, matin
DURÉE DE L'EXAMEN :
3 heures (180 minutes)
MATÉRIEL AUTORISÉ :
Examen avec support technologique
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FR
BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
PARTIE B
QUESTION B1 ANALYSE
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Barème
Pour tout entier n 0 , on considère la famille de fonctions g n définies par
g n ( x)
a)
Esquisser le graphique de g 0 .
b)
Montrer que g 0 ( x)
en x
.
1 ex
2 points
g1 ( x) pour tout nombre réel x .
Interpréter géométriquement cette propriété et esquisser le graphique de g1 sur
2 points
le même diagramme que celui de g 0 .
c)
Montrer que toutes les courbes d’équations y
A.
Donner les coordonnées de A .
d)
Pour n
x
2 , déterminer le comportement de g n ( x ) lorsque x
, et indiquer une équation de l’asymptote.
et lorsque
3 points
e)
Pour n
2 , calculer gn ( x) et déterminer si g n est croissante ou décroissante.
3 points
f)
Au point d’abscisse x 0 , le graphique de g n admet une tangente parallèle à
la droite d’équation 9 x 4 y 1 0.
g)
g n ( x) ont un point commun
2 points
Calculer n et établir une équation de cette tangente.
3 points
Calculer l’aire de la surface délimitée par les graphiques de g0 et g1 entre les
droites d’équations x
1 et x 1 .
3 points
h) Pour tout entier n 0 , une suite de nombres In est donnée par
In
0
1
g n ( x) dx .
En utilisant la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle
I n 0,11 .
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2 points
BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
PARTIE B
QUESTION B2 GÉOMÉTRIE
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Barème
Dans un espace à trois dimensions, on considère les droites
x 2
d1 : y 3
z
7
14 ,
et
x 3
d2 : y 2
z
10
6 ,
.
a)
Démontrer que les droites d1 et d2 sont gauches.
b)
La droite p est orthogonale à d1 et d2 et est sécante à ces deux droites.
3 points
Établir un système d’équations de la droite p.
5 points
c)
Calculer la distance entre les droites d1 et d2 .
3 points
d)
La droite l passe par le point M (1 ; 2 ; 0) et est sécante aux deux droites d1 et
d2 .
Établir un système d’équations paramétriques de la droite l.
4 points
e)
Existe-t-il une sphère centrée en M et tangente aux deux droites d1 et d2 ?
Justifier la réponse.
3 points
f)
Établir une équation de la sphère centrée en M et tangente à la droite d2 .
2 points
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PARTIE B
QUESTION B3 PROBABILITÉS
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Barème
Utiliser la calculatrice pour tous les calculs de cette question.
Les diamètres des œufs produits dans une ferme sont distribués normalement, avec
une moyenne de 60 mm et un écart-type de 5 mm.
a)
98 % de la production ont des diamètres situés dans l’intervalle
60 k ;60 k .
Calculer la valeur de k en mm, arrondie à la deuxième décimale.
5 points
Les œufs dont le diamètre est supérieur ou égal à 70 mm sont classifiés comme
extra-gros.
b)
Montrer que les œufs extra-gros constituent approximativement 2,275 % de la
production.
4 points
La ferme produit 4000 œufs par jour.
c)
Calculer la probabilité que, en 7 jours, le nombre total d’œufs extra-gros soit
situé dans l’intervalle [600 ; 650].
5 points
Certains œufs possèdent plus d’un jaune.
En moyenne, 30 % des œufs extra-gros possèdent plus d’un jaune, tandis que
seulement 0,5 % des autres possèdent plus d’un jaune.
d)
Calculer la probabilité qu’un œuf, choisi au hasard parmi les œufs de cette
ferme, possèdent plus d’un jaune.
3 points
e)
Calculer la probabilité qu’un œuf possédant plus d’un jaune ne soit pas un œuf
extra-gros.
3 points
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BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
PARTIE B
QUESTION B4 SUITES
On considère la suite un définie par :
a)
Barème
u1 1
1 2
un
un 1 1, n 2.
4
Calculer les valeurs exactes de u2 et u3.
Utiliser la calculatrice pour trouver une valeur approchée à 10
b)
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On admet que un
4
près de u20.
2 points
2 , quel que soit le nombre naturel n.
Démontrer que la suite un est croissante.
En déduire que un est convergente et calculer sa limite.
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3 points
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PARTIE B
QUESTION B5 NOMBRES COMPLEXES
On considère le nombre complexe w
où z
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Barème
1 iz
,
z 2
x iy est un nombre complexe (x, y étant réels) et z
2.
a)
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de w en fonction de x et y.
b)
Montrer que si w est imaginaire pur, alors les points représentant z
appartiennent à une certaine droite du plan complexe.
Établir une équation de cette droite.
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2 points
3 points