Sujet de bac maths B 2012 (FR) 5 périodes

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012
1/6 FR
DATE : 11 juin 2012, matin
DURÉE DE L'EXAMEN :
3 heures (180 minutes)
MATÉRIEL AUTORISÉ :
Examen avec support technologique
MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
PARTIE B

BACCALAURÉAT EUROPÉEN 2012 : MATHÉMATIQUES 5 PÉRIODES
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PARTIE B
QUESTION B1 ANALYSE
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Barème
Pour tout entier
n0
, on considère la famille de fonctions
gn
définies par
e
() 1e
nx
nx
gx
.
a)
Esquisser le graphique de
0
g
.
2 points
b)
Montrer que
01
( ) ( )g x g x
pour tout nombre réel
x
.
Interpréter géométriquement cette propriété et esquisser le graphique de
1
g
sur
le même diagramme que celui de
0
g
.
2 points
c)
Montrer que toutes les courbes d’équations
()
n
y g x
ont un point commun
A.
Donner les coordonnées de
A
.
2 points
d)
Pour
n2
, déterminer le comportement de
()
n
gx
lorsque
x
et lorsque
x
, et indiquer une équation de l’asymptote.
3 points
e)
Pour
n2
, calculer
()
n
gx
et déterminer si
n
g
est croissante ou décroissante.
3 points
f)
Au point d’abscisse
0x
, le graphique de
n
g
admet une tangente parallèle à
la droite d’équation
9 4 1 0.xy
Calculer n et établir une équation de cette tangente.
3 points
g)
Calculer l’aire de la surface délimitée par les graphiques de g0 et g1 entre les
droites d’équations
1x
et
1x
.
3 points
h)
Pour tout entier
0n
, une suite de nombres In est donnée par
0
1( )
nn
I g x dx
.
En utilisant la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle
0,11
n
I
.
2 points

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PARTIE B
QUESTION B2 GÉOMÉTRIE
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Barème
Dans un espace à trois dimensions, on considère les droites
12
2 7 3 10
: , et : , .
3 14 2 6
xx
dd
yy
zz
a)
Démontrer que les droites d1 et d2 sont gauches.
3 points
b)
La droite p est orthogonale à d1 et d2 et est sécante à ces deux droites.
Établir un système d’équations de la droite p.
5 points
c)
Calculer la distance entre les droites d1 et d2 .
3 points
d)
La droite l passe par le point M (1 ; 2 ; 0) et est sécante aux deux droites d1 et
d2 .
Établir un système d’équations paramétriques de la droite l.
4 points
e)
Existe-t-il une sphère centrée en M et tangente aux deux droites d1 et d2 ?
Justifier la réponse.
3 points
f)
Établir une équation de la sphère centrée en M et tangente à la droite d2 .
2 points

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PARTIE B
QUESTION B3 PROBABILITÉS
Page 3/5
Barème
Utiliser la calculatrice pour tous les calculs de cette question.
Les diamètres des œufs produits dans une ferme sont distribués normalement, avec
une moyenne de 60 mm et un écart-type de 5 mm.
a)
98 % de la production ont des diamètres situés dans l’intervalle
60 ;60 .kk
Calculer la valeur de k en mm, arrondie à la deuxième décimale.
5 points
Les œufs dont le diamètre est supérieur ou égal à 70 mm sont classifiés comme
extra-gros.
b)
Montrer que les œufs extra-gros constituent approximativement 2,275 % de la
production.
4 points
La ferme produit 4000 œufs par jour.
c)
Calculer la probabilité que, en 7 jours, le nombre total d’œufs extra-gros soit
situé dans l’intervalle [600 ; 650].
5 points
Certains œufs possèdent plus d’un jaune.
En moyenne, 30 % des œufs extra-gros possèdent plus d’un jaune, tandis que
seulement 0,5 % des autres possèdent plus d’un jaune.
d)
Calculer la probabilité qu’un œuf, choisi au hasard parmi les œufs de cette
ferme, possèdent plus d’un jaune.
3 points
e)
Calculer la probabilité qu’un œuf possédant plus d’un jaune ne soit pas un œuf
extra-gros.
3 points

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PARTIE B
QUESTION B4 SUITES
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Barème
On considère la suite
n
u
définie par :
1
21
1
11, 2.
4
nn
u
u u n
a)
Calculer les valeurs exactes de u2 et u3.
Utiliser la calculatrice pour trouver une valeur approchée à
4
10
près de u20.
2 points
b)
On admet que
2
n
u
, quel que soit le nombre naturel n.
Démontrer que la suite
n
u
est croissante.
En déduire que
n
u
est convergente et calculer sa limite.
3 points