avec Excel

Cyril Maugé 18/04/2017
Nombre parfait et Théorème du Perroquet
avec Excel
Le but va être d’utiliser les facilités que nous offre Excel pour trouver
rapidement tous les diviseurs d’un nombre.
1) Commençons par une démarche purement arithmétique de recherche de
diviseurs.
a) Sans calculatrice, donner la décomposition en produits de facteurs premiers de
396.
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
b) A l’aide de cette décomposition, donner tous les diviseurs de 396..
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
La question est : sommes nous sûrs de les avoir tous ??? car il fallait en trouver 16
2) Essayons maintenant d’utiliser Excel pour répondre à la même question.
a) Quel est le reste de la division de 396 par 3 ? 3 est-il un diviseur de 396 ? Que
peut-on conclure sur les restes des divisons de 396 par un de ses diviseurs ?
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
b) L’idée va donc être de tester avec Excel si les restes des divisions valent zéro.
Pour cela on va écrire tous les nombres susceptibles d’être des diviseurs dans une
colonne d’Excel, c'est-à-dire tous les nombres de 1 à 396 :
Placez-vous en A3 et créez une liste de 1 à 396 verticalement
Entrez en C1 notre nombre : 396
c) Il reste à utiliser une condition pour savoir si 396 est divisible par les nombres
de la colonne A : pour ce faire tapez en B3 la condition suivante
=SI(MOD($C$1;A3)=0;"est un diviseur";"")
Expliquer le rôle de cette formule:
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
d) Il ne reste plus qu'à recopier cette formule dans toute la colonne pour obtenir les
résultats escomptés. Pour cela, faites un cliquer-glisser-recopier vers le bas.
e) Pour ne voir apparaître que les diviseurs de 396 sélectionnez les deux colonnes
A2 à B398 et Aller dans le Menu Donner Filtrez Filtre Automatique.
Avez-vous trouvé le même nombre de diviseurs qu'à la question 1)b)
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................

Cyril Maugé 18/04/2017
3) Application:
a) Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs, autres
que lui-même. Ainsi 6 est un nombre parfait car 6 = 1 + 2 + 3.
En vous aidant de ce qui a été fait précédemment (il suffit de remplacer le
contenu de la case C1), trouvez tous les diviseurs autres que lui-même de
25,26,27,28,29 et 30:
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
Trouver le seul nombre parfait compris entre 25 et 30:
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
b) Extrait du roman "Le théorème du Perroquet" de Denis GUEDJ.
"Comme on lui demandait ce que c'est qu'un ami, il [PYTHAGORE] répondit:
"Celui qui est l'autre moi-même, comme sont 220 et 284."
Deux nombres sont "amis" ou "amiables", si chacun est la somme de tout ce qui
mesure l'autre.
Les deux nombres amis les plus célèbres du Panthéon pythagoricien sont 220 et
284. Ils font une belle paire."
Pour les Grecs, un nombre "mesure" un entier s'il est un diviseur de cet entier.
1- Trouver tous les diviseurs de 220, autres que lui-même, et calculer leur somme.
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
2- De même, trouver tous les diviseurs de 284, autres que lui-même, et calculer
leur somme.
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
3- Conclure
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................