EXERCICE II

Correction : mise en orbite d’un satellite
1.2. La fusée perd une masse mg par seconde donc : M (t)  M 0  mg .t
1.3. D’après la deuxième loi de Newton :
F
 g  v2 k
M (t).a  F  P  T soit a 
M (t)
soit en projetant sur l’axe vertical ascendant : a 
F

F
g
v2
 g   v 2 donc : a 
M 0  mg .t
M 0  mg .t
M (t)
1.4. La méthode d’Euler est une méthode numérique de résolution approchée d’une équation différentielle.
La vitesse et la position sont calculées pas à pas : leur valeur à un instant est déduite de la valeur précédente et de
l’accélération.
Cette méthode se décompose donc en deux étapes :
- On fait l’approximation que, pour une petite durée  , les grandeurs sont constantes entre t et t   . Donc : la
dérivée de la vitesse (ou de la position) est approximativement égale au taux d’accroissement.
- On utilise la deuxième loi de Newton (l’équation différentielle) pour déterminer l’accélération à un instant donné.
dv(t)
v
soit approximativement : a(t) 
par conséquent :
dt
t
v  a(t)t et donc : v(t   )  v(t)  a(t)   ou encore : v(t   )  v(t)  a(t)   .
1.5. D’après la définition de l’accélération : a(t) 
dz(t)
z
soit approximativement : v(t) 
par conséquent : z  v(t)t
dt
t
et donc : z(t   )  z(t)  v(t)   ou encore : z(t   )  z(t)  v(t)   .
D’après la définition de la vitesse : v(t) 
De plus, D’après la deuxième loi de Newton : a(t) 
F

g
v(t)2
M 0  mg .t
M 0  mg .t
1.6. Pour simplifier, on ne tient pas compte de la traînée. Donc a(t) 
F
g
M 0  mg .t
à t = 0, z = 0 et v = 0 donc : z(t1) =0.
à t =  , z(t1) =0 et v(t1) = 0 donc z(t 2 )  0  v(t1 )   or v(t1 )  0  a(0)   avec a(0) 
 F

 g   2
Soit : z(t 2 )  
 M0

F
g
M0
A.N : z(t 2 )  6,0.10-4 m.
F
g
M 0  mg .
On peut calculer séparément l’accélération a et la vitesse v, ou alors remplacer par leurs expressions dans z.
 F



 F


F
 g    2  
 g    
 g     
Soit : z(t 3 )  
 M0


 M 0  mg .

 M 0

à t = 2  , z(t2) =0 et v(t1) = 0 donc z(t 3 )  z(t 2 )  v(t 2 )   or v(t 2 )  v(t1 )  a(t1 )   avec a(t1 ) 
  F

 
F
 g  
 g     2 A.N : z(t 3 )  1,8.10-3 m.
donc : z(t 3 )   2  
  M 0  mg .
 
  M 0
Partie 2. Mise en orbite basse du satellite
2.1. FT /S  G.
mM T
RT  h 2
uN
2.2. D’après la deuxième loi de Newton appliquée dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen :
m.aS  FT /S
donc : m.aS  G.
mM T
RT  h 
2
.u N
soit : aS  G.
MT
RT  h 2
2.4. Dans le repère de Frénet, l’accélération du satellite s’écrit : aS 
Or, on a montré avec la deuxième loi de Newton que : aS  G.
MT
.u N
dvS
vS2
.uT 
.u
dt
RT  h  N
RT  h 2
.u N , l’accélération est donc radiale
centripète, elle n’a pas de composante tangentielle.
Par conséquent,
dvS
 0 : la vitesse du satellite est donc constante.
dt
2.4. L’expression de l’accélération du satellite dans le repère de Frénet s’écrit donc : aS 
Or aS  G.
MT
.u N , donc :
2
RT  h 
vS2
MT
et par suite : vS 
 G.
RT  h RT  h2
vS2
.u
RT  h  N
GM T
RT  h 
2.5. T est la période de révolution du satellite (ou période orbitale). Or, la vitesse du satellite sur son orbite
circulaire est constante, donc on peut écrire : T 
2 (RT  h)
vS
4 2 (RT  h)2
4 2 (RT  h)3
GM T
2
2
Soit : T 
avec vS 
donc : T 
et en définitive :
vS2
GM T
RT  h 
2
T2
R
+ h
3
T

4 2
G.M T
On trace le cercle de rayon TP (orbite basse) et le cercle de rayon TA (orbite haute).
Orbite
géostationnaire
définitive
Orbite
circulaire basse
altitude
h' = 3,6  10 4 km
altitude
h = 6,0  10 2 km
A
T
P
Terre
Orbite
de transfert
elliptique
Figure 6