Chapitre 3 : Lois de propabilités

STATS – CM – Chapitre 3
Chapitre 3 : Lois de propabilités
I.
Loi Binomiale
1. Etude de la variable X qui désigne le nombre de garçons dans une famille de 2
enfants.
X= nombre de garçons (en considérant que la probabilité qu’un enfant soit un garçon est de
½).
Nombre de garçon
X=0
X=1
X=2
Probabilité
0,25
0,5
0,25
2. Etude de la variable X qui désigne le nombre de garçons dans une famille de 4
enfants (probabilité d’avoir un garçon = ½)
Nombre de garçon
X=0
Calcul
Probabilité
1/16
4
(1/2)
1
4
X=1
C (1/2)
X=2
C (1/2)
X=3
C (1/2)
X=4
C (1/2)
4
2
4
3
4
4
4/16
4
6/16
4
4/16
4
1/16
4
Définition :
Si chaque évènement est indépendant et si pour chaque tirage ou évènement est
associé une probabilité de succès constant p, la variable « nombre de succès » suit une loi de
P
probabilité appelée « loi binomiale » notée pour n tirage B (n.p) ou B n
Avec :
K
n-k
P (X = k) = C(k * n) * p * (1 – p)
Dans l’exemple précédent, la formule se lit : « la probabilité que le nombre de garçon soit x
dans la famille de n enfant est … » avec p la probabilité qu’un enfant soit un garçon.
Ex. : x=1
1
1
P(x=1) = C (4 ; 1) * (1/2) * (1- ½) = C (4 ; 1) * (1/2) * (½)
1
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Propriétés :
E (X) = n * p
V(X) = n * p * (1 – p)
Ex : En moyenne, les parents de quatre enfants ont :
E (X) = 4 * ½ = 2 garçons
V (X) = 4 * ½ * (1 – ½) = 1
II.
Loi Hypergéométrique
Etude de la variable X qui désigne le nombre de trèfles obtenus sur 5 cartes tirées sans
remise (jeu de 32 cartes).
C (24 ; 5)
P (X=0) =
Nombre de mains possibles : C (32 ; 5)
C (12 ; 5)
Nombre de mains sans trèfles : C (24 ; 5)
C (8 ; 1) * C (24 ; 4)
P (X=1) =
Nombre de mains avec 1 trèfle :
C (8 ; 1) * C (24 ; 4)
C (32 ; 5)
Nombre de mains avec 2 trèfles :
C (8 ; 2) * C (24 ; 3)
C (8 ; 2) * C (24 ; 3)
P(X=2) =
C (32 ; 5)
Définition : lorsque dans une population de N individus, M possèdent une caractéristique
donnée. Sur un échantillon de n individus pris au hasard, la probabilité que k possèdent cette
caractéristique suit la loi :
C (M ; l) * C
P(X=k) =
N-l
N-M
C (M ; n)
Propriétés:
E (X) = n * M/N
V (X) = n * M/N * (1-M/N) * (N – n) / (N – 1)
Ex: Avec les données du début, le nombre moyen de trèfles est de :
E (X) = 5 * 8/32 = 40/32 = 1,25
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III.
Loi de Poisson
Lorsque l’on étudie un caractère rare sur une population donnée tel que :
- le nombre de fautes de frappe dans une page
- le nombre d’appels téléphoniques reçus en 2 secondes
Ces situations sont modélisées par une loi qui porte le nom de loi de Poisson :
(e - m * m k ))
-m
k
P(X = k) = e
*m /k!=
k!
Remarques :
1. On appelle processus de Poisson la réalisation d’évènements aléatoires qui
obéissent aux conditionnements suivants :
-
l’intervalle de temps choisi est suffisamment petit pour que la probabilité qu’un
évènement se produit soit favorable.
La probabilité de réalisation de l’évènement est proportionnelle à l’intervalle de temps
et est indépendante du passée.
2. Dans le cas d’une variable aléatoire qui suit une loi Binomiale B (n ; P) où n > 50
est n*p < 5, la loi Binomiale peut être approchée par une loi de Poisson.
P (X=k) =
e
m
*m
k!
k
avec m = n * p
Ex : Soit une urne contenant 100 boules (95 boules blanches et 5 boules noires). On réalise 50
tirages successifs en remettant à chaque fois dans l’urne une boule tirée. La probabilité de
tirer une boule noire est donc pour chaque tirage de 1/20
m=n*p
B (50 ; 1/20)
n = 50 et p = 1/20 (p constant) donc on peut approcher la loi de probabilité suivie par une loi
de Poisson :
25
k
(e
* 2,5 )
P (X = k) =
k!
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