078 - IECL

078 - 1
Etudier la courbe paramétrée par
x(t) =
4
t(t + 4)
y(t) =
1
+ t − 2.
t
Remarque : on a également
(t − 1)2
.
t
y(t) =
Domaine de définition
La fonction x n’est pas définie en t = −4, et t = 0. La fonction y n’est pas définie en t = 0. On
a donc D = R \ {−4, 0}.
Dérivées
On a facilement
x′ (t) = −
8(t + 2)
t2 (t + 4)2
et y ′ (t) =
t2 − 1
.
t2
La première dérivée s’annule en −2, et la seconde en −1 et 1.
Tableau de variation
t
−∞
x′
−4
+
+
+∞
−2
−1
0
−
>
+∞
+∞
q
x
1
−
−1
>
0
0
q
− 34
4
5
q
q
−∞
−∞
:
−4
0
+∞
+∞
>
9
: −2
y
25
: −4
~
−∞
y′
y ′ /x′
~
−∞
+
0
∞
0
−
0
−
0
0
+
078 - 2
Asymptotes
(i) Lorsque t tend vers −4, l’abscisse x tend vers l’infini et l’ordonnée y vers −25/4. La courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = −25/4. Elle coupe l’asymptote lorsque l’ordonnée
vaut −25/4, ce qui conduit à l’équation
4(t − 1)2 + 25t = 0 ,
c’est-à-dire
4t2 + 17t + 4 = 0 .
La deuxième solution est −1/4 et l’abscisse vaut alors −64/15.
(ii) Lorsque t tend vers l’infini, l’abscisse x tend vers 0 et l’ordonnée y vers 0. La courbe admet
l’axe Oy comme asymptote verticale.
(iii) Lorsque t tend vers zéro, les fonctions x et y tendent vers l’infini. On a tout d’abord
(t − 1)2 (t + 4)
y(t)
=
,
x(t)
4
et cette expression tend vers 1. Ensuite
y(t) − x(t) =
t2 + 2t − 7
t+4
tend vers −7/4 et la courbe admet comme asymptote la droite d’équation
y =x−
7
.
4
Pour étudier la position de la courbe par rapport à l’asymptote, on calcule
y(t) − x(t) +
7
t2 + 2t − 7 7
t(4t + 15)
=
+ =
.
4
t+4
4
t+4
Cette quantité est positive si et seulement si t appartient à l’ensemble
I = ] −4, −15/4 [ ∪ ] 0, +∞ [ ,
et la courbe est au-dessus de l’asymptote si t appartient à I. Elle est en dessous dans le cas
contraire.
Elle
recoupe l’asymptote pour t = −15/4, ce qui donne le point de coordonnées
64 361
.
− ,−
15
60
078 - 3
Point double
On considère le système
avec t1 différent de t2 .

4
4

=


 t1 (t1 + 4)
t2 (t2 + 4)
,



 1 − 2 + t1 = 1 − 2 + t2
t1
t2
En regroupant tous les termes dans le membre de gauche et en réduisant au même dénominateur,
on peut simplifier par t1 − t2 , et le système devient
t1 + t2 + 4 = 0
.
t1 t2 − 1 = 0
Si l’on pose
S = t1 + t2
et P = t1 t2 ,
les nombres t1 et t2 sont racines du trinôme T (X) = X 2 − SX + P .
On peut exprimer le système en fonction de S et P .
S+4=0
.
P −1=0
On en déduit
P = 1 et S = −4 ,
Le trinôme
T (X) = X 2 − SX + P = X 2 + 4X + 1
a un discriminant positif et admet donc des racines réelles. On peut obtenir les valeurs de x et
y sans calculer ces racines. Si t est une de ces racines, on a
t2 = −4t − 1 .
Alors
x(t) =
4
= −4 et
2
t + 4t
y(t) =
Le point double a donc pour coordonnées (−4, −6).
t2 − 2t + 1
= −6 .
t
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Tracé de la courbe
6
-
−25/4