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1ERE S CHAPITRE 6 : DÉRIVATION
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I Nombre dérivé et tangente
1. Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
f
C
sa courbe représentative dans un repère du plan. On
considère un point A de
f
C
d’abscisse a .
Soit h un réel non nul tel que a+h appartient à I et M le point de
f
C
d’abscisse a+h .
Exemple 1 Soit la fonction f telle que
2
xxf 
. On cherche si f est dérivable en 1
 On calcule
2
22111 hhhhf 
et
11 f
 Le taux d’accroissement est
h
hhh hfhf 
 2 12111 2
0h
lim
202
11   hfhf
 f est donc dérivable en 1 et le nombre dérivé de f en 1 est 2 et donc
1
'
f
= 2
2. Tangente à une courbe
Le fait que le nombre h tende vers 0 se traduit graphiquement par le fait que M se rapproche du point A.
Quand M se rapproche de A sur
f
C
, le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers une limite, et cette
limite est égale à
af '
 Equation de la tangente à une courbe en un point
Une équation de cette tangente peut s’écrire
pxa'fy 
,où p est l’ordonnée à l’origine de la
droite (AM).
 Exemple 2
Définition 1
Lorsque le taux d’accroissement tend vers un nombre réel quand h
tend vers 0, on dit que f est dérivable en a . Ce nombre est appelé
nombre dérivé de f en a . Il est noté
af '
.
On écrite alors :
af '
=
0h
lim
hafhaf 
haf 
af
a
ha
Le coefficient directeur de la droite (AM) est
hafhaf 
.
Ce rapport est appelé taux d’accroissement de f entre a et a+h .
0
0
Définition 2
Si f est dérivable en a, on appelle tangente au point A à la
courbe
f
C
la droite qui passe par A et de coefficient directeur le
nombre dérivé
af '
a
af

1ERE S CHAPITRE 6 : DÉRIVATION
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On considère la fonction f définie sur ℝ par
xxxf 4
2
On cherche à déterminer l’équation de la tangente T au point A d’abscisse 1, à la courbe
f
C
,
représentative de f .
 On détermine le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 1 :
31 f
;
3244211411 22
2 hhhhhhhhf
D’où
2
233211 22   h
hhh h
hh
hfhf
Lorsque h tend vers 0 ,
2h
tend vers – 2. Ainsi
21 
'
f
Le coefficient directeur de la tangente au point A est alors – 2 ;
 On écrit l’équation de la tangente :
Son équation est de la forme
pxa'fy 
, soit
pxy  2
 On détermine l’ordonnée à l’origine :
A(1 ; - 3) appartient à la tangent, donc ses coordonnées vérifient l’équation de la tangente, donc
p 123
, d’où
1p
 On conclut : une équation de la tangente T est donc
12  xy
II Fonctions dérivées
1. Fonction dérivée
2. Dérivées des fonctions usuelles
III Dérivées et opérations
Fonction
f
Dérivable sur
f ‘
constante
kxf 
ℝ
0xf '
linéaire
mxxf 
ℝ
mxf '
affine
pmxxf 
ℝ
mxf '
carré
2
xxf 
ℝ
xxf '2
cube
3
xxf 
ℝ
2
3xxf '
puissance
n
xxf 
ℝ
1
n' nxxf
inverse
x
xf 1
-∞ ; 0
0 ; +
2
1
x
xf '
racine carrée
xxf 
]0 ; +
x
xf '21
Définition 3
Soit f une fonction définie sur intervalle I.
On dit que f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout nombre a de I.
Alors la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé
xf '
est appelée la fonction dérivée de f . On la
note
'
f
.

1ERE S CHAPITRE 6 : DÉRIVATION
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Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Propriété 1
La somme
vu
est dérivable sur I et
'v'u' vu 
Propriété 2
Le produit
uv
est dérivable sur I et
'uvv'u' uv 
Propriété 3
Le produit
ku
est dérivable sur I et
'ku' ku 
Propriété 4
Le carré
' u2
de u est dérivable sur I et
'uu' u 2
2
Propriété 5
L’inverse de v , avec v(x) ≠ 0 sur I, est dérivable sur I et
2
1v'v
'
v
Propriété 6
Le quotient
v
u
, avec v(x) ≠ 0 sur I, est dérivable sur I et
2
v'uvv'u
'
v
u
Démonstration 1
Pour tous nombres réels
a
et
ha
de I avec h ≠ 0,
havhav hauhau havuhavu 
On reconnaît la somme des taux d’accroissement de
u
et de
v
. Les fonctions
u
et
v
sont dérivables,
donc les limites de leurs taux d’accroissement, quand h tend vers 0, sont
a'u
et
a'v
.
La limite du taux d’accroissement de
vu
entre
a
et
ha
est donc
a'va'u 
lorsque h tend vers o.
Démonstration 2
Pour tous nombres réels
a
et
ha
de I avec h ≠ 0,
au
havhav
hav
hauhau havauhavhau hauvhauv 
Lorsque h tend vers 0,
hauhau 
tend vers
a'u
,
havhav 
tend vers
a'v
et on admet que
hav 
tend vers
av
.
Alors, le taux d’accroissement de
uv
entre
a
et
ha
est donc
a'vauava'u 
lorsque h tend vers o.