OSCILLATIONS ELECTRIQUES FORCEES, RESONANCE

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OSCILLATIONS ELECTRIQUES FORCEES, RESONANCE.
Un circuit oscillant doit recevoir de l’énergie pour entretenir les oscillations qu’il génère. Une
solution est de le coupler à un oscillateur extérieur de fréquence réglable. Ce type
d’oscillations couplées est un modèle fréquemment rencontré en électricité mais aussi en
mécanique. Il permet d’introduire la notion très importante de résonance et du facteur de
puissance d’une ligne électrique.
A la fin de ce document, l’accès à une simulation permet au lecteur de modifier à volonté
tous les paramètres et de noter leur influence sur le comportement de l’oscillateur.
I- ETUDE EXPERIMENTALE DU DIPOLE RLC SERIE :
a/ montage : Il comprend : (schéma ci-dessous)
Un générateur G qui délivre une tension alternative sinusoïdale uG aux bornes du dipôle R L
C.
Pour observer les variations des tension et intensité, le circuit doit être connecté aux voies 1 et
2 d’un oscilloscope bicourbe.
Un ampèremètre enregistre la valeur efficace I de l’intensité du courant dans le circuit.
Un voltmètre mesure la tension efficace U aux bornes de l’ensemble.
Pour ce premier montage, on prendra : R=400 ; L=0.65H ; C=4F.
Voie2
Mes.I
A
C
u(t)
G
V
L
Mes.U
Voie1
1
R
uR
(t)
b/ notion d’impédance Z du circuit :
Pour une fréquence N=500Hz imposée par le générateur,le relevé des valeurs efficaces de la
tension U aux bornes du dipôle RLC et de l’intensité qui le traverse permet de dresser le
tableau :
8.74
7.66
6.54
5.43
4.33
3.26
2.17
1.11
U(V)
I(mA)
4
Calcul :U/I 2185
(V/A)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
2188
2180
2172
2165
2173
2170
2220
2
Le rapport U/I, sensiblement constant, définit l’impédance Z du dipôle RLC ,mesurée en
ohms.
Impédance : Z=Error!
unités SI : U(V) ,I (A) , Z()
Sa valeur est distincte de celle de la résistance du dipôle : Z=2220 et R=410.
On constate que pour d’autres valeurs de la fréquence N, le rapport U/I est modifié mais reste
toujours supérieur ou égal à 410.
Z>=R et Z dépend de la fréquence.
c/ Tracé de la courbe de réponse en intensité I=f(N) :
Pour une tension efficace U constante égale à 12,0V et une fréquence variant de 20 à 250Hz,
on a relevé les valeurs de l’intensité efficace I pour deux valeurs de R égales à 40 puis 400.
On obtient les deux graphes suivants :
300
Intensité (mA)
250
200
150
100
50
fréquence (hz)
0
0
50
100
150
200
250
R=40
35
Intensité (mA)
30
25
20
15
10
5
f r éq uence ( hz )
0
0
50
100
150
200
250
R=400
Ce type de courbe en cloche est observé aussi en mécanique. Il s’agit ici d’une résonance
d’intensité.
L’intensité efficace prend une valeur maximale Io pour une fréquence voisine de N=100Hz
c'est-à-dire la fréquence propre de l’oscillateur libre (supposé sans résistance).
3
Pour R=40, la courbe est très pointue ; Io= 270mA, on dit que la résonance est aigüe.
Pour R=400, la courbe s’aplatit et Io= 30mA, la résonance est dite floue.
L’impédance Z varie avec la fréquence et sa valeur est minimale à la résonance :
Pour R= 40, Z = U/Io = 12V /0.270A = 40 = R
à la résonance, l’impédance est égale à la résistance .
Ainsi,
d/ observations à l’oscillographe :
Les paramètres du circuit sont : U=12V, R=40 ; L=0.65H et C=4F
Sur l’écran de l’oscilloscope il est possible d’observer simultanément:
-la tension aux bornes de la résistance uR(t) .(comme celle-ci est proportionnelle à i (car uR=R.i), elle
nous donne sur l’écran de l’oscilloscope l’évolution de l’intensité i(t) à une constante multiplicative prés. Sur le
graphe ci-dessous l’ordinateur a tracé directement i(t))
-la tension u(t) aux bornes de l’ensemble du dipôle R L C .
a- Pour N=50Hz , on obtient les 2 courbes suivantes :
mA
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
i(t) (mA)
0,00
-5,00 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
u(t) (V)
-10,00
-15,00
-20,00
-25,00
échelle des temps en seconde
Observations : l’intensité i(t) est sinusoïdale et de période T=0.02s (N=50Hz) égale à celle de
la tension u(t) imposée par le générateur.
La tension u (t) est déphasée par rapport à i(t) ; plus précisément elle est en retard de phase
sur i(t) .Ce retard peut être estimé à t = 0.005s = 5ms.
4
b- Pour N=100Hz, u(t) et i(t) sont en phase et l’amplitude de l’intensité passe par un
maximum
ce qui est en accord avec la courbe de réponse observée avant. C’est la résonance d’intensité.
mA
300,00
200,00
100,00
i(t) (mA)
0,00
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
u(t) (V)
-100,00
-200,00
échelle des temps en seconde
-300,00
c/ Pour N=150Hz, on obtient les deux courbes :
mA
40,00
30,00
20,00
10,00
i(t) (mA)
0,00
-10,00
0
0,01
0,02
0,03
-20,00
-30,00
-40,00
échelle des temps en seconde
Cette fois u(t) est en avance de phase sur i(t).
0,04
0,05
u(t) (V)
5
Dans tous les cas la fréquence des oscillations du courant dans le circuit RLC est celle du
générateur .Celui-ci impose sa fréquence au circuit , c’est le régime d’oscillations forcées .
II MODELISATION DU CICUIT R L C série :
« POINT METHODE » :
pour voir ou revoir la représentation d’une fonction sinusoïdale, cliquer sur le lien :
Oscillations sinusoîdales;méthodes de représentations de Fresnel et complexes
1-Loi d’ additivité des tensions :
q
C
L
uc
uB
R
uR
u
u (t )  u c  u B  u R 
Elle s’écrit :
Et comme : q(t )   i(t ).dt u (t ) 
t
0
q
di
 L.  R.i
C
dt
1 t
di
i
(
t
)
dt

L
 Ri
C 0
dt
2-Usage des nombres complexes :
On choisit arbitrairement pour i(t) une fonction sinusoïdale du temps dont la phase à l’origine
est nulle : i(t) = IMcost. Ce choix permet d’établir les correspondances suivantes :
Grandeur algébrique
i(t)
di
dt
 i(t ).dt
u(t)
Nombre complexe associé
[i]=IM
j.[i] = j IM.
1
Im
.[i] 
j
j.
[u]=UM.ej
Elles permettent d’écrire la loi d’additivité en écriture complexe :
6
[u ]  R[i ] 
jL[i ] 
[u ]  [ z ][i ]
[ z ]  R  j ( L 
1
[i ]
jC
1
)
C
Le nombre complexe [z] (impédance complexe) permet le calcul de l’impédance Z du
dipôle R L C et du déphasage  entre u(t) et i(t) .
Z est le module du nombre complexe soit :
Z  R 2  ( L 
1 2
)
C
L’argument du nombre complexe est  ; il est tel que
tan  
L 
1
C
R
; sin  
L 
1
C.
Z
;
cos  
R
Z
Ces résultats théoriques confirment les résultats expérimentaux précédents à savoir :
a- L  
1
,
C
l’effet capacitif l’emporte sur l’effet de l’inductance de la bobine (voir fig1,la construction de
Fresnel du circuit); tan <0 ; <0 et u(t) est en retard sur i(t).
Lw
1/C
R

Z
Fig 1
b-
L  
1
,
C
L’effet inductif l’emporte sur l’effet capacitif (fig 2);
Tan>0 ; >0 et u(t) est en avance sur i(t).
Origine des
phases
7
Lw
R
1/C

Z
Fig 2
c-
1
 L l’effet capacitif compense l’effet inductif ;tan=0 ;=0 (fig3)et i(t) et u(t)
C
sont en phase. ; c’est la résonance d’intensité.
Alors Z est minimum et égale à R, et le déphasage entre u et i(t) est nul
(voir graphe de Z et ci-dessous )
8
2
phase (u,i) (rad)
1,5
déphasage entre u et i (rad)
1
0,5
0
-0,5 0
50
100
150
-1
200
250
fréquence N(Hz)
-1,5
-2
A la résonance, la fréquence N imposée par le générateur est égale à la fréquence propre de
l’oscillateur ; on a la relation : LC o2=1 avec 0=pulsation de résonance.
Lw
R=Z
1/C
=0
Fig 3
A la résonance l’impédance complexe est égale à R ; elle est donc réelle.
Remarque : les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine peuvent être très grande à
la résonance. Il y a risque de surtension .
III ETUDE ENERGETIQUE:
1-Expression de la puissance instantanée:
p(t)= u(t)*i(t)= Um.cos(t+)*Im.cos.t=(Um.Im./2 )[cos.+cos(2t+)]
p(t)= U.I.[cos +cos(2.w.t+)] (voir graphe de p(t) en pointillé ci-dessous)
9
mA
i(t) (mA)
200,00
u(t) (V)
p(t) (cW)
pmoy(cW)
150,00
100,00
50,00
0,00
-50,00
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
-100,00
-150,00
-200,00
échelle des temps en seconde
2-Puissance moyenne :
p(t) est la somme d’un terme constant et d’un terme sinusoîdal de période moitié de celles de
la tension et de l’intensité.
La valeur moyenne du terme périodique est nulle .
Finalement la puissance moyenne est : Pmoy=U.I.cos
Le terme cos s’appelle facteur de puissance du circuit
Le produit U.I est souvent appelé « puissance apparente »unité SIV.A
Il est plus intéressant de connaître la puissance moyenne, car celle- ci permet de mesurer
l’énergie reçue par le dipôle pendant t : W=P.moy.t .(L’énergie correspond à l’intégrale entre
o et t de p(t))
Sur le graphe ci-dessus Pmoy est une droite parallèle à t dessinée par des croix.
Comme co= R/Z et et U=Z.I , Pmoy=R.I2.,expression qui n’est autre que la « puissance
Joule ».Cela veut dire que la puissance moyenne reçue est transformée intégralement en
puissance calorifique dans la résistance du circuit. En régime d’oscillations forcées, le
générateur apporte de la puissance nécessaire au circuit pour compenser les pertes par effet
Joule.
3-Puissance moyenne à la résonance :
A la résonance, =0 et cos =1, la puissance consommée est maximum et est égale à la
puissance apparente. Cela est logique puisque l’intensité efficace passe alors par un maximum
et « l’effet Joule » et maximum.
Remarque :Les composants L et C (supposés sans résistance) ne consomment globalement
pas de puissance en moyenne. Les parties L et C échangent de la puissance sans qu’il soit
besoin d’en apporter en quantité supplémentaire. L’ensemble L et C fonctionne comme un
oscillateur non amorti.
4-Importance du facteur de puissance :
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L’énergie électrique consommée par une installation est transportée par une ligne de
résistance totale R, traversée par un courant d’intensité efficace I .Si l’installation desservie
consomme la puissance moyenne électrique Pe=U.I.cos, la puissance électrique perdue
dans la ligne est :
Pe=RI2= R .(Pe/U.cos)2.
Cette puissance perdue dépend de l’installation électrique de l’utilisateur
Pour minimiser cette perte, le facteur de puissance cosRde l’installation desservie doit
être aussi proche que possible de 1 (soit Z=R). Or, ceci n’est possible que si la tension u et
l’intensité sont en phase. L’utilisateur peut agir sur le facteur de puissance, en ajoutant par
exemple un condensateur dans l’installation.
Tous les paramètres du circuit RLC définies dans ce cours peuvent être modifiés à volonté
en utilisant la simulation ci-dessous :
Oscillations électriques forcées,résonance(simulation)
