01/02/2010 Chapitre 1 : La théorie du consommateur But, objectif

01/02/2010
Chapitre 1 :
La théorie du consommateur
But, objectif :





Quelle est la motivation du consommateur/agent ? → fonction d’utilité
Description des contraintes de la décision du consommateur
L’équilibre : ce que le consommateur fait de mieux en fonction des contraintes
Propriétés de l’équilibre
Propriétés marginales de l’équilibre : qu’est-ce qui pourrait faire que l’agent change de
décision ?
08/02/2010
Préférences et utilité
A. Structure de préférences.
Thermomètre normal :



Ne change pas selon l’échelle
Echelle universelle
Question de l’hétérogénéité des décideurs pas importante
Thermomètre qui mesure les plaisirs et les peines :
Comparaison plaisir/peine entre les individus impossible.
On observe des différences de salaires très importantes entre différents métiers
(ex :
 métiers de la distribution : caissier ou celui qui alimente les rayons → revenus faibles
 hôtesse d’accueil chez Air France → revenus élevés
 Les travailleurs d’Air France sont plus heureux que ceux qui travaillent dans la distribution ?
Non.
Le thermomètre universel n’existe pas.)
2 pb :


Comparaison interpersonnelle des structures de satisfaction
Comparaison entre les situations
 Effet de risque (situation où on connait bien le risque, d’autres pas)
 Préférence pas fixée pour toute la vie : incohérence temporelle dans les choix
 Présence d’alternatives non pertinentes.
ex :
 choix entre la mer et la montagne → préfère la mer
choix entre la mer et la campagne → préfère la mer
choix entre la campagne et la montagne → préfère la montagne
=> choix cohérent
 choix entre la mer et la montagne → préfère la mer
choix entre la mer, la montagne et la campagne → préfère la montagne
=> choix incohérent

choix entre la mer et la montagne → préfère la mer, car dans l’absolu c’est
ce qui a de mieux ; ou car relativement, on élimine la campagne
choix entre la mer, la montagne et la campagne → préfère la montagne, car
alternative « campagne » comme outil de comparaison : la campagne
permet d’apprécier différemment la mer et la montagne => les alternatives
non pertinentes influencent les choix
 Les économistes vont essayer de trouver le thermomètre le plus approximatif possible : plus
le thermomètre sera précis, moins les calculs faits auront un sens/une signification.
L’individu choisit entre différentes alternatives (A) :


le choix sera toujours exhaustif
les choix sont mutuellement exclusifs : pas d’incertitude radicale ( = fait d’ignorer son
ignorance)
ex : thé ou café ? la notion de chocolat chaud n’existe pas → A = { thé, café, thé et café, NT }
Une relation binaire ≤ est définie de A dans A est :




complète : on peut toujours savoir
quelque soit (x,y) appartenant à A² ; x ≤ y ou x ≥ x
sans la complétude, on perd l’existence de plus grands ou de plus petits éléments
transitive
quelque soit (x,y,z) appartenant à A3 ; x ≤ y et y ≤ z => x ≤ z
réflexivité : chaque élément est préféré à lui-même
quelque soit x, x appartenant à A, x ≤ x
fermée
quelque soit x*, x* appartenant à A, { quelque soit x, x appartenant à A / x ≤ x* } et { quelque
soit x,x appartenant à A / x* ≤ x } sont des fermés de A
avec tout ce qui est pire que x*, on ne peut pas fabriquer quelque chose de mieux que x*
Définition :
Relation binaire = pré-ordre complet et fermé de préférence si elle est fermée et complète, transitive
et réflexive.
Préférence stricte :
quelque soit (x,y) appartenant ) A² ; [ x ≤ y et non (x ≥ y)]  [x < y]
Indifférence :
quelque soit (x,y) appartenant à A² ; [ x ≤ y
x ≥ y]
 [x ~ y]
(cf plateforme de cours ?)
Théorème :
cf plateforme de cours
Théorème de Arrow et Debreu (prix Nobel), 1959
Si l’individu préfère x à y, c’est équivalent à U(x) > U(y) (U = utilité)
U:A→R
f(x) = 2x+1
f(0) = 1
f(1) = 3
f(3) = 7
3–0=3
f(3) – f(0) = (3*2 + 1) – (0*2 + 1) = 6
F(x) = ax + b
on suppose que b est quelconque et que a > 0
U(fraises) = 3
U(chocolat) = 0
f(U(fraises)) = 3*a + b
f(U(chocolat)) = 0*a + b
Quand je prends le thermomètre U pour savoir ce que l’individu préfère, il va préférer les fraises.
Ecart d’utilité = 3
Quand je prends f(U), il va préférer les fraises. Ecart d’utilité = 3a
En passant de f à f(U), on garde l’information sur l’utilité : c’est le même coefficient à « a » près.
=> le coefficient a permet de passer d’une utilité à l’autre.
Quand on a f(x) = (9/5)x + 32, si x est en Celsius, f(x) est en fahrenheit. Parce que le passage des
celcus aux fahrenheit se fait par une fonction monotone croissante, les écarte de température entre
ces 2 échelles sont conservées.
B. Fonction d’Utilité : cardinalité et ordinalité.
Différence entre ordinalité et cardinalité :
Combien de fonction d’utilité a un individu ? une infinité → on va se concentrer sur le fait de passer
d’une fonction d’utilité d’un individu à une autre fonction d’utilité d’un même individu : on considère
que cette fonction est la même à une transformation quelconque continue (ex : il faut que je préfère
les fraises que le chocolat dans les 2 fonctions) et croissante (ex : il ne faut pas que le préfère les
fraises que le chocolat dans la 1ère fonction et l’inverse dans la 2ème fonction) → filtre informationnel :
ne retiens que l’ordre : préfère les fraises au chocolat. Si je veux retenir plus d’informations, il faut
que le filtre soit plus resserré, que la fonction soit plus précise, il faut donc que la transformation soit
affine pour garder les écarts d’utilité.
Cardinalité = réaliste car information fiable. Ex : un étudiant pauvre et un travailleur riche ont une
amande de 11€ pour stationnement, on suppose que le déplaisir est le même pour les 2.
Il faut s’en passer quand on peut
Ordinalité = pas réaliste car information peu fiable. Ex : qqn veut aider les hab de vaulx en velin, il
suppose que les personnes qui n’habitent pas à vaulx n’ont pas besoin d’aide. → pb de seuil.
Instrument très utile mais ne permet pas de faire beaucoup de choses
Comparaison interpersonnelle d’utilité.
Ex : niveau de douleur entre 0 et 10


Une même personne : 1er jour 8, 2eme jour 8 : peut-être habitué à la douleur
2 personnes : 1ère personne 9, 2ème personne 8 : il faut soigner en priorité le 9 ? non
rationnel : on ne peut pas comparer les utilités entre les individus
Que faut-il choisir : utilité cardinale ou ordinale ?


Plus ou moins d’information
Information plus ou moins robuste
Plus d’information, moins fiable ou moins d’information plus fiable ?
Attention ‼
Ne pas confondre ordinalité/cardinalité avec la définition d’utilité U : A → R
C. Utilité et courbe d’indifférence.
Les courbes d’indifférence sont une représentation graphique.
Les courbes d’indifférence = ensemble des paniers de biens dont la conso procure exactement le
même niveau d’utilité au conso
Hypothèse de non satiété des préférences = hypothèse technique
Lequel de ces exemples traduit des courbes d’utilité totales identiques ?
Chips

NON

Coca
Chips

NON

Coca
Chips


PEUT ÊTRE
Coca
La forme de la courbe d’indifférence va dépendre de la relation éco entre les biens considérés. Cette
relation s’exprime en termes monétaires (j’ai des dvd et je veux des chips : je vais vendre mes dvd
pour acheter des chips), en terme de préférence (je préfère un baba au rhum qu’un baba sans rhum
+ un verre de rhum), et en terme technologiques (relation de complémentarité ou de substituabilité :
un volant sans voiture n’est pas utile, ni une voiture sans volant).
Quand je me promène le long de la courbe d’indifférence, je compose différentes compensations
entre les 2 biens (ici, Chips et Coca). La question clé est que le mécanisme de compensation entre les
biens, pour conserver le même niveau d’utilité, dépend des quantités absolues des biens considérés
(la règle de compensation n’est pas la même en partant de 100L ou de 2L de Coca).
La variabilité de la règle de compensation justifie le rayon de courbure de la courbe d’indifférence.
Rayon de courbure = pente de la tangente en un point de la courbe d’indifférence.
Chips



Coca
Le TMS (taux marginal de substitution) ne sera pas le même tout le long de la courbe.
Ceci est le schéma de la fonction d’utilité avec 2 biens. Cette fonction est caractérisée par plusieurs
éléments :


Elle est croissance
Elle est concave : utilité marginale décroissante

Le rayon de courbure dans le plan horizontal de la fonction d’utilité va exprimer le TMS entre
les biens.
La satisfaction du consommateur augmente au fur et à mesure que l’on passe à des courbes
d’indifférences plus hautes.
Cas de biens fortement addictifs :
Utilité marginale croissante
Propriétés des courbes d’indifférence :




Plus elles sont loin (proche) de l’origine, plus (moins) l’utilité est importante
Elles ont une pente négative
Elles sont convexes
Elles ne peuvent pas se croiser
Les substituts parfaits : règle de compensation/ratio constant(e) → TMS constant
U(x,y) = ax + by
Les compléments parfaits : il n’y a pas de compensation
U(x,y) = min(x,y)
Si le TMS est égal à un coefficient constant indépendant des quantités, les biens sont parfaitement
substituables.
Quand les biens sont parfaitement complémentaires, le TMS est nul ou infini. (ex : boulon/écrous)
D. Utilité marginale et TMS. Cf td
Combien je suis prêt à abandonner de Coca pour avoir plus de chips ?
Le TMS mesure la variation de coca que je suis prêt à céder pour obtenir une unité supplémentaire
(ici 1 paquet) de chips.*
(1-5)/(5-2) = -4 /3
=> le TMS vaut -4/3 en un point
TMS (Q1) = pente de U en Q1 = -p
TMS (Q2) = pente de en Q2 = -p
Rappel : tous les paniers d’une même courbe d’indifférence apportent la même utilité. Ainsi, si les
paniers (x,y) et (x + ∆x , y + ∆y) sont sut la même courbe d’indifférence, on doit avoir :
∆U = U(x,y) – U(x + ∆x , y + ∆y) = 0
∆U = (δU/δx).∆x + (δU/δy).∆y = 0
Variation de l’utilité due à la variation de la quantité de bien x consommée.
 - Δy/Δx = (δU/δx) / (δU/δy)
TMS
(toujours négatif)
E.
rapport des utilités marginales
Propriétés analytiques de la fonction d’utilité.
A = ensemble des biens
Soit Ul la fonction d’utilité de l’agent i : Ul : A → R
On la suppose continue et croissante
Si A est inclus dans Rl, où l est le nombre de biens et des services disponibles dans l’éco ?
Alors qqs x appartenant à A, qqs y appartenant à A, x et y étant donc 2 paniers de biens
x ≥ y  Ul(x) ≥ Ul(y)
Attention à la relation d’ordre :
Si A est inclus dans Rl, où l est le nombre de biens et de services disponibles dans l’éco
Alors qqs x appartenant à A ; qqs y appartenant à A ; x et y étant donc 2 paniers de bien
x ≥ y  qqs h, h=1, …,
3>2
(1,2)
(3,1)
=> on ne peut pas comparer ces 2 vecteurs
On peut toujours comparer 2 nombres : la relation d’ordre sur R est complète.
La relation d’ordre sur R² n’est plus complète.
Imaginez que la société soit composée de 2 individus.
Etat A : l’individu 1 ressent 1 et l’individu 2 ressent 2 → collectivité ressent (1,2)
Etat B : l’individu 1 ressent 2 et l’individu 2 ressent 4 → collectivité ressent (2,4)
=> on préfère l’état B
Etat C : l’individu 1 ressent 50 et l’individu 2 ressent 1 → collectivité ressent (50,1)
Hypothèse de dérivabilité :
Soit Ul la fonction d’utilité de l’agent l : Ul : A → R
Cette fonction est supposée de type C² :


Continuement dérivable 2 fois
Toutes les dérivées partielles 1ères ne sont pas toutes nulles
Hypothèse de Quasi-Concavité Stricte :
Soit Ul la fonction d’utilité de l’agent l : Ul : A → R
On la suppose strictement quasi concave ssi :
qqs x appartenant à A ; qqs y appartenant à y ; qqs α appartenant à ]0 ;1[
Ul (x) ≤ Ul (y) => Ul (x) < Ul (α.x + (1- α) y)

L’égalité peut entrainer l’inégalité ( ≤ ; <)
X2
X1
Quand on a la quasi concavité stricte des fonctions d’utilité, on est assuré de l’unicité ( = avoir une
seule solution).
Hypothèse de quasi concavité :
Ul (x) < Ul (y) => Ul (x) < Ul (α.x + (1- α) y)
Problèmes posés par la quasi concavité simple :
Equilibres multiples
Solution de coin (troncature à gauche) : lorsqu’on écrase la distribution (en stat)
Hypothèse de quasi concavité faible
Ul (x) ≤ Ul (y) => Ul (x) ≤ Ul (α.x + (1- α) y)
Quand la quasi concavité stricte n’existe plus, l’unicité de la solution n’est plus garantie.
En économie, cela signifie en particulier que le revenu, les prix et la structure de préférence ne
suffisent plus pour que l’agent économique puisse décider.
Exemple : choix avec externalité de réseau : aime la pizza, a les moyens de la payer, mais n’aime pas
la manger seul
Ce que n’est pas la fonction d’utilité :


La fonction d’utilité sommable et additivement séparable = les biens sont supposés
indépendants
L’envie et la fonction d’utilité (Gary Bolton et Axel Ockenfels) : l’individu est sensible à ce
qu’il consomme lui, et le ratio entre sa conso et la conso de l’autre. Ex : augmentation de
salaire de 50€ pour soi et de 100€ pour ses collègues
08/03/2010
Contrainte de Budget
A. Concurrence parfaite (info et exogénéité des prix parfaites)
Contrainte de budget fondée sur l’exogénéité des prix, CAD que l’agent éco n’a aucun
pouvoir sur le mécanisme des prix.
Ex : pack de yaourt à 2€ les 12, voiture à 20 000€. Pourquoi on négocie le prix de la voiture et
pas celui des yaourts ? Pas car c’est moins cher (valeur absolue), mais question centrale : le
nombre d’acheteur et le nombre de vendeurs est tel qu’aucun acteur éco n’a une capacité
d’influence sur le prix (il n’a y pas réellement de négociation, le vendeur prévoit dès le
départ de faire 20% sur le prix catalogue, et il le fait à tous ses clients).
Paradoxe :


Atomicité (nombre d’intervenants) : au-delà de 4 ou 5, l’atomicité existe.
Paradoxe de l’atomicité.
Ex : tarif aérien d’octobre 2001 en baisse, car après les attentats les gens ne voulaient
plus prendre l’avion.
 Pas conscience de notre capacité d’influence.
 Couts de transaction trop élevés :
Ex : prof propose de signer pétition pour changer l’écran et le rétroprojecteur.
Signe car pas à rédiger le texte, à l’imprimer, à expliquer pourquoi signer, à
convaincre qu’il faut signer,… : il n’a a pas de couts de transaction / de couts
liés à l’organisation
Exogénéité des prix (atomicité) :
Les prix sont donnés :


Aucune influence individuelle sur le mécanisme des prix
Les agents sont des preneurs de prix (« Price Takers »)
Les prix sont relatifs :


Pas d’effet monétaire : seul compte le rapport des prix.
Exemple : yaourt nature à 1 schtroumpf et yaourt à la fraise à 2 schtroumpfs ; on
remarque seulement que le yaourt à la fraise est 2 fois plus cher : on raisonne en
valeurs relatives.
Loi de Walras : si L biens dans l’éco, il y a donc (L-1) rapports indépendants →
n’importe quel bien peut être numéraire
L’information est parfaite :
Les prix sont connus en tout moment et en tout lieu :


Pas d’info privée : aucune rente informationnelle ( = opportunité de gain liée à l’info)
sur les prix. La circulation de l’info plus rapidement permet de gagner de l’argent.
Ex : le cousin donne une info importante lors du repas du dimanche → je parie en
bourse en fonction de ce que m’a dit mon cousin et gagne de l’argent. C’est du délit
d’initié.
Les opportunités de gain lié à l’info (rente informationnelle) n’existent pas dans la
réalité.
On suppose que lors d’un contrat entre individu, ce contrat est complet : ne
comporte pas de surprises. En réalité ils sont incomplets : on n’envisage jamais
toutes les possibilités.
Seules les caractéristiques de chaque fonction d’utilité constituent des infos privées.
Ex : je préfère le chocolat que les épinards
Axiomes pour la concurrence PURE et parfaite :

Homogénéité des produits : tous les biens échangés ont la même caractéristique.
Ex : l’UE a interdit à Watterman de racheter Parker car la société fusionnée aurait
une influence trop grande sur le marché du stylo. Hypothèse fausse : marché du stylo
partagé entre marché des stylos de luxe VS marché des stylos basiques (Bic par
exemple).
Derrière la question de l’homogénéité, il y a la question de la différenciation. Le but
de chaque entreprise est de sortir de la concurrence en se différenciant. Il y a 2
sortes de différenciation :
 Différenciation horizontale : concerne la demande
Ex : Air France VS Easy Jet : nourriture « offerte » et destination et horaires
plus adaptées avec Air France ; moins cher avec Easy Jet → les
consommateurs n’ont pas la même attente.
 Différenciation verticale : concerne l’offre, CAD qu’on différencie notre
produit en fonction des caractéristiques qu’on introduit sur le marché
Ex : la société Accord possède les chaînes Sofitel, Novotel, Ibis, 1ère Classe : la
personne qui va dormir dans une chambre Sofitel n’ira pas dans une chambre
1ère Classe : on suppose que la demande est différenciée, segmentée : pas de
Sofitel à la sortie des autoroutes car les personnes qui cherchent un hôtel
près de l’autoroute veulent juste dormir et ne font pas attention à la qualité.
Remarque : il faut que les marchés soient étanches, CAD que les
consommateurs ne changent pas de classes dans la différenciation. Par
exemple si la différence de prix entre Sofitel et 1ère Classe est trop grande, les
consommateurs vont quitter Sofitel pour 1ère Classe.
B. Expression de la richesse.
Richesse et revenu :
Pour le cours, richesse = revenu, mais pas dans la vraie vie où la richesse est un stock et le
revenu est un flux.
Il n’y a pas de temps :


Pas de dette
Pas d’accumulation
Richesse et dotation initiale :
Les dotations initiales :
Soit ωi, le vecteur de dotations initiales de l’agent i :
ωi = (ωi1, ωi2, ωi3, ωih, …, ωN)
ωih = dotation de l’agent i en bien h
ω = oméga
i varie de 1 à N
h varie de 1 à L
ωi est la dotation de l’agent i, c’est un vecteur de dimensions L.
ωh est la dotation de l’économie en bien h. ωh = Σ ωih/i
La richesse de l’agent i est le produit scalaire/ la multiplication entre le p et ω i :
h=l
Ri = p . ωi = Σ Ph . ωih
Condition de réalisation :
Toute décision de conso possible respecte la condition suivante :
Soit R, la richesse de l’agent i, et xi une consommation possible de A ( A = ensemble des
conso possibles) :
p.xi ≤ Ri
p.xi =Σ ph . xih ≤ Ri = p. ωi …
08/03/2010
Equilibre de décision individuelle
A. Condition nécessaire ce 1er ordre.
C’est une condition nécessaire pour avoir l’équilibre.
L’ensemble des Etats de l’éco qui respectent la condition nécessaire du 1er ordre, est plus
grand que l’ensemble des équilibres possibles.
Il y a 2 conditions nécessaires :


Condition du 1er ordre (CPO)
Condition du 2nd ordre (CSO)
En générale on se contente da la CPO car la CSO est souvent remplie, donc on l’utilise
rarement.
L’ensemble des Etats de l’éco où la condition suffisante est remplie est plus petit que
l’ensemble des équilibres possibles.
L’ensemble des Etats de l’éco qui respectent les conditions nécessaires et suffisantes est égal
à l’ensemble des équilibres possibles.
Ecriture du programme de maximisation :
Max Ui(xi)
xi appartient à A
Sous la contraines : p.xi ≤ Ri
Ecriture du Lagrangien :
Li (xi , λ) = Ui (xi) – λ . [ p.xi – Ri]
Le lagrangien à L+1 variables : N consommations possibles + un coefficient de Lagrange
[ p.xi – Ri] = contrainte de budget saturé
Ecriture de la condition nécessaire du 1er ordre (CN1) :
Les dérivées du Lagrangien sont toutes nulles par rapport à toutes les variables → il y a L+1
dérivées partielles premières :
(1) : (δLi (xi , λ)) / δ λ = 0
(2) : qqs h, h = 1, …, L : (δLih (xih , λ)) / δih = 0 => utilité marginale pour tout bien = λ.ph
A l’équilibre, la contrainte de budget est donc bien saturée. Ceci est parfaitement normal car
il n’y à pas de temps, donc si on vit une seule période, on ne peut pas vivre à crédit ni
épargner, il est donc normal que dans un environnement comme celui-ci on consomme tout
ce qu’on a.
Cette condition est conforme à la théorie du cycle de vie de l’épargne de Franco Modigliani :
l’individu au cours du temps connait plusieurs cycles, dans lesquels il y a des phases
d’accumulation et des phases de conso, tels que sur la vie entière, sa contrainte de budget
inter-temporelle soit respectée.
Réécriture de la CN1 : cf plateforme de cours
Ratio entre le plaisir marginal et le cout marginal = λ
Si ce ration est > λ : le plaisir sera > au cout → on va acheter plus, ce qui va diminuer le plaisir
marginal jusqu’au moment où on va rattraper l’égalité par rapport au cout
Le rapport des utilités marginales est égal au rapport des prix (partie gauche : individu ;
partie droite : marché)
Supposer que l’utilité marginale du bien H / utilité marginale du bien K > coût du bien H par
rapport au bien K → le plaisir/satisfaction relatif du bien H par rapport à la satisfaction du
bien K est plus grande que le coût du bien H relativement au bien K.
Il y a 2 phénomènes directs qui vont jouer.
Ces 2 phénomènes sont sous l’effet de la décroissance de l’utilité marginale.
Imaginons qu’un grand nombre d’individus (la plupart) ont un (δ[Ui(xi)] / δxih) / (δ[Ui(xi)] /
δxik) > ph / pk
→ le rapport des prix va changer
Si un seul individu a cela : le rapport des prix ne change pas.
Relation entre la CN1 et le TMS :
Une courbe d’indifférence a donc comme équation : dUi (xi) = 0  Σ (δ[Ui(xi)] / δxih).dxih = 0
Qqs h,h = 1, …, l, qqs k, k = 1, …, l (δ[Ui(xi)] / δxih) / (δ[Ui(xi)] / δxik) = -dxik / dxih
Comme à l’équilibre on a Qqs h,h = 1, …, l, qqs k, k = 1, …, l (δ[Ui(xi)] / δxih) / (δ[Ui(xi)] / δxik) =
ph / pk
A l’équilibre, le TMS = l’écart des prix
A l’équilibre, le point d’équilibre appartient à la contrainte de budget.
TMS = tangente au point d’équilibre
A l’équilibre, la contrainte de budget est saturée
→ TMS = contrainte de budget (s’il n’y a qu’une seule tangente)
Pour que le signal des prix soit complet (CAD que quand on reçoit le signal on sait ce qu’il
faut faire)
Ex : Twitter et Facebook : les 2 sont gratuits (mais si payant : idem) → pb : lequel choisir ? le
prix ne permet pas de décider
L’interaction entre les individus doit être captée par le mécanisme des prix. Dans le cas
d’externalités de réseau, ce n’est en général jamais le cas.
Dans ce cas là, les fonctions d’utilité ne sont pas quasi concaves
Equilibre en solution de coin :
Cf plateforme pour graphique
Posséder un bien 1 en quantité négatif n’est pas possible. On décale donc le point d’équilibre
le long de la droite en diminuant la quantité de bien 2.
Ex : offrir une semaine au ski à tous ceux qui diminuent leur consommation de cigarettes →
pb vis-à-vis de ceux qui ne fument pas
B. Condition suffisante
Lemme 1 :

Si xEi est l’équilibre de l’agent i



Si A n’est pas borné supérieurement
[qqs xi Є A ; qqs yi Є R si yi ≥ xi alors qqs yi Є A]
Si Ui (.) n’est pas saturée (CAD croissante)
Si qqs h = 1, …, l ; ph > 0
Alors : p.xEi = Ri
Preuve (par l’absurde) :
Supposons que xEi soit équilibre et que p.xEi < Ri
Qqs a Є Ri et qqs b Є Rl tel que a>b ; ε>0 ε ЄRl ; a ≥ b+ε
Soit dx tel que dx > 0 (qqs h=1, …, l ; dxh > 0
et tel que xEi ...
…
Lemme 2 :





Si xEi est l’équilibre de l’agent i (CAD la CN1 est donc vérifiée)
Si A n’est pas borné supérieurement
Si A est convexe
Si U(.) n’est pas saturée et de type C²
Si qs h=1, …,l ; ph >0
Alors qqs xi Є A tel que Ui (xi) ≥ Ui (xEi) => p.xi ≥ Ri
Preuve (par l’absurde) :
Comme Ui la fonction d’utilité de l’agent i est quasi concave faiblement :
cf plateforme de cours
…
(Ui (β.xi + (1- β). xEi) – Ui(xEi) ) / (β.||xi - xEi||) ≥ 0
Théorème :
Pour que xEi soit un équilibre, il suffit que :


xEi soit un point de A pour l’agent i
A ne soit pas borné supérieurement



A soir convexe
Ui (.) ne soit pas saturée et de type C² (= la fonction est différenciable/dérivable 2
fois, et la 2ème fois, toutes les dérivées ne peuvent pas être nulles) et faiblement quasi
concave
Qqs h=1, …, l ; ph>0
Cela signifie que :
Qqs xi mieux que l’équilibre : ce panier n’est pas possible
Preuve du théorème :
Cf plateforme
Fonction de demande
A.
Demande et utilité.
De l’utilité à l’équilibre
L’agent éco i :


Possède :
 Une fonction d’utilité Ui(.)
 Une richesse Ri
Reçoit comme signal les prix : p = (ph)h=1,…,l
L’agent prend une décision (xEih)h=1,…,l
De l’équilibre à la fonction de demande :
Ξ : Rl+1 → Rl
Ξ ( … cf plateforme
L’agent i prend une décision (xEih)h=1,…,l qui vérifie les CN1 et la CS, alors la fonction ξ1 (p, … cf
plateforme)
Rappels mathématiques :
Soient :
f : Rn → R et qqs t,t Є R+
f(t.x) = (t)λ.f(x)
La fonction de demande est une fonction homogène de degré 0.
Il n’y a pas d’effet monétaire lié au numéraire.
B.
Formes de la fonction de demande.
Demande Marshallienne :
Alfred Marshall, 1842-1924
f:E → F
x → F(x)
Max f(x)
xЄE
ArgMax F(x) Є E
xЄE
La demande optimale est le panier des biens optimaux pour l’individu.
Propriétés de la fonction Marshallienne :

Elle est homogène de degré 0
La fonction d’utilité indirecte :
C’est une fonction qui donne le niveau de plaisir le plus grand compte tenu des prix et de la
richesse.
Propriétés :




Elle est décroissante par rapport au prix p
Veblen, économiste américain, fin 19ème.
Tout ceci est vrai sauf pour les biens Veblen.
Bien Veblen = bien ostentatoire (CAD bien dont l’utilité dépend en particulier de son
prix)
Elle est croissante par rapport Ri
Homogène de degré 0 par rapport au prix p et Ri
(Elle est continue en p et en Ri)
La fonction de dépenses :
On nous impose un niveau de prix et on se met un niveau d’utilité. On va chercher la plus
petite dépense possible pour atteindre ce niveau.
Propriétés :




La dépense est non décroissante par rapport au prix
Croissante par rapport à u
Homogénéité de degré 0 par rapport à p
(continue en p et en u)
La fonction de demande Hicksienne :
John Richard Hicks, 1904-1989.
La fonction Hicksienne de demande correspond à la fonction de dépense à l’équilibre.
Les équivalences :
A l’équilibre, les 4 fonctions (Valrassienne, Hicksienne, d’utilité indirecte, de dépense) sont
strictement équivalentes A L’EQUILIBRE.
A l’équilibre, maximiser son utilité revient à minimiser sa dépense, et il n’est pas possible
d’atteindre un niveau d’utilité/de plaisir au delà de celui garanti par l’équilibre.
Propriétés marginales de l’équilibre.
 Il y a des priorités entre les biens
 Ils y a des indivisibilités (ex : on ne part pas en vacances ½ journée)

La propagation des chocs n’est pas linéaire dans l’éco (ex :
la surface d’un étang calme ; si on lance un caillou → vagues identiques dans toutes
les directions à partir du point d’impact. L’éco ne fonctionne pas comme ça.) : les
marchés ne sont pas cloisonnés et la propagation n’est pas la même de partout.
A.
Impact des variations de prix et de richesse.
Qu’arrive-t-il lorsque le prix d’un bien diminue ?

Effet de substitution : le consommateur va substituer le bien dont le prix baisse à
d’autres biens en gardant constant son pouvoir d’achat ou son niveau de satisfaction.
 Effet de richesse : La richesse donné dont dispose le consommateur est maintenant
susceptible de consommer plus de tous les biens si le prix d’un des biens diminue.

Raisonnements apparemment contradictoires : dépend des
quantités consommées, de là où je me trouve, et des autres biens qui m’attirent.
Cf graphique plateforme :
La richesse du conso est de R
La réduction de prix du bien 1 fait pivoter la droite de budget vers la droite
Seulement, R …
…
Slutsky, 1880-1948.
Crédité en 1915 de la découverte qu’une modification de la quantité demandée d’un bien
due à un changement de prix pouvait toujours s’écrire comme une somme d’un effet de
substitution et d’un effet de richesse.
B. Variation de la richesse réelle.
Il propose la règle suivante laquelle si, aux nouveaux prix,


Une richesse inférieure à la richesse originelle est nécessaire pour acheter le panier
original, alors la variation du prix entraîne une hausse de la richesse réelle.
Une richesse supérieure à la richesse originelle est nécessaire…
Cf graphique plateforme :
Imaginons que le point bleu se déplace avec le passage de la droite bleue à la droite rouge.
Une augmentation ou diminution du revenu (passage de la droite rouge à la droite rouge en
pointillés) ne permet pas de retrouver le point bleu d’origine : l’équilibre à changé.
C.
Effet de substitution.
Slutsky se demande :
Que serait l’effet sur la quantité demandée d’un bien, d’un changement de prix, si la richesse
du consommateur était ajustée de manière à ce que sa richesse réelle ne change pas ?
2 effets :


Effet de richesse
Effet de substitution
Effet de richesse : Il y en a toujours un qui va dans le même sens : quand j’accrois la richesse,
la conso augmente.


On parle de richesse et pas de prix
On sait que ça augmente, mais de combien ?
Effet de substitution :


Il ira toujours dans le même sens que l’effet de richesse
L’effet de richesse est toujours dans le même sens, mais l’effet de substitution va
fonctionner dans l’autre sens
o
Si flèche plus petite : rattrapage partiel de l’effet de
rattrapage par l’effet de substitution
o
Flèche plus grande : amplification de l’effet
Propriétés de l’effet de substitution :



D.
Effet de substitution simple et négatif : une augmentation de prix du bien i entraine
une baisse de la conso de ce bien et se traduit par un report de la conso d’autres
biens.
Effet de substitution croisée :
 Positif : les 2 biens sont des substituts
 Négatif : les 2 biens sont des compléments
Effet de substitution croisée est symétrique en ligne : l’effet de substitution d’une
hausse du prix du bien j sur la quantité demandée de bien i sera de même signe que
l’effet de substitution d’une hausse de prix du bien i sur la quantité demandée de
bien j.
Nature des biens et effet de Slutsky.

Bien normal : la baisse du prix du bien entraine un effet de substitution (au détriment
des autres biens) et un effet de richesse. Ces 2 effets se cumulent et se renforcent
mutuellement.
 La plupart des biens sont normaux : la quantité demandée augmente avec la
richesse.
 Effet de richesse et de substitution se renforcent mutuellement
 Effet de substitution et richesse : la demande Marshallienne d’un bien normal
est toujours une fonction décroissante de sons propre prix
 La loi de la demande s’applique aux biens normaux

Bien inférieur : La baisse du prix du bien entraine un effet de substitution (au
détriment des autres biens). Mais l’effet de richesse joue en sens inverse : une
augmentation de richesse entraine une réduction de la quantité demandée.

Bien Giffen : La baisse du prix du bien entraine un effet de substitution (au détriment
des autres biens).Mais l’effet de richesse joue en sens inverse et l’emporte sur l’effet
de substitution : la baisse du prix du bien entraine un baisse de la quantité
demandée.
Exemple inverse cf diapo 83 de la plateforme