fiche

Matrices
4H de cours et 5H de TD
Objectifs :
1. Ecriture de matrices
Exercice
1.
Ecriture de matrices
1- Soit n *. Dessiner la matrice
ij 1 i j n
A (a )   
dans les cas suivants :
(a)
22
ij
(i j) {1 n} a (p 2 i j)
(b)
2ij
(i j) {1 n} a sin(i j)
(c)
2ij
(i j) {1 n} a i j
(d)
2ij
(i j) {1 n} a i j
(e)
2ij
(i j) {1 n} a i j
2- Savez-vous lire les matrices suivantes ? Ecrivez-les en choisissant une taille précise.
00
n 2 n 2
n 1 n 1
a (0) b
0 0 a (0) a
11 (0) a b (0)
0 a a
(0) 1 a (0) 1 a b (0) a
ab
1 3 (0)
11
a b 2
(0)
b a 3
1 (0) 1 (0) 2 1
ba
0 1 n 1 1 1 0 0
10
10
n 1 1 0 0 0 1 1
Déterminer si ces matrices sont carrées, si elles ont une taille particulière, si leurs description
est suffisamment précise.

2. Exercices de niveau 1
Exercice
2.
produits
Quand c’est possible, calculer le produit
AB
.
1-
1 0 2
A 1 1 4
3 2 1
,
0
B3
4
2-
11
A 0 1
31
,
1 4 2
B 0 1 3
4 2 1
3-
0 0 2
A 1 1 3
1 2 4
,
2 3 1 0
B 1 1 1 0
1 4 1 1
Exercice
3.
inversion
Dans chaque cas dire si la matrice A est inversible, et, quand c’est le cas, calculer son inverse.
1-
1 4 2
A 0 2 2
2 3 7
2-
001
A1 4 2
3-
1 2 1
A 1 1 1
0 3 1
Exercice
4.
rang
Calculer le rang des matrices suivantes :
1-
1 4 2
A 0 2 2
2 3 7
2-
1 2 6 0 6
B2 5 1 5 2
3-
1 2 1
0 3 2
C2 1 4
2 3 1
4-
0 2 1 3 2
D 5 2 1 3 1
2 1 6 3 1

3. Polynômes annulateurs
Exercice
5.
polynôme annulateur
On pose
2 4 6
A 0 2 3
0 0 2
.
1- Ecrire A sous la forme
3
A 2I N
puis calculer les puissances successives de
N.
2- En déduire
n
A
pour n .
Exercice
6.
Soit ma matrice
1 2 6
A 3 2 9
2 0 3
.
1- Calculer A2 et A3.
2- En déduire les puissances successives de A.
3- A est-elle inversible ?
4. Matrice d’une application linéaire
Exercice
7.
matrice d’une application linéaire
Soient f et g deux applications linéaires définies par :
23
fx,y x y,x y,2x
RR
et
32
gx,y,z 2y z,x y z
RR
1- Déterminer la matrice
BC
Mat (f)
dans chacun des cas suivants :
(a) B et C sont les bases canoniques respectives de
2
R
et
3
R
.
(b)
B ((11) (1 1))   
et C est la base canonique de
3
R
.
(c)
B ((11) (1 1))   
et
C ((111) (0 11) (0 0 1))        
.
2- Déterminer l’expression de
fg
A l’aide de leurs expressions, puis retrouver ce
résultat à l’aide de leurs matrices.
3- Même question pour
gf
.
Exercice
8.
matrice d’une application linéaire
On considère l’espace vectoriel E=3[X] et l’application f définie par
P E f(P) P P
.
1- Montrer que f est un endomorphisme de E.
2- Déterminer Kerf et Imf.
3- Quelle est la matrice de f dans la base canonique de E. Montrer qu’elle est
inversible.
Exercice
9.
On considère les fonctions
1
f
et
2
f
définies par
x
2x
1
f (x) e
et
2x
2
f (x) xe
.
Soit E={f1+f2, (,) 2}.

1- Montrer que E est un espace vectoriel réel de base
12
B (f f )
.
2- Soit l’application définie par
(f) f
. Montrer que est un
endomorphisme de E, puis déterminer sa matrice M dans la base B.
3- En écrivant
2
A 2I B
, calculer
n
A
pour tout n .
4- En déduire la dérivée nème de la fonction :
2x
fx (3x 1)e
RR
5. Changements de base
Exercice
10.
changements de base
Soit E un -espace vectoriel de dimension
3
muni d’une base
1 2 3
B (e e e )  
.
On considère l’endomorphisme f de E dont la matrice dans la base B est
0 2 3
A 1 1 3
0 0 1
.
1- Montrer que f est une bijection.
2-
(a) Trouver des réels  et  tels que
2E
f f Id   
.
(b) En déduire que f -1 est une combinaison linéaire de f et
E
Id
. Ecrire la
matrice de f -1 dans B.
(c) Montrer que, pour tout n , il existe des réels
n
et
n
tels que
nn n E
f f Id   
.
3- On pose
1 2 3
v 3e 2e
,
2 1 2 3
v e e e  
et
3 1 2
v e e
.
(a) Montrer que B’=(v1, v2, v3) est une base de E.
(b) Ecrire f(v1) f (v2), f (v3) dans la base B. En déduire directement la
matrice A’ de f dans la base B’.
(c) Ecrire la matrice P de passage de la base B à la base B’.
Quelle égalité relie A et A’ ?
(d) Calculer P-1.
(e) Ecrire u = 2el + 3e2 - e3 dans la base B’ et u' = -vl + 2v2 + v3 dans la
base B.
4- Pour n , déterminer la matrice (A’)n, puis trouver l’expression de
n
et
n
.
Exercice
11.
changements de base
Soit E un espace vectoriel de dimension 3.
Soit B=(i, j, k) une base de E.
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est A=
11
242
0 1 0
1
20
2
. Soient el, e2 et e3

les vecteurs de E dont les coordonnées dans la base B sont respectivement
1
0
2
,
0
2
1
et
3
0
4
.
1- Vérifier que B' = (el, e2, e3) est une base de E.
2- Donner la matrice A' de f dans B', une première fois en utilisant l'expression de
f dans les bases, et une deuxième fois en utilisant la formule de changement de base.
3- Soit N=
0 0 1
000
000
. Calculer Nk pour k . En déduire la valeur de Ak.
6. Réduction
Exercice
12.
réduction
Soit f l'endomorphisme de 3 dont la matrice dans la base canonique et M =
1 0 1
0 1 1
0 0 0
.
1. Soit (x, y, z) 3. Déterminer f (x, y, z).
2. Calculer M2. Que peut-on en déduire pour f? Déterminer une base de l'image et une
base du noyau de f .
3. Vérifier que l'image et le noyau de f sont supplémentaires dans 3.
4. Soit el = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0) et e3 = (1,1,1). Ecrire la matrice N de f dans la base
(el, e2, e3).
5. Caractériser géométriquement f.
Exercice
13.
puissance de matrice
Soit E un -espace vectoriel de dimension 3, et B = (el, e2, e3) une base de E. Soit f
l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est A =
1 1 2
2 1 3
1 1 2
.
1. Déterminer une base de l'image et une base du noyau de f.
2. On pose u = el + e2.
(a) Montrer que B' = (u, f(u), f2(u)) est une base de E.
(b) Quelle est la matrice T de f dans cette base ?
3. Calculer T2 et T3. En déduire Mn pour tout entier naturel n non nul.
7. Ensembles de matrices
Exercice
14.
Soit E l'ensemble des matrices carrées d'ordre trois à coefficients réels de la
forme :
M(a;b;c) =
a b c
3c a -3c b
3b -3b +3c a -3c