donc PGCD - Collège Mathurin Martin

3ème
Arithmétique
10
1 – La division euclidienne.
11- Définition
a) Exemple.
72 et 15 72 = 15  4 + 12
b) Définition
La division euclidienne de a par b est l’opération qui permet de calculer le quotient entier de a par b
ainsi que le reste.
On écrit
a = b q + r avec 0 r < b
c) Exercice. Effectuer la division euclidienne de 346 par 22
A la main
346 = 22 x 15 + 16
A la machine
346 :22 = 15.72727 = 22 x 15 +
0,722727x 22 = 22 x 15 +16
A la machine
346 OPTN CALC INT 22
= 22 x 15 + reste
reste = 346 CALC RMDR 22
= 16
donc 346 = 22 x 15 + 16
12- Notion de diviseurs et de multiples.
Effectuer la division euclidienne de 608 par 32.
608 = 32  19 + 0
On dit que 32 est un diviseur de 608 ou que 32 divise 608 ou que 608 est un multiple de 32
Définition.
Lorsqu’il existe un entier q tel que n = d  q , on dit que :
n est divisible par d.
ou n est un multiple de d.
ou d est un diviseur de n.
ou d divise n.
Exemples.
a) 32 = 8  4 donc, on peut dire que :
32 est divisible par 8 ou 32 est un multiple de 8.
8 est diviseur de 32 ou 8 divise 32.
b) Effectuer, à la calculatrice, la division euclidienne de 689 par 12.
689 = 12  57 + 5 donc 12 n’est pas un diviseur de 689

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Remarques.
47 = 1  47 donc 47 a au moins deux diviseurs : 1 et 47
a) 1 est un diviseur de n’importe quel nombre. A = a  1
b) Tout nombre supérieur à 1 a au moins deux diviseurs : 1 et lui même.
13 – Rappel des critères de divisibilités.
Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il est pair
Un nombre est divisible par 3 lorsque somme des ses chiffres est un multiple de 3
Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou 5
Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de se chiffres est un multiple de 9
Un nombre est divisible par 10 lorsqu’il se termine par 0
2 - PGCD (plus grand commun diviseur)
21 - Diviseurs communs.
a) Exemple. Rechercher les diviseurs communs à 60 et à 48.
60 48
60
1
2
3
4
5
6
10
12
15
20
30
48
1
2
3
4
6
8
12
16
24
Les diviseurs communs à 60 et à 48 sont : 1; 2 ; 3; 4; 6; 12;
Le plus grand d’entre eux est 12. Donc le PGCD de 60 et 48 est 12
b) Propriétés des diviseurs communs.
27
12

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3 est un diviseur commun à 27 et 12. On peut donc partager les deux segments en segments égaux de
longueur 3.
3 est alors aussi un diviseur de 27 + 12.
27
12
27 - 12
3 est aussi alors un diviseur de 27 – 12
Propriété (admise).
Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b est aussi un diviseur de leur somme et leur différence
22 - PGCD.
a) Activité
b) Définition du PGCD.
Le plus grand des diviseurs communs à deux nombres entiers naturels a et b est noté PGCD ( a ; b).
PGCD signifie le Plus Grand Commun Diviseur.
c) Trois méthodes de détermination du PGCD
1. Ecrire tous les diviseurs de chacun des nombres ; repérer les diviseurs communs ;
choisir le plus grand
2. Algorithme des soustractions successives :
Propriété utilisée
Si a >b avec a et b entiers strictement positifs; PGCD(a ; b) = PGCD (a ; a – b)
Méthode
 Faire la différence des deux nombres dont on veut calculer le PGCD
 Faire la différence entre le plus petit des deux nombres et le résultat de la
soustraction précédente
 Recommencer jusqu’à obtenir un reste nul
 Le PGCD est le dernier reste non nul
Exemple : PGCD (117 ; 91)
117 – 91 = 26
91 – 26 = 65
65 – 26 = 39
39 – 26 = 13

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13 – 13 = 0
donc PGCD (117 ; 91) = 13
3. Algorithme d’Euclide
Propriété utilisée :
Si a >b avec a et b entiers strictement positifs
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) ou r est le reste de la division euclidienne de a par
b
 Faire la division euclidienne des deux nombres
 Faire la division euclidienne du plus petit des deux nombres et du reste de
la division euclidienne précédente
 Recommencer jusqu’à obtenir un reste nul
 Le PGCD est le dernier reste non nul
Exemple : PGCD (117 ; 91)
117 = 91 x 1 + 26
91 = 26 x 3 + 13
26 = 13 x 2 + 0
donc PGCD (117 ; 91) = 13
23 - Fraction irréductible.
a - Nombres premiers entre eux.
Lorsque deux nombres n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1, leur PGCD est 1
Exemple : 5 et 4 n’ont que 1 comme diviseurs communs : PGCD ( 5 ; 4 ) = 1
On dit que 5 et 4 sont premiers entre eux
Définition.
On dit que deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1
Exemples.
PGCD ( 17 ; 13) = 1 donc 17 et 13 sont premiers entre eux
PGCD ( 24 ; 18) = 6 donc 24 et 18 ne sont pas premiers ente eux
b - Fraction irréductible.
Définition.
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

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Exemple. PGCD ( 15 ; 13 ) = 1, c’est à dire que 15 et 13 sont ……………….
15
13
est donc une fraction irréductible.
Propriété. (admise)
Lorsque l’on simplifie une fraction
b
a
par le PGCD ( a ; b ), la fraction obtenue est irréductible.
PGCD ( 60 ; 48 ) = 12
48
60
=
12:48 12:60
=
4
5
La fraction obtenue est irréductible car on a simplifié
48
60
par PGCD ( 60 ; 48).
24 - Exercices
Exercice 1. Dans chaque cas, déterminer tous les diviseurs communs aux deux nombres.
a) 15 et 27 b) 112 et 78. c) 78 et 52
Exercice 2.
1) Déterminer un diviseur commun de 72 et de 20.
2) En déduire un diviseur de 92 puis de 52.
Exercice 3.
1) Démontrer que un diviseur commun à 122 et 72 est aussi un diviseur commun à 72 et 50.
2) Démontrer que un diviseur commun à 56 et 77 est aussi un diviseur commun à 77 et 133.
Exercice 4. Dans chaque cas, déterminer le PGCD des deux nombres.
a) 75 et 45 b) 48 et 152
c) 62 et 35 d) 72 et 71
e) 196 et 56 f) 312 et 84
Exercice 5.
n et d sont deux nombres entiers positifs avec d diviseur de n. Quel est le PGCD de n et de d ?
n est un nombre entier positif. Quel est le PGCD de n et de 1 ?
Exercice 6. Dans chaque cas, déterminer tous les diviseurs communs aux deux nombres.
a) 15 et 27 b) 112 et 78. c) 78 et 52
Exercice 7.
1) Déterminer un diviseur commun de 72 et de 20.
2) En déduire un diviseur de 92 puis de 52.
Exercice 8.
1) Démontrer qu’un diviseur commun à 122 et 72 est aussi un diviseur commun à 72 et 50.