LES SIMILITUDES PLANES L’idée de figures semblables est très ancienne et les critères qui permettent de reconnaître que des triangles, par exemple, sont semblables constituent l’un des outils essentiels de la géométrie grecque. Le terme « similitude » vient de deux mots grecs : « homo » qui signifie semblable, et « thesis » qui signifie position. On s’est récemment intéressé à l’étude d’objets géométriques qui ont la propriété de pouvoir être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout. Cette étude, initiée par Mandelbrot, a conduit au concept de « self similarité » (1975) et au développement d’une nouvelle branche des mathématiques : la géométrie fractale. Celle-ci a déjà de nombreuses applications en physique et en informatique pour la création d’images virtuelles et la compression des images numériques. On se place dans un plan P. Une transformation f du plan P est une bijection du plan P sur lui-même c’est-à-dire que, pour tout point N du plan, il existe un unique point M tel que f(M) = N (N est appelé l’antécédent de M par f). Conséquence : Deux points distincts ont des images distinctes car, T désignant une transformation du plan et A et B deux points distincts du plan, d’images respectives A’ et B’ par T, si A’ = B’, A’ (de même B’) admettrait deux antécédents distincts A et B ce qui contredit le fait que T est une transformation. Remarque : une projection orthogonale p sur une droite D du plan P, n’est pas une transformation du plan car tout point de D admet une infinité d’antécédents par p et tout point du plan non situé sur D n’admet aucun antécédent )par p. I. Similitudes : généralités A. Définition : On appelle similitude du plan toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances. Ceci signifie qu’une transformation f du plan est une similitude si, et seulement si, quels que soient les points M, N, Q, R, avec Q R, d’images respectives M’, N’, Q’, R’ par f MN M' N' . QR Q' R' B. Théorème : Soit f une transformation du plan. f est une similitude si, et seulement si, il existe un réel k strictement positif tel que, pour tout bipoint (M, N) d’image (M’, N’) par f, M’N’ = kMN. Démonstration Soit f une similitude du plan et A et B deux points distincts du plan, d’images respectives A’ et B’ par f. Quels que soient les points distincts M et N d’images respectives M’ et N’ par A' B' M 'N' A' B' MN M'N' f, on sait que : ce qui équivaut à . En posant k , il AB MN AB AB A'B' résulte que M’N’ = kMN. Cette égalité est encore vraie lorsque M = N car alors M’ = N’. En conclusion, si f est une similitude du plan il existe un réel strictement positif k tel que, pour tout bipoint (M, N) d’image (M’, N’) par f, M’N’ = kMN. Réciproquement, soit f une transformation du plan et k un réel strictement positif tel que f multiplie les distances par k. Alors, quels que soient les points M, N, Q, R, avec M N et Q R, d’images respectives M’, N’, Q’, R’, on a les relations : M ' N ' Q' R ' MN M ' N ' M’N’ = kMN et Q’R’ = kQR donc soit . MN QR QR Q' R' Si M = N alors M’ = N’ et donc cette dernière égalité de rapports est encore vraie. On dit que k est le rapport de la similitude f. Une similitude de rapport 1 est une isométrie : elle conserve les distances. Exemples : Les translations, les symétries axiales, les rotations, l’application identité sont des similitudes de rapport 1, donc des isométries. Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k. C. Propriétés : 1. La composée de deux similitudes de rapports respectifs k1 et k2 est une similitude de rapport k1k2. 2. La bijection réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude 1 de rapport . k Démonstration 1. Soit s1 et s2 deux similitudes de rapports respectifs k1 et k2. Tout bipoint (M, N) a pour image le bipoint (M’, N’) par s1 tel que : M’N’ = k1MN. Le bipoint (M’, N’) a pour image le bipoint (M’’, N’’) par s2 tel que : M’’N’’ = k2M’N’. Par conséquent, tout bipoint (M, N) a pour image, par la composée s2 s1 un bipoint (M’’, N’’) tel que : M’’N’’ = k2 k1MN. On en déduit que s2 s1 est une similitude plane de rapport k2 k1. 2. Soit s une similitude de rapport k, (M, N) un bipoint d’image (M’, N’) par s. La bijection réciproque de s, notée s –1, est telle qu’au bipoint (M’, N’) elle associe le bipoint (M, N) et 1 M’N’ = kMN MN = M ' N ' . k 1 On en déduit que s –1 est une similitude plane de rapport . k Remarque : La composition de deux similitudes n’est pas commutative. Exemple : Dans le plan complexe, h est l’homothétie de centre A d’affixe 1 et r est la rotation de centre B d’affixe 2 et d’angle . Donner l’écriture complexe de h r et de r h. 2 D. Théorème : Toute similitude envoie tout triangle sur un triangle semblable et elle conserve les angles. Rappel : Deux triangles sont dits semblables (ou de même forme) lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. De plus une propriété, vue en classe de seconde, énonce que deux triangles sont semblables si, et seulement si, leurs côtés sont de longueurs deux à deux proportionnelles. Démonstration Soit ABC un triangle (donc AB, AC et BC sont des longueurs non nulles) et s une similitude de rapport k. Soit A’, B’, C’ les images respectives de A, B et C par s. Donc A’B’ = kAB, B’C’ = kBC et A’C’ = kAC. A' B' A' C ' B' C ' L’égalité entre les rapports de longueurs est immédiate. , et AB AC BC Par conséquent A’B’C’ est encore un triangle car A’B’, A’C’ et B’C’ sont des longueurs non nulles. Les longueurs de ses côtés sont proportionnelles à celles du triangle ABC donc les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables. Soit deux triangles semblables ABC et A’B’C’. Ces deux triangles ont donc leurs côtés de A' B' longueurs deux à deux proportionnelles. Si on note k le rapport de longueur par AB exemple, et si on note s la similitude de rapport k, alors A’= s(A), B’= s’B) et C’= s(C). II. Les similitudes directes A. Définition : Une similitude est directe est une similitude qui conserve les angles orientés, c’est-à-dire que, pour tous points A, B, C, D tels que A B et C D, d’images respectives A’, B’, C’ et D’ par une similitude directe, AB , CD A' B' , C' D' 2k où k . Exemples : L’application identité, les translations, les homothéties, les rotations sont des similitudes directes. B. Propriétés : 1) La composée de deux similitudes directes est une similitude directe. 2) La réciproque d’une similitude directe est une similitude directe. La démonstration de ces deux propriétés est immédiate. Exemples : Réciproques de la translation t de vecteur u , de l’homothétie h de centre et de rapport k, k 0, de la rotation r de centre et d’angle de mesure dans le plan orienté, de r h ? C. Définition : Deux triangle semblables sont directement semblables lorsque les angles orientés correspondants sont égaux deux à deux. Propriété : Une similitude directe transforme un triangle en un triangle directement semblable. Démonstration On déjà démontré dans le paragraphe précédent que toute similitude « envoie » un triangle sur un triangle semblable. De plus une similitude directe conserve les angles orientés. Donc l’image d’un triangle ABC est un triangle qui lui est directement semblable. D. Forme complexe des similitudes directes Théorème : a et b sont deux nombres complexes avec a 0. Si une transformation S du plan complexe a pour écriture complexe z’ = az + b, alors S est une similitude directe. Toute similitude directe du plan complexe a une écriture complexe de la forme z’ = az + b où a et b sont des nombres complexes avec a 0. Démonstration Les points M, N, P, Q ont pour affixes respectives z, z1, z2 et z3. Soit M’, N’, P’ et Q’ leurs images respectives par une transformation S, d’affixes respectives z’, z’1, z’2 et z’3 telles que z’1 = az + b, z’1 = a z1 + b, z’2 = a z2 + b et z’3 = a z3 + b. Alors M’N’ = z’1 – z’ = ( a z1 + b ) – (az + b ) =a z1 - z = aMN donc S est une similitude de rapport a. Si M N et P Q alors z ' z '2 M ' N ' , P' Q' arg 3 2k z '1 z ' arg z3 z 2 2k où k z1 z MN , PQ 2k Donc S conserve les angles orientés : c’est une similitude directe. O est l’origine du repère d’affixe 0, I est le point d’affixe 1 et M est un point d’affixe z distinct de O. Soit O’, I’ et M’ leurs images respectives par une similitude directe S, p’, q’ et z’ leurs affixes respectives. S étant une similitude directe, O' M ' OM z ' p' donc z O' I ' OI q' p' z ' p' arg z 2k et O' I ' , O' M ' OI , OM 2k donc arg q' p' où k On en déduit que z’ – p’ = (q’ – p’)z soit z’ = (q’ – p’)z + p’ de la forme z’ = az + b, avec a = q’ – p’ donc a 0, car O I entraîne O’ I’. Et b = p’. E. Angle et centre Théorème : Soit S une similitude directe, d’écriture complexe z az + b, a 0. L’angle AB , A' B' où A, B sont deux points distincts du plan ayant pour images respectives A’ et B’ par S, ne dépend pas des points distincts A et B Il est égal à arg a. Cet angle, qui ne dépend que de S, est appelé angle de la similitude. Soit S1 et S2 deux similitudes d’angles respectifs 1 et 2 alors 1 + 2 est l’angle de S2 S1. Une similitude directe qui n’est pas une translation admet un unique point fixe, qu’on appelle le centre de la similitude. Démonstration Soit z az + b une écriture complexe de la similitude S. Soit A et B deux points d’affixes respectives et , et leurs images A’ = S(A), B’ = S(B) d’affixes repectives ’ et ’. Alors : ’ = a + b et ’ = a + b, donc ’ - ’ = a( - ). On en déduit que arg(’ - ’) = arg a + arg( - ) >+2k ou encore AB , A' B' arg a 2k où k On en déduit que l’angle AB , A' B' est indépendant des points A et B. L’angle de S est égal à arg a, à 2k près. Soit z a1z + b1 l’écriture de S1 et z a2z + b2 celle de S2 donc arg a1 est une mesure de l’angle de S1 et arg a2 une mesure de l’angle de S2 . Alors S2 S1 a pour écriture complexe : z a2(a1z + b1 ) + b2 soit z a2a1z + a2b1 + b2 . Donc une mesure de l’angle de S2 S1 est donnée par arg a2a1 encore égale à la somme arg a1 + arg a2, d’où le résultat. Soit S une similitude directe d’écriture complexe z az + b, S n’étant pas une translation a est un nombre complexe non nul et différent de 1. Un point M du plan, d’affixe z, est invariant par s si, et seulement si, S(M) = M z = az + b z(1 – a) = b b z= . 1 a Donc S admet un seul point fixe appelé le centre de la similitude. Propriété : Soit le centre d’une similitude directe S. Soit A et B deux points quelconques du plan tels que , A et B ne soient pas alignés. Soit A’ et B’ les images respectives de A et B par S. Alors les triangles AA’ et BB’ sont directement semblables. Démonstration On note , p et q les affixes respectives de , A et B, p’ et q’ celles de A’ et B’, images de A et B par la similitude directe S. Donc : = a + b, p’ = ap + b et q’ = aq + b, z az + b désignant l’écriture complexe de la similitude S. Alors p p' ( p ) ( p' ) p' p ( p' ) ( p ) p' a ( p ) p p ( p ) a( p ) a( p ) ( p ) a( p) p (a 1)( p) (a 1)( p ) a ( p) p a 1 1 a a On en déduit que : A' , A' A arg a a 1 2k et A , AA' arg (1 a) 2k A , A' arg a 2k où k . De même, on trouve : B' , B' B arg a a 1 2k et B , BB' arg (1 a) 2k B , B' arg a 2k . Ainsi les triangles OAA’ et OBB’ ayant leurs angles orientés correspondants égaux, sont directement semblables. F. Description géométrique complète d’une similitude directe Théorème : Soit S une similitude directe de rapport k et d’angle . Deux cas sont alors possibles : S est une translation (k = 1 et = 0 + 2k où k si S n’est pas une translation, elle possède un unique point fixe et est la composée h r de l’homothétie h de centre et de rapport k et de la rotation r de centre et d’angle . De plus, h r = r h. Démonstration Soit S une similitude directe de rapport k et d’angle de mesure , et z az + b une écriture complexe de S. Si a = 1, S est une translation de vecteur w d’affixe b et, dans ce cas, 1 = a = k et = arg a + 2k = 0 + 2k où k . b . 1 a Soit M un point quelconque d’affixe z et son image M’ = S(M) d’affixe z’ = az + b. Alors, z’ - = a(z - ) = kei où k = a est le rapport de la similitude et = arg a + 2k est une mesure de l’angle de la similitude. Soit h l’homothétie de centre et de rapport k et r la rotation de centre et d’angle de mesure . Alors, une écriture complexe de h est z’ - = k(z - ) et une écriture complexe de r est z’ - = ei (z - ). L’écriture complexe de h r donne alors z’ - = kei (z - ) autrement dit S = h r. Toujours grâce aux écritures complexes on démontre que h r = r h. Si a 1, S admet un unique point fixe d’affixe Remarque : , k et sont appelés les éléments géométriques caractéristiques de la similitude directe S. G. Similitude directe et couples de points Théorème : Soit A, B, A’ et B’ quatre points du plan tels que A B et A’ B’. Alors il existe une unique similitude directe S transformant A en A’ et B en B’. Démonstration Elle se fait en démontrant l’existence et l’unicité d’un couple (a, b) de nombres complexes, a étant non nul, tel que z’ = az + b, cette égalité caractérisant la similitude directe S. En effet, soit p et q les affixes respectives des points A et B, p’ et q’ celles des points A’ et B’. Il s’agit donc de prouver l’existence et l’unicité du couple (a, b) tel que : p' ap b a( p q ) p' q ' q' aq b b p ' ap p' q' a pq p' q' b p ' a pq Comme A B, p q donc p – q 0. Donc a existe et il est unique. Comme A’ B’, p’ q’ donc p’ – q’ 0. Donc a est non nul. Le nombre complexe b est ensuite entièrement déterminé et cela de manière unique. Corollaire : Soit ABC et A’B’C’ deux triangles directement semblables avec AB , AC A' B' , A' C' [2 ] . Alors il existe une unique similitude directe S telle que S(A) = A’, S(B) = B’ et S(C) = C’. Démonstration Le point C’ est déterminé de manière unique à partir des relations : A' C ' A' B' et A' B' , A' C ' AB , AC [2 ] . AC AB z z A' On en déduit que : zC ' z A' B ' zC z A . Donc C’ est l’image de C par la similitude zB z A directe qui transforme A en A’ et B en B’ dont l’écriture complexe est z’ = az + b où : z z A' z z A' a = B' et b = z A' B ' zA. zB z A zB z A On reconnaît en effet l’écriture complexe de la similitude directe unique transformant A en A’ et B en B’. H. Déplacements Définition : Un déplacement est une similitude directe de rapport 1 c’est-à-dire une isométrie qui conserve les angles orientés. Propriété : Tout déplacement est soit une translation soit une rotation. Démonstration Soit S une similitude directe de rapport 1. D’après le théorème du paragraphe F. S est soit une translation, soit la composée commutative d’une homothétie et d’une rotation. Or, une homothétie de rapport 1 est l’application identité, donc dans ce cas la similitude est réduite à une rotation. D’où la propriété. Corollaire : Tout déplacement d admet une écriture complexe z az + b avec a = 1. Si a = 1, d est une translation, si a 1, d est une rotation d’angle de mesure arg a. Démonstration D’après le théorème du paragraphe F. S a pour écriture complexe z az + b avec a = 1, S étant une translation si a = 1 et une rotation d’angle de mesure arg a si a 1. III. Etude générale des similitudes planes A. Caractérisation à l’aide des points fixes Théorème : Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l’identité. Une similitude qui admet deux points fixes distincts A et B est l’application identité ou la symétrie axiale d’axe (AB). Démonstration Si S est une similitude qui admet trois points fixes non alignés A, B et C alors S est une similitude de rapport 1 donc une isométrie. Si S n’est pas l’application identité, il existe au moins un point M du plan distinct de son image M’ par S. Comme S est une isométrie : AM = AM’, BM = BM’ et CM = CM’. Ainsi les trois points A, B et C doivent tous les trois appartenir à la médiatrice du segment [MM’] ce qui contredit le fait qu’ils ne sont pas alignés par hypothèse. Donc S est l’application identité. AB Soit S une similitude fixant deux points distincts A et B. Donc S est de rapport = 1. S AB est donc une isométrie. Soit C un point du plan n’appartenant pas à (AB) et C’ = S(C). Si C’ = C alors S fixe trois points non alignés donc, d’après la démonstration précédente, S est l’application identité. Si C’ C alors AC = AC’ et BC = BC’ donc la droite (AB) est la médiatrice de (CC’). On désigne alors par la symétrie axiale d’axe (AB). S est une similitude fixant les trois points non alignés A, B et C. On en déduit que S est l’application identité et donc que S = . B. Forme géométrique des similitudes indirectes Définition : Une similitude indirecte est une similitude qui transforme tout angle orienté en son opposé. Théorème : Toute similitude indirecte S peut s’écrire sous la forme s où est une symétrie axiale et s une similitude directe. Démonstration Soit S une similitude non directe, A et B deux points distincts du plan d’images respectives A’ et B’ par S. Donc il existe une unique similitude directe s telle que s(A) = A’ et s(B) = B’. Alors l’application composée s 1 S est encore une similitude. Comme S est une similitude indirecte et s une similitude directe, s 1 S est une similitude indirecte. De plus, s 1 S (A) = A et s 1 S (B) = B . Ainsi s 1 S est une similitude qui admet deux points fixes distincts A et B. Comme s 1 S n’est pas une similitude directe, s 1 S ne peut être l’identité. Donc c’est une symétrie axiale d’axe (AB). On note cette symétrie axiale. Alors S = s d’où le résultat. Corollaire : Toute similitude du plan est soit directe soit indirecte. C. Forme complexe des similitudes Théorème : Toute similitude du plan complexe est définie par z az + b ou z a z + b où a est un nombre complexe non nul et b un nombre complexe quelconque. Démonstration Soit S une similitude. Si S est une similitude directe alors, d’après le théorème du paragraphe D. l’écriture complexe de S est z az + b où a est un nombre complexe non nul et b un nombre complexe quelconque. Et réciproquement, z az + b où a est un nombre complexe non nul et b un nombre complexe quelconque est l’écriture complexe d’une similitude directe. Si S est une similitude indirecte, on considère les points O et A d’affixes respectives 0 et 1. D’après le théorème précédent, S = s où s est une similitude directe et la symétrie axiale d’axe (OA). L’axe (OA) étant l’axe réel dans le plan complexe, la symétrie axiale a pour écriture complexe z z . Donc S a pour écriture complexe z a z + b. Réciproquement, l’écriture complexe z a z + b est celle de la composée s où a pour écriture complexe z z et s a pour écriture complexe z az + b, donc il s’agit d’une similitude directe et est la symétrie axiale d’axe l’axe réel. On en déduit que z a z + b est l’écriture complexe d’une similitude indirecte. Corollaire : Soit un nombre réel. La similitude d’écriture complexe z ei z est une symétrie axiale d’axe passant par l’origine O du repère. Démonstration D’après le théorème qui précède, l’écriture z ei z est celle d’une similitude indirecte S. i 2 Les points O, origine du repère et A d’affixe e sont des points fixes de S. Comme S ne peut être l’application identité car il s’agit d’une similitude indirecte, d’après le théorème du paragraphe A. S est la symétrie axiale d’axe (OA). D. Effet des similitudes sur certaines configurations Théorème : Toute similitude S conserve l’orthogonalité, le parallélisme et les barycentres. Toute similitude transforme une droite en une droite, un segment de droite en un segment de droite, un cercle de centre et de rayon r en le cercle de centre S() et de rayon kr, k désignant le rapport de S. S multiplie les distances par k (k > 0) et les aires par k2.