Démonstration

L’idée de figures semblables est très ancienne et les critères qui permettent de reconnaître
que des triangles, par exemple, sont semblables constituent l’un des outils essentiels de la
géométrie grecque.
Le terme « similitude » vient de deux mots grecs : « homo » qui signifie semblable, et
« thesis » qui signifie position.
On s’est récemment intéressé à l’étude d’objets géométriques qui ont la propriété de pouvoir
être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout.
Cette étude, initiée par Mandelbrot, a conduit au concept de « self similarité » (1975) et au
développement d’une nouvelle branche des mathématiques : la géométrie fractale. Celle-ci
a déjà de nombreuses applications en physique et en informatique pour la création d’images
virtuelles et la compression des images numériques.
On se place dans un plan P.
Une transformation f du plan P est une bijection du plan P sur lui-même c’est-à-dire que,
pour tout point N du plan, il existe un unique point M tel que f(M) = N (N est appelé
l’antécédent de M par f).
Conséquence : Deux points distincts ont des images distinctes car, T désignant une
transformation du plan et A et B deux points distincts du plan, d’images respectives A’ et B’
par T, si A’ = B’, A’ (de même B’) admettrait deux antécédents distincts A et B ce qui
contredit le fait que T est une transformation.
Remarque : une projection orthogonale p sur une droite D du plan P, n’est pas une
transformation du plan car tout point de D admet une infinité d’antécédents par p et tout
point du plan non situé sur D n’admet aucun antécédent )par p.
I. Similitudes : généralités
A. Définition : On appelle similitude du plan toute transformation du plan qui conserve
les rapports de distances.
Ceci signifie qu’une transformation f du plan est une similitude si, et seulement si, quels que
soient les points M, N, Q, R, avec Q  R, d’images respectives M’, N’, Q’, R’ par f
R'Q'N'M' QR
MN 
.
B. Théorème : Soit f une transformation du plan.
f est une similitude si, et seulement si, il existe un réel k strictement
positif tel que, pour tout bipoint (M, N) d’image (M’, N’) par f,
M’N’ = kMN.
LES SIMILITUDES PLANES

Démonstration
 Soit f une similitude du plan et A et B deux points distincts du plan, d’images respectives
A’ et B’ par f. Quels que soient les points distincts M et N d’images respectives M’ et N’ par
f, on sait que :
A'B'
M'N'
AB
MN 
ce qui équivaut à
MN
NM
AB
BA '''' 
. En posant
k
AB
BA  ''
, il
résulte que M’N’ = kMN. Cette égalité est encore vraie lorsque M = N car alors M’ = N’.
En conclusion, si f est une similitude du plan il existe un réel strictement positif k tel que,
pour tout bipoint (M, N) d’image (M’, N’) par f, M’N’ = kMN.
 Réciproquement, soit f une transformation du plan et k un réel strictement positif tel que f
multiplie les distances par k. Alors, quels que soient les points M, N, Q, R, avec M N et
Q R, d’images respectives M’, N’, Q’, R’, on a les relations :
M’N’ = kMN et Q’R’ = kQR donc
QR
RQ
MN
NM '' '' 
soit
'' ''
RQ NM
QR
MN 
.
Si M = N alors M’ = N’ et donc cette dernière égalité de rapports est encore vraie.
On dit que k est le rapport de la similitude f.
Une similitude de rapport 1 est une isométrie : elle conserve les distances.
Exemples : Les translations, les symétries axiales, les rotations, l’application identité sont
des similitudes de rapport 1, donc des isométries.
Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k.
C. Propriétés : 1. La composée de deux similitudes de rapports respectifs k1 et k2 est une
similitude de rapport k1k2.
2. La bijection réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude
de rapport
k
1
.
Démonstration
1. Soit s1 et s2 deux similitudes de rapports respectifs k1 et k2.
Tout bipoint (M, N) a pour image le bipoint (M’, N’) par s1 tel que : M’N’ = k1MN.
Le bipoint (M’, N’) a pour image le bipoint (M’’, N’’) par s2 tel que : M’’N’’ = k2M’N’.
Par conséquent, tout bipoint (M, N) a pour image, par la composée s2 s1 un bipoint
(M’’, N’’) tel que : M’’N’’ = k2 k1MN.
On en déduit que s2 s1 est une similitude plane de rapport k2 k1.
2. Soit s une similitude de rapport k, (M, N) un bipoint d’image (M’, N’) par s. La bijection
réciproque de s, notée s –1, est telle qu’au bipoint (M’, N’) elle associe le bipoint (M, N) et
M’N’ = kMN MN =
''
1NM
k
.
On en déduit que s –1 est une similitude plane de rapport
k
1
.
Remarque : La composition de deux similitudes n’est pas commutative.

Exemple : Dans le plan complexe, h est l’homothétie de centre A d’affixe 1 et r est la
rotation de centre B d’affixe 2 et d’angle
2
. Donner l’écriture complexe de h r et de r h.
D. Théorème : Toute similitude envoie tout triangle sur un triangle semblable et elle
conserve les angles.
Rappel : Deux triangles sont dits semblables (ou de même forme) lorsque leurs angles sont
deux à deux de même mesure.
De plus une propriété, vue en classe de seconde, énonce que deux triangles sont semblables
si, et seulement si, leurs côtés sont de longueurs deux à deux proportionnelles.
Démonstration
 Soit ABC un triangle (donc AB, AC et BC sont des longueurs non nulles) et s une
similitude de rapport k. Soit A’, B’, C’ les images respectives de A, B et C par s. Donc A’B’
= kAB, B’C’ = kBC et A’C’ = kAC.
L’égalité entre les rapports de longueurs
BC
CB
et
AC
CA
AB
BA ''''
,
''
est immédiate.
Par conséquent A’B’C’ est encore un triangle car A’B’, A’C’ et B’C’ sont des longueurs non
nulles. Les longueurs de ses côtés sont proportionnelles à celles du triangle ABC donc les
triangles ABC et A’B’C’ sont semblables.
 Soit deux triangles semblables ABC et A’B’C’. Ces deux triangles ont donc leurs côtés de
longueurs deux à deux proportionnelles. Si on note k le rapport de longueur
AB
BA ''
par
exemple, et si on note s la similitude de rapport k, alors A’= s(A), B’= s’B) et C’= s(C).
II. Les similitudes directes
A. Définition : Une similitude est directe est une similitude qui conserve les angles
orientés, c’est-à-dire que, pour tous points A, B, C, D tels que A  B et
C  D, d’images respectives A’, B’, C’ et D’ par une similitude directe,
2k D'C' , B'A' CD , AB 
où k .
Exemples : L’application identité, les translations, les homothéties, les rotations sont des
similitudes directes.
B. Propriétés : 1) La composée de deux similitudes directes est une similitude directe.
2) La réciproque d’une similitude directe est une similitude directe.
La démonstration de ces deux propriétés est immédiate.

Exemples : Réciproques de la translation t de vecteur
u
, de l’homothétie h de centre  et de
rapport k, k  0, de la rotation r de centre  et d’angle de mesure  dans le plan orienté, de
r h ?
C. Définition : Deux triangle semblables sont directement semblables lorsque les angles
orientés correspondants sont égaux deux à deux.
Propriété : Une similitude directe transforme un triangle en un triangle directement
semblable.
Démonstration
On déjà démontré dans le paragraphe précédent que toute similitude « envoie » un triangle
sur un triangle semblable. De plus une similitude directe conserve les angles orientés. Donc
l’image d’un triangle ABC est un triangle qui lui est directement semblable.
D. Forme complexe des similitudes directes
Théorème :  a et b sont deux nombres complexes avec a  0.
Si une transformation S du plan complexe a pour écriture complexe
z’ = az + b, alors S est une similitude directe.
 Toute similitude directe du plan complexe a une écriture complexe de la
forme z’ = az + b où a et b sont des nombres complexes avec a  0.
Démonstration
 Les points M, N, P, Q ont pour affixes respectives z, z1, z2 et z3. Soit M’, N’, P’ et Q’ leurs
images respectives par une transformation S, d’affixes respectives z’, z’1, z’2 et z’3 telles que
z’1 = az + b, z’1 = a z1 + b, z’2 = a z2 + b et z’3 = a z3 + b.
Alors M’N’ = z’1 – z’ = ( a z1 + b ) – (az + b ) = a z1 - z = a MN donc S est
une similitude de rapport a .
Si M N et P Q alors
kPQMN
k
zz zz
k
zz zz
QPNM
2 ,
2 arg
2
' ' ' '
arg '' , ''
1
23
1
23
où k
Donc S conserve les angles orientés : c’est une similitude directe.
 O est l’origine du repère d’affixe 0, I est le point d’affixe 1 et M est un point d’affixe z
distinct de O. Soit O’, I’ et M’ leurs images respectives par une similitude directe S, p’, q’ et
z’ leurs affixes respectives. S étant une similitude directe,

kz
pq pz
donckOMOIMOIOet
z
pq pz
donc
OI
OM
IOMO
2 arg
' ' ' '
arg 2 , '' , ''
' ' ' ' '' ''
où k
On en déduit que z’ – p’ = (q’ – p’)z soit z’ = (q’ – p’)z + p’ de la forme z’ = az + b,
avec a = q’ – p’ donc a 0, car O I entraîne O’ I’. Et b = p’.
E. Angle et centre
Théorème :  Soit S une similitude directe, d’écriture complexe z az + b, a  0.
L’angle
B'A' , AB
où A, B sont deux points distincts du plan ayant pour
images respectives A’ et B’ par S, ne dépend pas des points distincts A et B
Il est égal à arg a.
Cet angle, qui ne dépend que de S, est appelé angle de la similitude.
 Soit S1 et S2 deux similitudes d’angles respectifs 1 et 2 alors 1 + 2 est
l’angle de S2 S1.
 Une similitude directe qui n’est pas une translation admet un unique point
fixe, qu’on appelle le centre de la similitude.
Démonstration
 Soit z az + b une écriture complexe de la similitude S. Soit A et B deux points d’affixes
respectives et , et leurs images A’ = S(A), B’ = S(B) d’affixes repectives ’ et ’. Alors :
’ = a + b et ’ = a + b, donc ’ - ’ = a( - ).
On en déduit que
arg( ’ - ’) = arg a + arg( - ) >+2k ou encore
kaBAAB 2 arg '' , 
où k
On en déduit que l’angle
'' , BAAB
est indépendant des points A et B.
L’angle de S est égal à arg a, à 2k près.
 Soit z a1z + b1 l’écriture de S1 et z a2z + b2 celle de S2 donc arg a1 est une mesure de
l’angle de S1 et arg a2 une mesure de l’angle de S2 . Alors S2 S1 a pour écriture complexe :
z a2(a1z + b1 ) + b2 soit z a2a1z + a2b1 + b2 .
Donc une mesure de l’angle de S2 S1 est donnée par arg a2a1 encore égale à la somme
arg a1 + arg a2, d’où le résultat.
 Soit S une similitude directe d’écriture complexe z az + b, S n’étant pas une translation
a est un nombre complexe non nul et différent de 1. Un point M du plan, d’affixe z, est
invariant par s si, et seulement si, S(M) = M
z = az + b
z(1 – a) = b
z =
a
b 1
.
Donc S admet un seul point fixe appelé le centre de la similitude.