1va binomiale

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Variables aléatoires binomiales
(Savoir minimum)
1. Variables aléatoires binomiales définition. ....................................................... 2
Solution de l’exercice 1 ......................................................................................... 3
2. Situation binomiale (cas général) ...................................................................... 4
Solution de l’exercice 2 ......................................................................................... 5
3. Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire binomiale. ................ 6
Solution de l’exercice 3 ......................................................................................... 7
2
1. Variables aléatoires binomiales définition.
Si p est un réel de l’intervalle] 0, 1[et n un entier positif non nul, une variable
aléatoire X est dite binomiale de paramètres (n ; p) lorsque :
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n}
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
k
n k
P( X  k )  C k
n  p  (1  p)
n!
k!(n  k )!
0! 1,1! 1, 2! 1  2, 3! 1  2  3, 4! 1  2  3  4, 5! 1  2  3  4  5, etc....
avec C k
n
Vocabulaire
Lorsqu’une variable aléatoire X est binomiale de paramètres (n, p) on dit que X
suit la loi B(n , p) (ou que B(n , p) est la loi de X).
Ecriture rapide X  B(n , p)
Exercice 1
X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4).
1) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
3) Calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit au moins
égale à 1.
4) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 3.
5) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 3.
3
Solution de l’exercice 1
1) Les valeurs possibles de X.
Comme X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4) ses valeurs
possibles sont {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
2) Les probabilités pour que X soit égale à k.
Chaque fois que l’entier k est une valeur possible de X, la probabilité pour que
X soit égale à k est :
P(X  k )  C5k  0.4 k  0.65 k pour k  0,1,2,3,4 ou 5.
Les valeurs possibles de k sont 0,1,2,3,4 ou 5 .
3) Calcul de la probabilité pour que X soit au moins égale à 1
X est au moins égale à 1 lorsque X n’est pas égale à 0.
La probabilité pour que X soit égale à 0 se note P(X  0) donc la probabilité
pour que X ne soit pas égale à 0 est :1  P(X  0) .
Ainsi : la probabilité pour que X soit au moins égale à 1 est :1  P(X  0) .
5!


P(X  0)  C50 0,40  0,65  0,65  car C50 
 1 et 0,40  1.
0!5!


Donc :
La probabilité pour que X soit au moins égale à 1est 1  0.65.
Remarque Cette probabilité peut s’écrire P(X  0) .
4) La probabilité pour que X soit au plus égale à 3
Il faut calculer : P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)  P(X  3).
On obtient : 0.65  5  0.4  0.6 4  10  0.4 2  0.63  10  0.43  0.6 2.
5) La probabilité pour que X soit égale à moins de 3
Il faut calculer :
P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)
 0.65  5  0.4  0.6 4  10  0.4 2  0.63.
(J’ai oublié ma calculatrice à la maison)
Appréciation
La rédaction de la question 3 est beaucoup trop chargée, par exemple: tout le
5!
monde sait que et 0,40  1 (on sait aussi que C50 
 1 mais on peut le
0!5!
préciser en écrivant simplement : « comme C50  1 on obtient ..... »)
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2. Situation binomiale (cas général)
On se donne un entier positif n.
On décide d’effectuer n fois la même expérience avec le même objectif.
On se place dans la situation suivante
1) pour chaque expérience, la probabilité d'atteindre cet objectif est la même et
vaut p (0p1).
2) les expériences sont indépendantes les unes des autres.
X représente le nombre de fois où l'objectif sera atteint.
X est la variable aléatoire de paramètres n et p.
1) Valeurs possibles de X
{0, 1, …...n}
2) Probabilités de chacune de ces valeurs
Pour k=0, 1, …...n :
k
nk
P( X  k )  C k
n  p  (1  p)
n!
avec C k
n
k!(n  k )!
0! 1,1! 1, 2! 1  2, 3! 1  2  3, 4! 1  2  3  4, 5! 1  2  3  4  5, etc....
Exercice 2
On suppose que les situations météorologiques des différents « 31 décembre à
Paris » sont indépendantes les unes des autres et que la probabilité qu’il neige le
31 décembre à Paris est toujours égale à 0,20.
La variable aléatoire X représente le nombre de « 31 décembre à Paris » où il
neigera si on observe les 5 prochaines années.
1) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
2) Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il y ait
exactement 3 années avec de la neige le 31 décembre à Paris ?
3) Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il ne neige
jamais le 31 décembre à Paris ?
4) Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il neige au
moins une fois à Paris le 31 décembre ?
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Solution de l’exercice 2
1) La loi suivie par la variable aléatoire X
La variable aléatoire X qui représente le nombre de « 31 décembre à Paris » où
il neigera si on observe les 5 prochaines années suit la loi binomiale de
paramètres n  5 p  0,20 .
En effet : les 5 prochaines années sont envisagées comme 5 expériences
indépendantes dont l’objectif est atteint chaque fois avec la probabilité
0,20 (« il neige le 31 décembre à Paris »).
2) La probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il y ait exactement 3
années avec de la neige le 31 décembre à Paris
Cette probabilité est la probabilité pour que X soit égale à 3, elle vaut donc :
3
2
P(X  3)  C3
5  0,20  0,80
5!
(Je n’ai pas ma calculatrice, mais je sais que C35  10 car C3

5 3!  2! ).
3) La probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il ne neige jamais
le 31 décembre à Paris
Cette probabilité est :
P(X  0)  0,805
1compte tenu de l’égalité C50  1
4) La probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il neige au moins une
fois à Paris le 31 décembre
Cette probabilité est P(X  1)  1  P(X  0) donc : 1  0,805  0,67
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3. Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire
binomiale.
Résultats
La variable aléatoire X binomiale suit la loi B (n, p) :
1) Espérance mathématique
2) Variance
E( X)  n  p
V(X)  n  p  (1  p)
3) Ecart type
(X)  n  p  (1  p) .
Remarque
V(X)  E(X)  (1  p)
Précisions
La définition de l’espérance mathématique est dans ce cas:
E(X)  0  P(X  0)  1  P(X  1)  ....  k  P(X  k )  ....  n  P(X  n )
k
nk
Des calculs mathématiques qui utilisent P(X  k )  Ck
n  p  (1  p)
donnent E(X)  n  p . [Voir : approfondissement]
La définition de la variance est dans ce cas :
V(X)  0 2 P(X  0)  12 P(X  1)  ..  k 2 P(X  k )  ..  n 2 P(X  n )  E(X)2
On obtient V(X)  n  p  (1  p) . [Voir : approfondissement]
Exercice 3 X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4).
1) Calculer la probabilité pour que X soit égale à son espérance mathématique.
2) Donner la variance et l’écart type de la variable aléatoire X.
3) Répondre aux questions 1 et 2 si la loi de X est B (5 ; 0,3).
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Solution de l’exercice 3
X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4).
1) La probabilité pour que X soit égale à son espérance mathématique
L’espérance mathématique de X est :E(X)  5  0,4  2 .
La probabilité demandée est : P(X  2)  C52 0,4 2  0,63  10  0,4 2  0,63 .
2) La variance et l’écart type de la variable aléatoire X
La variance de X est : V(X)  5  0,4  0,6  2  0,6  1,2
L’écart type de X est (X)  1,2 .
(Je suis sans calculatrice, mais je sais que
121 11

donc pour moi : 1,2 ~ 1,1 )
100 10
3) La loi de X est B (5 ; 0,3)
E(X)  5  0,3  1,5 : 1,5 n’est pas une valeur prise par X donc on ne calcule pas
la probabilité pour que X soit égale à son espérance mathématique, ou bien on
dit que cette probabilité est nulle.
V(X)  5  0,3  0,7  1,5  0,7  1,05 , (X)  1,05 .