1va binomiale

1
Variables aléatoires binomiales
(Savoir minimum)
1. Variables aléatoires binomiales définition. ....................................................... 2
Solution de l’exercice 1 ......................................................................................... 3
2. Situation binomiale (cas général) ...................................................................... 4
Solution de l’exercice 2 ......................................................................................... 5
3. Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire binomiale. ................ 6
Solution de l’exercice 3 ......................................................................................... 7

2
1. Variables aléatoires binomiales définition.
Si p est un réel de l’intervalle] 0, 1[et n un entier positif non nul, une variable
aléatoire X est dite binomiale de paramètres (n ; p) lorsque :
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n}
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
....etc,54321!5,4321!4,321!3,21!2,1!1,1!0
)!kn(!k !n
k
n
Cavec
kn
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P
Vocabulaire
Lorsqu’une variable aléatoire X est binomiale de paramètres (n, p) on dit que X
suit la loi
)p,n(B
(ou que
)p,n(B
est la loi de X).
Ecriture rapide
)p,n(BX 
Exercice 1
X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4).
1) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
3) Calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit au moins
égale à 1.
4) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 3.
5) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 3.

3
Solution de l’exercice 1
1) Les valeurs possibles de X.
Comme X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (5 ; 0,4) ses valeurs
possibles sont {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
2) Les probabilités pour que X soit égale à k.
Chaque fois que l’entier k est une valeur possible de X, la probabilité pour que
X soit égale à k est :
.5ou4,3,2,1,0kpour
k5
6.0
k
4.0
k
5
C)kX(P 
Les valeurs possibles de k sont
5ou4,3,2,1,0
.
3) Calcul de la probabilité pour que X soit au moins égale à 1
X est au moins égale à 1 lorsque X n’est pas égale à 0.
La probabilité pour que X soit égale à 0 se note
)0X(P 
donc la probabilité
pour que X ne soit pas égale à 0 est
)0X(P1: 
.
Ainsi : la probabilité pour que X soit au moins égale à 1 est
)0X(P1: 
.
.1
0
4,0et1
!5!0 !5
0
5
Ccar
5
6,0
5
6,0
0
4,0
0
5
C)0X(P 
Donc :
La probabilité pour que X soit au moins égale à 1est
.
5
6.01
Remarque Cette probabilité peut s’écrire
)0X(P 
.
4) La probabilité pour que X soit au plus égale à 3
Il faut calculer :
).3X(P)2X(P)1X(P)0X(P 
On obtient :
.
2
6.0
3
4.010
3
6.0
2
4.010
4
6.04.05
5
6.0 
5) La probabilité pour que X soit égale à moins de 3
Il faut calculer :
.
3
6.0
2
4.010
4
6.04.05
5
6.0
)2X(P)1X(P)0X(P
(J’ai oublié ma calculatrice à la maison)
Appréciation
La rédaction de la question 3 est beaucoup trop chargée, par exemple: tout le
monde sait que
1
0
4,0et 
(on sait aussi que
1
!5!0 !5
0
5
C
mais on peut le
préciser en écrivant simplement : « comme
1
0
5
C
on obtient ..... »)

4
2. Situation binomiale (cas général)
On se donne un entier positif n.
On décide d’effectuer n fois la même expérience avec le même objectif.
On se place dans la situation suivante
1) pour chaque expérience, la probabilité d'atteindre cet objectif est la même et
vaut p (0p1).
2) les expériences sont indépendantes les unes des autres.
X représente le nombre de fois où l'objectif sera atteint.
X est la variable aléatoire de paramètres n et p.
1) Valeurs possibles de X {0, 1, …...n}
2) Probabilités de chacune de ces valeurs
Pour k=0, 1, …...n :
....etc,54321!5,4321!4,321!3,21!2,1!1,1!0
)!kn(!k !n
k
n
Cavec
kn
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P
Exercice 2
On suppose que les situations météorologiques des différents « 31 décembre à
Paris » sont indépendantes les unes des autres et que la probabilité qu’il neige le
31 décembre à Paris est toujours égale à 0,20.
La variable aléatoire X représente le nombre de « 31 décembre à Paris » où il
neigera si on observe les 5 prochaines années.
1) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
2) Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il y ait
exactement 3 années avec de la neige le 31 décembre à Paris ?
3) Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il ne neige
jamais le 31 décembre à Paris ?
4) Quelle est la probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il neige au
moins une fois à Paris le 31 décembre ?

5
Solution de l’exercice 2
1) La loi suivie par la variable aléatoire X
La variable aléatoire X qui représente le nombre de « 31 décembre à Paris » où
il neigera si on observe les 5 prochaines années suit la loi binomiale de
paramètres
20,0p5n 
.
En effet : les 5 prochaines années sont envisagées comme 5 expériences
indépendantes dont l’objectif est atteint chaque fois avec la probabilité
20,0
(« il neige le 31 décembre à Paris »).
2) La probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il y ait exactement 3
années avec de la neige le 31 décembre à Paris
Cette probabilité est la probabilité pour que X soit égale à 3, elle vaut donc :
2
80,0
3
20,0
3
5
C)3X(P 
(Je n’ai pas ma calculatrice, mais je sais que
10
3
5
C
car
!2!3 !5
3
5
C
).
3) La probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il ne neige jamais
le 31 décembre à Paris
Cette probabilité est :
5
80,0)0X(P 
1compte tenu de l’égalité
1
0
5
C
4) La probabilité pour que pendant les 5 prochaines années il neige au moins une
fois à Paris le 31 décembre
Cette probabilité est
67,0
5
80,01:donc)0X(P1)1X(P 