sujet 34

Quelques propriétés des satellites artificiels terrestres
On supposera que la Terre et chaque satellite étudié forment un système isolé dans l'espace. La position
d'un satellite sera repérée par rapport à un référentiel R défini par le repère (O,X,Y,Z) et supposé galiléen, O
étant le centre de la Terre et Z'OZ l'axe passant par les pôles. Dans ce référentiel, la Terre tourne dans le sens
trigonométrique autour de OZ, avec une période T0.
I) Satellite en orbite circulaire
Un satellite artificiel, de masse m, décrit autour de la Terre, supposée sphérique, de masse M et de rayon
R, une orbite circulaire de rayon r = R + z., dans le plan XOY (plan de l'équateur).
La répartition de la masse de la Terre est supposée être à symétrie sphérique. Le champ de gravitation au
niveau du sol (z = 0) a pour module g0.
Déterminer en fonction de m, R, g0 et z :
1) le module v de la vitesse orbitale du satellite,
2) l'énergie mécanique totale E du satellite dans le champ de gravitation de la Terre,
3) le module 0 du moment cinétique du satellite au point O,
4) la période de révolution T du satellite,
5) l'altitude z0 du satellite, si celui-ci est "géostationnaire", c'est-à-dire s'il reste à la verticale du même
point de la Terre.
6) Calculer numériquement v, 0 et T pour z = 0, connaissant :
g0 = 9,80 m.s–2 m = 120 kg R = 6,37.106 m
7) Calculer numériquement z0 connaissant T0 = 86 164 s (= 1 jour sidéral).
II) Influence des forces de frottement sur la trajectoire d'un satellite.
1) On suppose que les chocs des molécules des couches supérieures de l'atmosphère sur le satellite
équivalent pour celui-ci à une force de frottement, de sens opposé à sa vitesse
v
et de module
fkmv
z
2
(avec
k constant), très petit devant celui de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite.
Il en résulte, après une révolution pratiquement circulaire, une petite variation z de son altitude (|z|
très petit devant z).
a) Exprimer la variation v du module de la vitesse du satellite, au bout d'une révolution, en fonction de
z et T.
b) Déterminer le coefficient k en fonction de R, z et z.
c) Expliquer, avec un raisonnement sur l'énergie, pourquoi la vitesse du satellite croît.
2) On suppose maintenant que la force de frottement a un module f = 0 vn (avec 0 et n constantes
positives). Cette force entraîne une faible variation dz de l'altitude du satellite pendant le temps dt. On posera
dz
dt
= –u, avec u constante positive, de faible valeur.
a) Déterminer la seule valeur possible pour n.
b) Exprimer 0 avec m, u, g0 et R.
III) Chute d'un satellite
On suppose qu'un dispositif approprié annule la vitesse orbitale du satellite à l'altitude z = z1. On prendra
pour cette partie du problème une origine des dates t là où la vitesse du satellite est nulle

1) Déterminer en fonction de g0, R et z, la durée  de la chute du satellite jusqu'à la surface terrestre, par
des considérations énergétiques.
2) Calculer  pour les valeurs ci-dessous des paramètres :
g0 = 9,80 m.s–2 z =1,00.103 km R = 6,37.103 km
On donne :
11
2
22
udu Arc u u usin( )
IV) Satellite en orbite elliptique
On suppose maintenant que le lancement du satellite a été manqué et qu'en M0, point de lancement, la
vitesse a bien le même module que pour l'orbite circulaire, mais qu'elle fait un angle  avec la direction prévue
(perpendiculaire à OM0).
v
Pour cette partie du problème, on repérera la position du satellite par les coordonnées polaires r et , à
partir du centre O de la Terre, l'axe Ox étant orienté de O vers le périgée P du satellite.
1) Déterminer les distances au centre de la Terre du périgée et de l'apogée de l'ellipse décrite par le
satellite, en fonction de r0 = OM0 et de . (On utilisera la deuxième formule de Binet pour établir l'équation de
la trajectoire).
2) On note h la distance du centre de la Terre à la tangente à l'ellipse au point M où se trouve le satellite à
une date quelconque. Démontrer que l'équation de l'ellipse peut se mettre sous la forme
p
hr a
22 1
, avec p,
paramètre de l'ellipse et a, son demi grand axe.
3) En utilisant le théorème de l'énergie cinétique et l'énergie mécanique, établir la relation
v g R r a
2022 1
.
V) Retour piloté d'un satellite
Le satellite décrit de nouveau une orbite circulaire de rayon r2 = R + z2. autour de la Terre, avec une
vitesse de module v2. En un point A, on modifie cette vitesse, sans changer sa direction, son module devient v2
+ v, avec v < 0, par action d'une rétrofusée fonctionnant pendant un temps très court.
La nouvelle orbite que prend alors le satellite le ramène sur la Terre en un point B tel que OAB =
2
.

B O
R + z2
R
v2
1) En utilisant le résultat de la question IV)3), exprimer v.
2) Calculer numériquement v pour z2 = 1,00.103 km.