Les méthodes générales de calcul intégral

M Le Corff Cours de mathématiques I.U.T. de Blois Département GTR
Année universitaire 2000-2001 Page : 1
L
LE ES S N NO OM MB BR RE ES S C CO OM MP PL LE EX XE ES S
I - Introduction :
Une équation du type x² = a avec a<0 n'a pas de solution dans R, il s'agit de
construire un sur ensemble de R dans lequel des équations de ce type ont des
solutions pour toutes les valeurs de a.
La première équation à résoudre c'est évidemment x² = -1 par convention
on suppose l'existence d'une solution à cette équation que l'on note i, on a donc
i²= -1. (-i est aussi solution) ,
On veut que les propriétés des opérations (addition et multiplication) soient
vérifiées dans ce sur-ensemble de R en particulier :
(a + ib)(a'+ib') = (aa'-bb') + i(ab'+a'b)
L'objectif est maintenant de montrer que cette seule condition suffit .....
II - Construction algébrique de l'ensemble des complexes :
1) Les opérations et les structures :
On munit R² des opérations internes suivantes :
(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')
(a,b)x(a',b') = (aa'-bb',ab'+a'b) ,
et de l'opération externe sur R :
Error! Bookmark not defined.(a,b) = (Error! Bookmark not
defined.a,Error! Bookmark not defined.b)
a) L'addition :
Il est évident que R² , que l'on nommera dorénavant C, muni de l'addition
vérifie les propriétés suivantes :
L' addition est associative, commutative, elle possède un élément neutre à
savoir le couple (0,0), et tout élément a un opposé à savoir le couple (-a,-b).
b) la multiplication :
La multiplication dans C est associative, commutative, elle possède un
élément neutre le couple (1,0), pour tout élément z différent du couple (0,0) il
existe un élement z' de C unique vérifiant z z' = (1,0)

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De plus la multiplication est distributive par rapport à l'addition en d'autres
termes :
 z z z, ', " C z(z'+z") = zz' + zz"
Remarque : On peut vérifier i² =(0,1)x(0,1) = (-1,0) grace à la définition de
la multiplication x dans C.
La division d'un complexe z par un complexe non nul z’ se définit ainsi :
'z
1
z
'z
z
c) la multiplication externe :
La multiplication externe sur R vérifie les propriétés suivantes :
Soient a, b des réels et z et z' des complexes alors
a(z+z') = a z + a z'
(ab)z = a(bz)
(a+b)z = az + bz
1 z = z
2) Propriétés et écriture algébrique définitive : ,
Si on considère l'application suivante :
f:
)0,a(a
CR
alors cette application est une injection de R dans C, (f
réalise une bijection de R vers f(R)), vérifiant f(a+a')= f(a) + f(a') et
f(a x a')= f(a) x f(a'), on considère que (R,+,x) est inclus dans (C,+,x) en
identifiant le couple (a,0) à a .
Remarque : Grace à cette identification on peut considérer que la loi externe
Error! Bookmark not defined.(a,b) = ( Error! Bookmark not
defined.,1)(a,b)est en fait un cas particulier de la x interne ,
Problème : Cherchons deux complexes z1 et z2 vérifiant :
          zC zC zC bz
1 2 2
! !a R b R / z = az1
Posons à priori : z1 = (1,0) et z2 =(0,1) alors grace aux propriétés des
opérations dans C : z = a (1,0) + b (0,1) que l'on convient d'écrire en posant
(0,1) = i et (1,0) = 1 z= a + i b ,
L'existence de a et b est montrée mais pas l'unicité, il suffit pour montrer
l'unicité de a et b de vérifier que : a + ib = 0 <==> a = b = 0 ,

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C'est évident car a +ib = 0 <=> (a,b) =0 <=> (a,b)=(0,0) <=> a=b=0 ,
Dorénavant tout nombre complexe s'écrira sous la forme dite algébrique :
z = a+ ib a est la partie réelle et b la partie imaginaire et cette écriture est
unique pour un complexe donné.
III - Propriétés algébriques immédiates :
1) C est un corps valué :
Par définition :
si z a ib a b alors z   
22 2
;
z
est appelé le module de z.
Propriétés immédiates :
zz z z
z z z z
z z
' '
' '
    ( est un réel et la valeur absolue dans R )
Remarque : contrairement à R il n'existe aucune relation d'ordre totale
sur C. (une relation d'ordre R est totale si étant donné deux éléments de
l'ensemble alors xRy ou yRx)
2) Complexes conjugués :
L'application de C dans C définie par :
C
z a ib z a ib
C
appelée conjugaison vérifie
les propriétés immédiates suivantes :
Error! Bookmark not defined.z, z' Error! Bookmark not defined.C et n
Error! Bookmark not defined.N
____ _ _
(1) z + z' = z + z'
____ _ _
(2 ) z z' = z z'
__ _ _
(3 ) z /z '= z / z'
__ _
(4) zn = z n
Vérification à partir de la définition du conjugué et par récurrence pour la
propriété (4) .
On montre tout aussi aisément les propriétés suivantes :

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z C
z
( )
( )
1
32
z = z z est un réel
(2) Re(z) = z+ z
2 et Im(z) = z- z 2i
zz
3) Racine carrée d'un nombre complexe quelconque :
Problème : Soit Z est un complexe donné, cherchez tous les complexes z
vérifiant z²=Z
On écrira Z = a + i b et z = x + iy
Alors x² + 2ixy - y² = a + ib et Error! Bookmark not defined.zError!
Bookmark not defined.²= Error! Bookmark not defined.ZError! Bookmark
not defined.on obtient par conséquent :
x² - y² = a (partie réelle) (1) ,
2 xy = b (partie imaginaire) (2) ,
x y a b² ² ² ²  
(modules) (3) ,
Par demi-addition de la (1) et de la (3) on obtient :
2x² = a +
a b² ²
>0
Par demi-soustraction de la (1) et de la (3) on obtient :
2y² =
a b² ²
- a >0
Les deux termes sont positifs car
a a b ² ²
Il existe donc deux solutions réelles opposées en x et deux solutions réelles
opposées en y ce qui à priori donnent 4 couples solutions donc 4 complexes z
solutions, ce qui fait beaucoup !!! En fait l'équation (2) donne le signe du produit
xy et ne permet de garder que deux couples solutions c'est à dire deux complexes
opposés solutions de l'équation ...
Exemple : Chercher les racines carrées de Z = 3 - 4 i ,
soit z x iy x y ixy i
alors y y
alors z
x et xy = -2 de plus x donc x et y
en tenant compte du fait que xy < 0 on obtient :
2
2 2 2
2 2
2 2
2 3 4
3 5 4 1
x=-2 et y=1 ou x=2 et y=-1 ,

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4) Equations du second degré :
Soit a z² + b z + c = 0 une équation du second degré danc C (a,b et c Error!
Bookmark not defined.C et a#0 ) pour résoudre cette équation on commence par
calculer : D= b² - 4 ac puis une des racines carrées d de D, l'équation admet alors
deux solutions à savoir :
zb d
a 2
Exemple : Résoudre z²-(3+2i)z + (5+i) = 0
D= -15 + 8 i = (1 + 4i)² alors z= 2 + 3i et z' = 1- i
IV - Représentation géométrique d'un nombre complexe.
Argument
1) Représentation vectorielle et ponctuelle:
Considérons le plan euclidien E muni d'une base orthonormé directe liée au
produit scalaire classique de deux vecteurs à savoir
vv xx yy' ' ' 
v x y v x y( , ) '( ' ')
alors à tout vecteur v ou à tout point M de coordonnées (x,y) on associe le nombre
complexe z = x + iy et on note
v z( )
ou M(z) z est l'affixe de
v
ou de M et
v
ou
M sont l'image de z.
L'addition des vecteurs se traduit par l'addition des complexes et la
multiplication externe des vecteurs par la multiplication externe des complexes, en
pratique toute relation vectorielle linéaire du plan se traduira par un calcul
algébrique dans les complexes.
AB = 2 AC +3 OA devient (zB-zA) = 2(zC-zA) + 3zA
C'est dans cette identification que réside une grande partie de l'utilité des
nombres complexes.
De plus le module d'un nombre complexe s'identifie à la norme d'une
vecteur et la distance au module de la différence à savoir :
Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.vError!
Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.²= Error! Bookmark
not defined.zError! Bookmark not defined.²= x² + y² avec v(x,y) et z = x + iy
AB² = Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not
defined.ABError! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.² =
(xB-xA)²+(yB-yA)² = Error! Bookmark not defined.zB - zAError! Bookmark not
defined.² avec A(zA) B(zB)
2) Argument d'un nombre complexe :