8.1.1. rappels generaux sur l`analyse dimensionnelle

Allanic Pierre Marie Groupe 2B11
Joulaud Thomas
Meslin Guillaume
Roulleau Julien
Mécanique des Fluides – Mr Ambari
Analyse
dimensionnelle

Allanic Pierre Marie Groupe 2B11
Joulaud Thomas
Meslin Guillaume
Roulleau Julien
Mécanique des Fluides – Mr Ambari
8.1.1. RAPPELS GENERAUX SUR L’ANALYSE
DIMENSIONNELLE
8.1.1.1. Introduction
Tout phénomène physique se mesure à l’aide de paramètres (ex : une accélération, un
effort,…). La mesure de tels paramètres implique l’existence d’une propriété observable. Un
corps d’épreuve peut alors être imaginé. Il faut pour cela définir un étalon qui donne lieu à la
création de l’unité de mesure. Le choix de cet étalon est totalement arbitraire. Ainsi, pour
chaque paramètre étudié, on peut définir une infinité d’étalons et donc d’unités de mesure.
8.1.1.2. Histoire des unités
Au cours des siècles, les phénomènes scientifiques ont été observés et étudiés par des
personnes ou groupes de personne géographiquement isolés les unes des autres. Ceci a
conduit à l’apparition d’une multitude d’unités de mesure distinctes pour un même paramètre
mesurable. Avec l’intensification des échanges et donc du Savoir et des connaissances
diverses entre les différents points du globe, le besoin d’une uniformisation de tous ces
étalons et donc des unités de mesures s’est fait ressentir. Des lois scientifiques ont permis
d’aider à cette homogénéisation et ainsi d’aboutir aux choix de grandeurs de référence. Ces
grandeurs permettent à elles seules d’exprimer toutes les autres grandeurs qui avaient été
préalablement définies de façon arbitraire.
Par exemple, un volume peut être défini en litre. Or, quel que soit le nombre de litres
d’un liquide donné et la géométrie de la jauge utilisé pour mesurer ce volume, on peut
transvaser le liquide dans une jauge cubique adaptée. On peut alors définir le volume par la
seule mesure de la longueur d’une arête de ce cube que l’on exprimera couramment en mètre.
On démontre ainsi qu’il existe un lien entre l’unité de volume litre et l’unité de longueur
mètre et par là même que le litre peut être une unité qui découle du mètre. On crée ainsi une
hiérarchie arbitraire avec des unités de base comme le mètre et des unités dites dérivées
comme le litre. Le litre peut du coup être défini en m3 : 1 L = 1 dm3.
8.1.1.3. Systèmes d’unités et unités spécifiques
La dimension d'une grandeur renseigne sur sa nature physique, son unité est nécessaire
pour en effectuer une mesure quantitative. Soit d une longueur. Son équation aux dimensions
est tout simplement [d] = L. L'unité utilisée pour exprimer sa valeur peut être le mètre, mais
aussi le pouce, l'angström, etc.
Le système international d'unités définit sept unités fondamentales, associées
justement aux sept grandeurs de base que nous allons utilisées pour écrire l'équation aux
dimensions d'une grandeur. Ces unités sont définies par un phénomène particulier. Elles sont
rappelées dans le tableau.

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Tab. Les unités de base du système international
Grandeur
Unité
Symbole
Symbole dimensionnel
Masse
Kilogramme
Kg
M
Longueur
Mètre
M
L
Temps
Seconde
S
T
Intensité électrique
Ampère
A
I
Température
Kelvin
K
θ
Intensité lumineuse
Candela
Cd
J
Quantité de matière
Mole
mol
N
a) Exemples d’application
1. L'énergie a pour unité le joule (J) dans le système international. Relier cette unité aux unités
de base du système international.
2. Même question avec la force, dont l'unité est le newton (N).
3. Même question avec la pression, dont l'unité est le pascal (Pa).
4. Même question avec la résistance, dont l'unité est l'ohm (Ω).
5. Même question avec l'inductance, dont l'unité est le henry (H).
6. Quelle est l'unité, dans le système international, de la constante des gaz parfait R?
b) Solutions
1. On part de l'expression de l'énergie cinétique E = 1/2mV2. L'équation aux dimensions de
l'énergie est donc [E] = ML2T-2, d'où 1 J = 1 kg .m2.s-2.
2. La relation fondamentale de la dynamique nous dit que l'intensité d'une force est le produit
d'une masse par une accélération. On a donc l'équation aux dimensions [F] = MLT-2. On en
déduit 1 N = 1 kg .m.s-2.
3. Une pression est une force divisée par une surface. Son équation aux dimensions est donc
[P] = [F] L-2 = ML-1T-2. D'ou 1 Pa = 1 kg.m-1. s-2.
4. La puissance dissipée par effet Joule s'écrit P = Ri2. On a la relation dimensionnelle [P] =
[E]T-1 = ML2T-3, d'où [R] = [P]I-2 = ML2T-3I-2: D'où 1 Ω = 1 kg.m2.s-3 .A-2.
5. Le plus rapide est de partir de l'expression de l'énergie emmagasinée par une bobine : E =
1/2Li2. On a donc l'équation aux dimensions d'une inductance [L] = [E]I-2 = ML2T-2I-2, d'où 1
H = 1 kg.m2 .s-2. A-2.
6. L'équation d'état d'un gaz parfait est pV = nRT, donc [T] = [P] L3N-1θ-1 avec [P] = ML-1T-2,
d'où [T] = ML2T-2θ-1N-1. Dans les unités de base du système international, R s'exprime donc
en kg.m2s-2K-1mol-1. En remarquant que pV est homogène à une énergie (penser au travail des
forces de pression ; sinon on a pV = force/surface x volume = force x longueur, c'est le travail
d'une force, donc une énergie), on a [R] = [p.V] θ-1N-1. On exprime usuellement R en J.K-
1.mol-1.

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8.1.2. DEPENDANCES ET INDEPENDANCES
DIMENSIONNELLE
8.1.2.1. Dimension d'une grandeur physique
La dimension d'une grandeur est, pour simplifier, sa nature physique. Une grandeur
peut avoir la dimension d'une longueur, d'une énergie, d'une masse, etc. La notion de
dimension est très générale, et ne suppose aucun choix particulier de système d'unités. Une
grandeur ayant la dimension d'une longueur on dit aussi homogène a une longueur peut
s'exprimer en mètres, en centimètres, en angströms, en miles, etc.
Ainsi, quand on demande « quelle est la dimension de L ? », il faut répondre « L a la
dimension d'une longueur », et non pas, comme le fait la majorité des élèves, « L est en
mètres ».
Une grandeur « purement numérique », comme le rapport de deux longueurs, est dite
sans dimension, ou adimensionnée. L'angle plan, défini comme le rapport de deux longueurs,
est donc une grandeur sans dimension ; il a cependant une unité (le radian, le degré) !
8.1.2.2. Grandeurs dimensionnellement indépendantes
Une notion importante est la propriété de dépendance dimensionnelle vis-à-vis d’un
groupe de grandeur.
Soient n grandeurs G1, G2, ..., Gn. S'il existe n + 1 grandeurs non nulles sans dimension
k, α1, α2, ..., αn telles que
11
i
i
Gk
(1)
les grandeurs Gi sont dimensionnellement liées. Dans le cas contraire, elles sont
dimensionnellement indépendantes.
Etant donné un ensemble de grandeurs, pour mettre en évidence une relation du type
(1), il faut faire appel à sa culture générale scientifique, comme on peut le voir dans les
exemples suivants.
a) Exemples d’application
Les grandeurs suivantes sont-elles dimensionnellement indépendantes?
1. Une longueur L, un temps T et une vitesse v.
2. Une énergie E, une masse m et une vitesse v
3. Une énergie E, une masse m et une longueur L.

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b) Solutions
1. Une longueur est une vitesse que multiplie un temps. On peut écrire L = kvT, ou k est un
nombre sans dimension, soit 1 = kvTL-1. Les trois grandeurs ne sont pas dimensionnellement
indépendantes.
2. On connaît l'expression de l'énergie cinétique d'une particule ponctuelle de masse m: E =
1/2mv2 ; on a donc 1 = kmv2E-1 avec k = 1/2 dans le cas de l'énergie cinétique. Les trois
grandeurs ne sont donc pas dimensionnellement indépendantes.
3. Ces trois grandeurs sont dimensionnellement indépendantes. Une énergie est homogène à
une masse multipliée par le carré d'une vitesse ; on ne peut pas construire le carré d'une
vitesse avec... uniquement une longueur !
8.1.2.3. Nombre de grandeurs dimensionnellement
indépendantes dans un problème donné
a) Théorème
Dans toute relation physique mettant en jeu des grandeurs mesurées à l’aide d’un
système homogène d’unités contenant K unités fondamentales, on ne peut pas trouver
plus de K grandeurs dimensionnellement indépendantes. A l’inverse, il est possible,
dans certains cas particuliers où, une des variables n’intervient pas d’en trouver moins.
On constate que l'on ne peut pas avoir plus de sept grandeurs dimensionnellement
indépendantes G1, G2, ..., G7. D'après (1), toute grandeur G vérifie donc
7
11
0
i
i
i
GkG
(2)
où k, α0, α1,..., α7 sont huit grandeurs sans dimension.
La relation (2) peut se mettre sous la forme
7
1i
i
iGGC
(3)
où C, a1, a2, ..., a7 sont huit grandeurs sans dimension.
Le choix des sept grandeurs de base n'est pas unique, et les physiciens ont adopté sept
grandeurs de base, qui définissent d'ailleurs les unités de base du système international : la
masse, la longueur, le temps, l'intensité électrique, la température thermodynamique,
l'intensité lumineuse et la quantité de matière (tableau suivant).