8.1.1. rappels generaux sur l`analyse dimensionnelle

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Joulaud Thomas
Meslin Guillaume
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Analyse
dimensionnelle
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Groupe 2B11
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8.1.1. RAPPELS GENERAUX SUR L’ANALYSE
DIMENSIONNELLE
8.1.1.1. Introduction
Tout phénomène physique se mesure à l’aide de paramètres (ex : une accélération, un
effort,…). La mesure de tels paramètres implique l’existence d’une propriété observable. Un
corps d’épreuve peut alors être imaginé. Il faut pour cela définir un étalon qui donne lieu à la
création de l’unité de mesure. Le choix de cet étalon est totalement arbitraire. Ainsi, pour
chaque paramètre étudié, on peut définir une infinité d’étalons et donc d’unités de mesure.
8.1.1.2. Histoire des unités
Au cours des siècles, les phénomènes scientifiques ont été observés et étudiés par des
personnes ou groupes de personne géographiquement isolés les unes des autres. Ceci a
conduit à l’apparition d’une multitude d’unités de mesure distinctes pour un même paramètre
mesurable. Avec l’intensification des échanges et donc du Savoir et des connaissances
diverses entre les différents points du globe, le besoin d’une uniformisation de tous ces
étalons et donc des unités de mesures s’est fait ressentir. Des lois scientifiques ont permis
d’aider à cette homogénéisation et ainsi d’aboutir aux choix de grandeurs de référence. Ces
grandeurs permettent à elles seules d’exprimer toutes les autres grandeurs qui avaient été
préalablement définies de façon arbitraire.
Par exemple, un volume peut être défini en litre. Or, quel que soit le nombre de litres
d’un liquide donné et la géométrie de la jauge utilisé pour mesurer ce volume, on peut
transvaser le liquide dans une jauge cubique adaptée. On peut alors définir le volume par la
seule mesure de la longueur d’une arête de ce cube que l’on exprimera couramment en mètre.
On démontre ainsi qu’il existe un lien entre l’unité de volume litre et l’unité de longueur
mètre et par là même que le litre peut être une unité qui découle du mètre. On crée ainsi une
hiérarchie arbitraire avec des unités de base comme le mètre et des unités dites dérivées
comme le litre. Le litre peut du coup être défini en m3 : 1 L = 1 dm3.
8.1.1.3. Systèmes d’unités et unités spécifiques
La dimension d'une grandeur renseigne sur sa nature physique, son unité est nécessaire
pour en effectuer une mesure quantitative. Soit d une longueur. Son équation aux dimensions
est tout simplement [d] = L. L'unité utilisée pour exprimer sa valeur peut être le mètre, mais
aussi le pouce, l'angström, etc.
Le système international d'unités définit sept unités fondamentales, associées
justement aux sept grandeurs de base que nous allons utilisées pour écrire l'équation aux
dimensions d'une grandeur. Ces unités sont définies par un phénomène particulier. Elles sont
rappelées dans le tableau.
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Tab. Les unités de base du système international
Grandeur
Masse
Longueur
Temps
Intensité électrique
Température
Intensité lumineuse
Quantité de matière
Unité
Kilogramme
Mètre
Seconde
Ampère
Kelvin
Candela
Mole
Symbole
Kg
M
S
A
K
Cd
mol
Symbole dimensionnel
M
L
T
I
θ
J
N
a) Exemples d’application
1. L'énergie a pour unité le joule (J) dans le système international. Relier cette unité aux unités
de base du système international.
2. Même question avec la force, dont l'unité est le newton (N).
3. Même question avec la pression, dont l'unité est le pascal (Pa).
4. Même question avec la résistance, dont l'unité est l'ohm (Ω).
5. Même question avec l'inductance, dont l'unité est le henry (H).
6. Quelle est l'unité, dans le système international, de la constante des gaz parfait R?
b) Solutions
1. On part de l'expression de l'énergie cinétique E = 1/2mV2. L'équation aux dimensions de
l'énergie est donc [E] = ML2T-2, d'où 1 J = 1 kg .m2.s-2.
2. La relation fondamentale de la dynamique nous dit que l'intensité d'une force est le produit
d'une masse par une accélération. On a donc l'équation aux dimensions [F] = MLT-2. On en
déduit 1 N = 1 kg .m.s-2.
3. Une pression est une force divisée par une surface. Son équation aux dimensions est donc
[P] = [F] L-2 = ML-1T-2. D'ou 1 Pa = 1 kg.m-1. s-2.
4. La puissance dissipée par effet Joule s'écrit P = Ri2. On a la relation dimensionnelle [P] =
[E]T-1 = ML2T-3, d'où [R] = [P]I-2 = ML2T-3I-2: D'où 1 Ω = 1 kg.m2.s-3 .A-2.
5. Le plus rapide est de partir de l'expression de l'énergie emmagasinée par une bobine : E =
1/2Li2. On a donc l'équation aux dimensions d'une inductance [L] = [E]I-2 = ML2T-2I-2, d'où 1
H = 1 kg.m2 .s-2. A-2.
6. L'équation d'état d'un gaz parfait est pV = nRT, donc [T] = [P] L3N-1θ-1 avec [P] = ML-1T-2,
d'où [T] = ML2T-2θ-1N-1. Dans les unités de base du système international, R s'exprime donc
en kg.m2s-2K-1mol-1. En remarquant que pV est homogène à une énergie (penser au travail des
forces de pression ; sinon on a pV = force/surface x volume = force x longueur, c'est le travail
d'une force, donc une énergie), on a [R] = [p.V] θ-1N-1. On exprime usuellement R en J.K1
.mol-1.
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8.1.2. DEPENDANCES ET INDEPENDANCES
DIMENSIONNELLE
8.1.2.1. Dimension d'une grandeur physique
La dimension d'une grandeur est, pour simplifier, sa nature physique. Une grandeur
peut avoir la dimension d'une longueur, d'une énergie, d'une masse, etc. La notion de
dimension est très générale, et ne suppose aucun choix particulier de système d'unités. Une
grandeur ayant la dimension d'une longueur on dit aussi homogène a une longueur peut
s'exprimer en mètres, en centimètres, en angströms, en miles, etc.
Ainsi, quand on demande « quelle est la dimension de L ? », il faut répondre « L a la
dimension d'une longueur », et non pas, comme le fait la majorité des élèves, « L est en
mètres ».
Une grandeur « purement numérique », comme le rapport de deux longueurs, est dite
sans dimension, ou adimensionnée. L'angle plan, défini comme le rapport de deux longueurs,
est donc une grandeur sans dimension ; il a cependant une unité (le radian, le degré) !
8.1.2.2. Grandeurs dimensionnellement indépendantes
Une notion importante est la propriété de dépendance dimensionnelle vis-à-vis d’un
groupe de grandeur.
Soient n grandeurs G1, G2, ..., Gn. S'il existe n + 1 grandeurs non nulles sans dimension
k, α1, α2, ..., αn telles que
k  Gii  1
(1)
1
les grandeurs Gi sont dimensionnellement liées. Dans le cas contraire, elles sont
dimensionnellement indépendantes.
Etant donné un ensemble de grandeurs, pour mettre en évidence une relation du type
(1), il faut faire appel à sa culture générale scientifique, comme on peut le voir dans les
exemples suivants.
a) Exemples d’application
Les grandeurs suivantes sont-elles dimensionnellement indépendantes?
1. Une longueur L, un temps T et une vitesse v.
2. Une énergie E, une masse m et une vitesse v
3. Une énergie E, une masse m et une longueur L.
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b) Solutions
1. Une longueur est une vitesse que multiplie un temps. On peut écrire L = kvT, ou k est un
nombre sans dimension, soit 1 = kvTL-1. Les trois grandeurs ne sont pas dimensionnellement
indépendantes.
2. On connaît l'expression de l'énergie cinétique d'une particule ponctuelle de masse m: E =
1/2mv2 ; on a donc 1 = kmv2E-1 avec k = 1/2 dans le cas de l'énergie cinétique. Les trois
grandeurs ne sont donc pas dimensionnellement indépendantes.
3. Ces trois grandeurs sont dimensionnellement indépendantes. Une énergie est homogène à
une masse multipliée par le carré d'une vitesse ; on ne peut pas construire le carré d'une
vitesse avec... uniquement une longueur !
8.1.2.3. Nombre de grandeurs dimensionnellement
indépendantes dans un problème donné
a) Théorème
Dans toute relation physique mettant en jeu des grandeurs mesurées à l’aide d’un
système homogène d’unités contenant K unités fondamentales, on ne peut pas trouver
plus de K grandeurs dimensionnellement indépendantes. A l’inverse, il est possible,
dans certains cas particuliers où, une des variables n’intervient pas d’en trouver moins.
On constate que l'on ne peut pas avoir plus de sept grandeurs dimensionnellement
indépendantes G1, G2, ..., G7. D'après (1), toute grandeur G vérifie donc
7
kG 0  Gii  1
(2)
i 1
où k, α0, α1,..., α7 sont huit grandeurs sans dimension.
La relation (2) peut se mettre sous la forme
7
C  Gii  G
(3)
i 1
où C, a1, a2, ..., a7 sont huit grandeurs sans dimension.
Le choix des sept grandeurs de base n'est pas unique, et les physiciens ont adopté sept
grandeurs de base, qui définissent d'ailleurs les unités de base du système international : la
masse, la longueur, le temps, l'intensité électrique, la température thermodynamique,
l'intensité lumineuse et la quantité de matière (tableau suivant).
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Tab. Les sept grandeurs de base du système international
Grandeur
masse
longueur
temps
intensité électrique
température
intensité lumineuse
quantité de matière
Symbole dimensionnel
M
L
T
I
θ
J
N
En mécanique des fluides incompressibles, où l’on n’a affaire qu’aux unités
fondamentales M L T, il est donc impossible de trouver plus de trois grandeurs
dimensionnellement indépendantes. Une fois une telle énumération établie, toute nouvelle
grandeur dépendra dimensionnellement des grandeurs choisies.
b) Ecriture d’une équation aux dimensions
Soit G une grandeur physique. Sa dimension est notée [G]. Par exemple, si G est une
longueur, on écrira
[G] = L
(4)
La relation (4) est l'équation aux dimensions de la grandeur G.
L'équation aux dimensions d'une vitesse v est
[v] = LT-1
(5)
Plus généralement, une grandeur peut se décomposer selon la relation (3), ou G1 est
une longueur, G2 une masse, G3 un temps, G4 une intensité électrique, G5 une température,
G6 une intensité lumineuse et G7 une quantité de matière. On en déduit l'écriture générale de
l'équation aux dimensions de la grandeur G:
G  M a La T a I a  a J a N a
1
2
3
4
5
6
7
(6)
L'équation aux dimensions d'une grandeur G sans dimension se réduit a
[G] = 1
c) Exemples d’application
Ecrire l'équation aux dimensions des grandeurs suivantes.
1. Le champ de pesanteur g.
2. Une pulsation ω.
3. Une masse volumique ρ.
4. Une charge électrique Q.
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(7)
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d) Solutions
1. Le champ de pesanteur g est une accélération, c'est-à-dire une vitesse divisée
par un temps, ou une longueur divisée par le carré d'un temps.
[g] = LT-2
2. Une pulsation est un angle divisé par un temps. Un angle est sans dimension.
Donc
[ω] = T-1
3. Une masse volumique est une masse divisée par un volume, donc
[ρ] = ML-3
4. L'intensité électrique étant une charge divisée par un temps (revenir a la définition), on a
[Q] = T
8.1.2.4. Homogénéité d'une expression
Tester l'homogénéité d'une expression est un critère permettant d'éliminer des résultats
dont on sait qu'ils sont nécessairement faux. Une équation est homogène lorsque ses deux
membres ont la même dimension. Le critère de pertinence s'énonce ainsi : Une expression non
homogène est nécessairement fausse.
On peut énoncer les conséquences suivantes :
1. On ne peut additionner que des termes ayant la même dimension.
2. L'argument d'une fonction transcendante (sin, cos, tan, exp, ln, ch, sh, th)
doit être sans dimension.
On manipule les dimensions à l'aide des règles suivantes :
1. La dimension du produit de deux grandeurs est le produit des dimensions de
chacune des grandeurs.
2. La dimension de Ar est égale a [A]r, ou r est un nombre sans dimension.
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8.1.3. THEOREME DE VASCHY BUCKINGHAM (OU
THEOREME DU П)
8.1.3.1 Enoncé du théorème
Toute dépendance fonctionnelle entre n grandeurs dans un système à k unités
fondamentales peut être remplacée par une relation entre n-k produits sans dimensions,
qui seront notés П.
But :
Le but de cette méthode est de déterminer les unités nécessaires pour exprimer une
grandeur d’un problème, et également les puissances associées
8.1.3.2 Illustration à l’aide d’une application à un problème
physique
Exemple : Pour illustrer ce théorème, on peut étudier un écoulement permanent à travers une
singularité triangulaire, les grandeurs du problème sont le débit qv, la hauteur h, l’angle α et la
gravité g. On va chercher à exprimer qv=f(h,α,g). On aurait pu prendre en compte d’autre
paramètres : t, Ө…, mais ils n’interviendront pas dans l’équation finale.
1) Une grandeur physique U est à déterminer en fonction de n grandeurs mesurables
(variables ou paramètres notés wi, i = 1,..,n )
U=f (w1,…,wn)
Dans notre problème nous allons cherchons a exprimer le débit qv en fonction des
différents paramètres h, α, g, on aura donc qv=f(h,α,g).
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2) Toutes les grandeurs (U, w1,…,wn) sont exprimables grâce à m unités fondamentales,
celles-ci seront notées (L1, L2, …,Lm).
Dans notre problème, nous exprimerons nos grandeurs à l’aide des trois unités
fondamentales de la mécanique à savoir L (longueur), M (masse) et T (temps). Ainsi, on
exprime:
- la constante gravitationnelle g à l’aide des unités de longueur et de temps:
[g] = L1 .M0 .T -2
- la hauteur h:
[h] = L1 .M0 .T0
L’angle α est sans dimension.
On peut ainsi associer des vecteurs à chacun des paramètres : on obtient alors pour la
constante gravitationnelle g le vecteur suivant :
1
 (g )   0 
2 
Il en va de même pour les autres paramètres h et α. On obtient alors une matrice que
l’on nomme B de la forme suivante :
g
h 
L  1 1 0
B  M  0 0 0
T  2 0 0
Le débit s’exprime en m3.s-1, le vecteur a s’exprime donc ainsi :
qv
L 3
a  M  0 
T  1
On va exprimer la solution sous forme adimensionnelle,
Π et Πi sont exprimés à l’aide des paramètres du problème.
  f ( , 
1
2
,...  k ) , ou les
Le nombre de grandeur adimensionnelles Пi nécessaires pour résoudre le problème est
k  n  rg (B) . Ainsi dans notre problème, k = 3 - 2 = 1, il n’y a donc qu’une seule grandeur
adimensionnelle П1
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Les grandeurs adimensionnelles Пi sont obtenues en résolvant l’équation B  x  0 , où
B est la matrice vue précédemment. Les xi obtenus sont les exposants des unités de grandeur
adimensionnelle. Si il y a plus d’inconnus que d’équations, certains exposants seront des
paramètres.
j  w1x1  w2 x2  ....  wk
xk
Dans notre exemple, en posant B  x  0 , on obtient les équations
 0
 x1  x2  0  x1
  x2  0

 2 x2  0

 x3
0
x3
0
1  H  g  
x3 est donc ici une variable, et
.
La grandeur  s’obtient elle en résolvant l’équation B  y  a . Et, de la même
manière que pour les i :
 U  L y1  L y2  ... L yk

Dans notre problème, l’équation B*y=-a se traduit par,
1

 y1   2
 y1  y 2  3 
5
  y2  

2
  2 y2  1

y
3


d’où
  qv  g
1
2
H
5
2
  y3  f (1)  g ( x3)
1
 qv  g 2  H 2   z
5
On peut donc savoir sous quel forme sera qv, il dépendra de α une puissance qui sera
déterminée par les équations.
Le théorème des П est un théorème très puissant qui permet de connaître la forme de
la solution à partir d’une simple étude dimensionnelle, cela peut faire gagner énormément de
temps lorsqu’il s’agit de déterminer expérimentalement la solution par les paramètres.
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8.1.4. METHODE GENERALE DE RECHERCHE DES
PARAMETRES ADIMENSIONNELS
Dans un problème, il est indispensable de commencer par identifier les grandeurs de
références, qui permettront d’exprimer la dimension des autres grandeurs.
8.1.4.1 Méthode systématique de MAXWELL
Cette méthode permet d’exprimer la dimension d’une grandeur à l’aide de variables de
références différentes.
On va par exemple exprimer la force de traînée à l’aide des variables ρ, D et V. On sait
que cette force s’exprime à partir des grandeur plus couramment utilisée : M, L, T par
F x  M 1  L1  T 2  m 2kg
s
On va chercher à déterminer les exposants e1, e2 et e3 répondant à l’équation suivante:
F x    e1  V e 2  De3
Pour se faire il est commode d’utiliser le tableau suivant regroupant les dimensions
des différentes grandeurs :
Type de grandeur
référence
référence
référence
dépendance
Dimension grandeur
ρ
V
D
Fx
M
1
0
0
1
L
-3
1
1
1
T
0
-1
0
-2
exposant
e1
e2
e3
1
Pour assurer l’homogénéité de la relation dimensionnelle précédente, on doit avoir
F x   e1 V e2  De3  M L3e1  L T 1e2  Le3  M e1  L3e1e2e3  T e2  M 1  L1  T 2
Par identification, on obtient donc
1  e1

 e1  1


1  3e1  e2  e3  e2  2 ,
  2  e 2
e3  2


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La force de traînée peut donc s’exprimer F x   V 2  D2 .
On peut ainsi exprimer une grandeur en fonctions des paramètres qui nous arrange.
8.1.4.2 Méthode basée sur des groupements significatifs déjà
identifiés
Cette méthode consiste à faire apparaître des groupements que l’on connaît déjà. Ce
qui impose d’avoir un minimum de connaissance sur le sujet. Cette méthode est loin d’être
facile à utiliser.
Si nous reprenons l’exemple précédent, nous savons que, pour obtenir une force, il
suffit de multiplier une pression par une surface. Or l’équation de Bernoulli nous apprend que
p à la même dimension que le produit ρV2 et S est évidemment de même dimension que D2.
D’où le résultat : [Fx] = ρV2 D2.
Un autre exemple : Le nombre de Reynolds déjà rencontré en mécanique des fluides
VD
est donné par Re 
et est sans dimension. Cela peut servir à démontrer que µ a la même

dimension que ρVD.
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