03 - Analyse dimensi..

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Cours n°3 : Analyse dimensionnelle
1) Introduction
On appelle grandeur physique, toute propriété physique mesurable, comme une force ou un travail.
Une mesure est une comparaison entre deux grandeurs physiques dont l’une est choisie comme
unité.
Ainsi, le résultat d’une mesure s’exprime à l’aide d’un nombre suivi d’une unité.
Une grandeur physique peut toujours être exprimée sur la base d’unités fondamentales.
Pour le concours, on utilisera uniquement 6 unités fondamentales (une 7ème existe  l’intensité
lumineuse, le candela de symbole cd mais n’est pas au programme).
Grandeur physique
Symbole de l’unité
Unité
Dimension
Longueur
m
mètre
L
Masse
kg
kilogramme
M
Temps
s
seconde
T
Courant
A
ampère
I
Température
K
kelvin
θ
Quantité de matière
mol
mole
n
2) Equation aux dimensions
L’équation aux dimensions permet de déterminer l’unité dans laquelle doit être exprimé le résultat
d’une formule.
Cette équation est une équation de grandeurs où les grandeurs physiques sont représentées par une
lettre.
La dimension d’une grandeur  est notée  ou 
Exemple : la dimension de la longueur 
2.1) Dimension d’une force
La seconde loi de la dynamique nous dit que :
Or 
Equation aux dimensions

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et 
donc 
L’unité de la force dans le système international (S.I.) est le  appelé le Newton ()
2.2) Dimension d’une pression
Une pression est une force par unité de surface.
L’unité S.I. d’une pression est le 
2.3) Dimension d’une puissance
Une puissance est un travail ou une énergie par une unité de temps.
Le travail est le produit scalaire d’une force et d’un déplacement.
or 
d’où 
L’unité S.I. d’une puissance est le  appelé 

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2.4) Exemples d’unités dérivées des unités de base du S.I.
Grandeur
Symbole
Unités S.I.
Nom
Dimension
Surface
Volume
Masse volumique
Vitesse
Accélération
Force
Pression
Energie ou Travail
Puissance
Charge électrique
Potentiel ou Tension
électrique
Résistance
électrique
3) Application de l’équation aux dimensions
3.1) Détermination de l’unité d’une grandeur en fonction d’autres grandeurs
Exemple : avec la 2nde loi de Newton  , la formule du poids  , on retrouve
l’unité S.I. d’une force : 
3.2) Prévision d’une formule physique
De manière générale, une grandeur  peut se décomposer de la manière suivante en fonction des
unités de base :
L’équation aux dimensions d’une grandeur  sans dimension se réduit à  .
Exemple : la période propre d’un oscillateur mécanique libre de faible amplitude, de longueur l, relié
à une masse m et soumis au champ de pesanteur de valeur g est de la forme
Cette relation doit être homogène à un temps. On a donc :

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Ce qui correspond bien à la période propre des oscillations.
3.3) Limites de l’équation aux dimensions
L’unité d’une grandeur nous renseigne sur le type de grandeur rencontrée, mais elle ne nous
renseigne pas sur l’origine physique de cette grandeur.
Exemple : la dimension  signifie que l’on a affaire à une puissance mais ne nous renseigne
pas sur la nature de cette puissance 
3.4) Homogénéité d’une expression
Le domaine de la physique qui concerne les unités des grandeurs s’appelle l’analyse dimensionnelle.
Une équation scientifique doit nécessairement être homogène.
Deux grandeurs  et  sont dites homogènes s’il existe une relation entre elles du type :  où
 est une constante sans dimension.
Ainsi, une longueur ne peut égaler qu’une autre grandeur qui se mesure en mètres.
Il doit forcement y avoir homogénéité des grandeurs physiques mises en jeu dans une équation.
Ainsi, si  alors  de même dimension c’est-à-dire 
Pour vérifier si une expression est homogène, il est possible de remplacer une grandeur physique par
d’autres grandeurs physiques équivalentes.
Exemple : 
 est homogène à une résistance. Effectivement :

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Exemple : un étudiant donne l’expression de la constante de temps d’un circuit RL
Vérifions la rigueur de cette expression par analyse dimensionnelle.
Il vaut mieux éviter de déterminer l’équation aux dimensions de chacune des valeurs mises en jeu.
Cela implique des calculs relativement lourds.
On détermine l’homogénéité d’une formule physique en utilisant des relations « classiques » entre
les différentes grandeurs mises en jeu.
Dans notre exemple, on connaît la loi d’Ohm :
On a également : 
La formule de l’élève est erronée
On a donc : 