03 - Analyse dimensi..

Cours n°3 : Analyse dimensionnelle
1) Introduction
On appelle grandeur physique, toute propriété physique mesurable, comme une force ou un travail.
Une mesure est une comparaison entre deux grandeurs physiques dont l’une est choisie comme
unité.
Ainsi, le résultat d’une mesure s’exprime à l’aide d’un nombre suivi d’une unité.
Une grandeur physique peut toujours être exprimée sur la base d’unités fondamentales.
Pour le concours, on utilisera uniquement 6 unités fondamentales (une 7ème existe  l’intensité
lumineuse, le candela de symbole cd mais n’est pas au programme).
Grandeur physique
Longueur
Masse
Temps
Courant
Température
Quantité de matière
Symbole de l’unité
m
kg
s
A
K
mol
Unité
mètre
kilogramme
seconde
ampère
kelvin
mole
Dimension
L
M
T
I
θ
n
2) Equation aux dimensions
L’équation aux dimensions permet de déterminer l’unité dans laquelle doit être exprimé le résultat
d’une formule.
Cette équation est une équation de grandeurs où les grandeurs physiques sont représentées par une
lettre.
La dimension d’une grandeur 𝑋 est notée [𝑋] ou dim 𝑋
Exemple : la dimension de la longueur [𝑙] = 𝐿
Equation aux dimensions
2.1) Dimension d’une force
La seconde loi de la dynamique nous dit que :
𝐹⃗ = 𝑚 𝑎⃗
⇒
[𝐹] = [𝑚] ∙ [𝑎]
Or
[𝑎] =
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[𝑣]
= [𝑣] ∙ [𝑡]−1
[𝑡]
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et
[𝑣] = 𝐿 𝑇 −1
[𝑎] = 𝐿 𝑇 −2
𝑠𝑜𝑖𝑡
donc
[𝐹] = 𝑀 𝐿 𝑇 −2
L’unité de la force dans le système international (S.I.) est le 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −2 appelé le Newton (𝑁)
⇒ 1 𝑁 = 1 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −2
2.2) Dimension d’une pression
Une pression est une force par unité de surface.
[𝑃] =
[𝐹] 𝑀 𝐿 𝑇 −2
=
= 𝑀 𝐿−1 𝑇 −2
[𝑆]
𝐿2
L’unité S.I. d’une pression est le 𝑘𝑔 ∙ 𝑚−1 ∙ 𝑠 −2
2.3) Dimension d’une puissance
Une puissance est un travail ou une énergie par une unité de temps.
Le travail est le produit scalaire d’une force et d’un déplacement.
[𝑃] =
[𝑊]
[𝑡]
𝑒𝑡
[𝑊] = [𝐹] ∙ [𝑙]
or
[𝐹] = 𝑀 𝐿 𝑇 −2
[𝑊] = 𝑀 𝐿2 𝑇 −2
⇒
d’où
[𝑃] =
𝑀 𝐿2 𝑇 −2
= 𝑀 𝐿2 𝑇 −3
𝑇
L’unité S.I. d’une puissance est le 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ∙ 𝑠 −3 appelé 𝑊𝑎𝑡𝑡 (𝑊)
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2.4) Exemples d’unités dérivées des unités de base du S.I.
Grandeur
Surface
Volume
Masse volumique
Vitesse
Accélération
Force
Pression
Energie ou Travail
Puissance
Charge électrique
Potentiel ou Tension
électrique
Résistance
électrique
Symbole
𝑆
𝑉
𝜌, 𝜇
𝑣
𝑎, 𝑔
𝐹
𝑃
𝐸 𝑜𝑢 𝑊
𝑃
𝑞
𝑉 𝑜𝑢 𝑈
Unités S.I.
𝑚2
𝑚3
𝑘𝑔 ∙ 𝑚−3
𝑚 ∙ 𝑠 −1
𝑚 ∙ 𝑠 −2
𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −2
𝑘𝑔 ∙ 𝑚−1 ∙ 𝑠 −2
𝑚2 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑠 −2
𝑚2 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑠 −3
𝐴∙𝑠
𝑚2 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝐴−1 𝑠 −3
Nom
−
−
−
−
−
𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 (𝑁)
𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 (𝑃𝑎)
𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 (𝐽)
𝑊𝑎𝑡𝑡 (𝑊)
𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 (𝐶)
𝑉𝑜𝑙𝑡 (𝑉)
Dimension
𝐿2
𝐿3
𝑀 𝐿−3
𝐿 𝑇 −1
𝐿 𝑇 −2
𝑀 𝐿 𝑇 −2
𝑀 𝐿−1 𝑇 −2
𝐿2 𝑀 𝑇 −2
𝐿2 𝑀 𝑇 −3
𝐼𝑇
𝐿2 𝑀 𝐼 −1 𝑇 −3
𝑅
𝑚2 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝐴−2 𝑠 −3
𝑂ℎ𝑚 (Ω)
𝐿2 𝑀 𝐼 −2 𝑇 −3
3) Application de l’équation aux dimensions
3.1) Détermination de l’unité d’une grandeur en fonction d’autres grandeurs
Exemple : avec la 2nde loi de Newton [𝐹] = [𝑚][𝑎] , la formule du poids [𝑃] = [𝑚][𝑔] , on retrouve
l’unité S.I. d’une force : 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 −2
3.2) Prévision d’une formule physique
De manière générale, une grandeur 𝐺 peut se décomposer de la manière suivante en fonction des
unités de base :
[𝐺] = 𝑀𝑎1 𝐿𝑎2 𝑇 𝑎3 𝐼𝑎4 𝜃 𝑎5 𝑁 𝑎6
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎𝑖 ∈ ℝ , ∀ 𝑖 ∈ [1; 6]ℕ
L’équation aux dimensions d’une grandeur 𝐺 sans dimension se réduit à [𝐺] = 1 .
Exemple : la période propre d’un oscillateur mécanique libre de faible amplitude, de longueur l, relié
à une masse m et soumis au champ de pesanteur de valeur g est de la forme
𝑇0 = 𝑘 𝑙 𝑎 𝑚𝑏 𝑔𝑐
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡é
Cette relation doit être homogène à un temps. On a donc :
[𝑇0 ] = [𝑙]𝑎 [𝑚]𝑏 [𝑔]𝑐
𝑐𝑎𝑟 [𝑘] = 1
[𝑔] = 𝐿 𝑇 −2
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[𝑇0 ] = 𝐿𝑎 𝑀𝑏 (𝐿 𝑇 −2 )𝑐
[𝑇0 ] = 𝐿𝑎+𝑐 𝑀𝑏 𝑇 −2𝑐 = 𝑇
𝑎+𝑐 =0
⇒{ 𝑏=0
−2𝑐 = 1
𝑎 = −𝑐 =
⇒
𝑏=0
1
𝑐=−
{
2
1
2
1
1
𝑙
⇒ 𝑇0 = 𝑘 𝑙 2 𝑔−2 = 𝑘√
𝑔
Ce qui correspond bien à la période propre des oscillations.
3.3) Limites de l’équation aux dimensions
L’unité d’une grandeur nous renseigne sur le type de grandeur rencontrée, mais elle ne nous
renseigne pas sur l’origine physique de cette grandeur.
Exemple : la dimension 𝐿2 𝑀 𝑇 −3 signifie que l’on a affaire à une puissance mais ne nous renseigne
𝑚é𝑐𝑎𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑃𝑚 = 𝐹 𝑣
é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒
∶ 𝑃𝑒 = 𝑢𝑖
pas sur la nature de cette puissance ⇒ {
𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑃𝑐 =
𝑄
𝑡
3.4) Homogénéité d’une expression
Le domaine de la physique qui concerne les unités des grandeurs s’appelle l’analyse dimensionnelle.
Une équation scientifique doit nécessairement être homogène.
Deux grandeurs 𝐴 et 𝐵 sont dites homogènes s’il existe une relation entre elles du type : 𝐴 = 𝑘𝐵 où
𝑘 est une constante sans dimension.
Ainsi, une longueur ne peut égaler qu’une autre grandeur qui se mesure en mètres.
Il doit forcement y avoir homogénéité des grandeurs physiques mises en jeu dans une équation.
Ainsi, si 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 alors 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 de même dimension c’est-à-dire [𝐴] = [𝐵] = [𝐶] = [𝐷]
Pour vérifier si une expression est homogène, il est possible de remplacer une grandeur physique par
d’autres grandeurs physiques équivalentes.
Exemple :
∆𝑡
𝐶
est homogène à une résistance. Effectivement :
[
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[∆𝑡] [𝜏𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 ] [𝑅𝐶] [𝑅] ∙ [𝐶]
∆𝑡
=
=
=
= [𝑅]
]=
[𝐶]
[𝐶]
[𝐶]
[𝐶]
𝐶
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Exemple : un étudiant donne l’expression de la constante de temps d’un circuit RL
𝑅
𝜏=
𝐿
Vérifions la rigueur de cette expression par analyse dimensionnelle.
Il vaut mieux éviter de déterminer l’équation aux dimensions de chacune des valeurs mises en jeu.
Cela implique des calculs relativement lourds.
On détermine l’homogénéité d’une formule physique en utilisant des relations « classiques » entre
les différentes grandeurs mises en jeu.
Dans notre exemple, on connaît la loi d’Ohm :
[𝑢] = [𝑅 𝑖] = [𝑅] 𝐼
On a également :
𝑢=𝐿
⇒ [𝑢] = [𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑖
] = [𝐿] 𝐼 𝑇 −1
𝑑𝑡
[𝑅] 𝐼 = [𝐿] 𝐼 𝑇 −1
⇒
[𝑅]
= 𝑇 −1
[𝐿]
La formule de l’élève est erronée
On a donc :
[𝐿]
𝐼
=
=𝑇
[𝑅] 𝐼 𝑇 −1
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