1. Le rotationnel

1
1. . L Le e r ro ot ta at ti io on nn ne el l
1
1. .1 1. . D Dé éf fi in ni it ti io on n
Le rotationnel est un opérateur permettant de mesurer localement un tourbillonnement. On
l’applique généralement à un champs de vecteur noté
A
. Le rotationnel peut-être de nature
modulaire ou dimensionnelle, il est noté
Arot
et peut s’exprimé dans les trois systèmes de
coordonnées.
1
1. .2 2. . C Co oo or rd do on nn né ée es s c ca ar rt té és si ie en nn ne es s
z
x
y
y
z
x
x
y
ze
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
Arot  
1
1. .3 3. . C Co oo or rd do on nn né ée es s c cy yl li in nd dr ri iq qu ue es s
z
rzr
r
ze
A
Ar
rr
e
r
A
z
A
e
z
A
A
r
Arot  ).(
11
1
1. .4 4. . C Co oo or rd do on nn né ée es s s sp ph hé ér ri iq qu ue es s
M
O
x
z
y
ex
ez
ey
dz
dy
dx
M
O
x
z
y
er
ez
e
M'
r
OM' = r
dz
dr
rd

e
A
Ar
rr
eAr
r
A
r
e
A
A
r
Arot rr
r
).(
1
).(
sin
11
.(sin
sin. 1
1
1. .5 5. . I In nt te er rp pr ré ét ta at ti io on n d du u r ro ot ta at ti io on nn ne el l
Le rotationnel est une mesure de la tendance à pivoter qu'aurait un petit objet situé à l'endroit
étudié, et sur lequel la grandeur vectorielle aurait un quelconque effet d'entraînement. Si vos
pieds sont déposés chacun sur un patin à roulettes, et que ces derniers possèdent chacun une
vitesse parallèle mais de module différent, vous allez pivoter. Ici, des vecteurs parallèles
possèdent un rotationnel dû à une différence de module: c'est un rotationnel modulaire.
Rotation due à la différence de module entre deux vecteurs adjacents :
Comment des vecteurs de modules constants pourraient-ils faire pivoter? Simplement si
de deux vecteurs, celui qui est devant, pointe dans une autre direction. Le rotationnel directionnel
est relié à la courbure des lignes de force (courbes dont la tangente, en tout point, est parallèle à la
direction des vecteurs). Si vous suivez une ligne de force circulaire par exemple, vous allez bien
parcourir un cercle mais vous allez aussi pivoter, en autant que vous conserviez en tout moment
la même orientation que la tangente. En effet, toute trajectoire circulaire de ce type peut être
considérée comme la superposition d'un mouvement de translation et d'un mouvement de
rotation, et seul ce dernier est considéré ici.
Si deux vecteurs situés l'un au devant l'autre (i.e. deux vecteurs définis en deux points
voisins situés sur une même ligne de force), sont de direction différente, il y aura rotation
directionnelle.
Rotation due à la différence de direction entre deux vecteurs consécutifs sur une même
ligne de force :
M
O
x
z
y
e
er
e
r
e
u

Remarquez que curieusement, c'est l'inverse pour la divergence: afin de noter un effet
modulaire, il faut regarder le vecteur devant et pour un effet directionnel, le vecteur de côté.
Imaginons maintenant un champ dans l'espace bidimensionnelle où les deux contributions
seraient égales et opposées, L'électromagnétisme constitue une bonne source d'exemple: le champ
magnétique induit par un fil infiniment long et parcouru d'un courant constant, sortant de la page,
est tout indiqué. En magnétostatique, rot B = uoJ , et ici le courant (J) est nul partout ailleurs que
dans le fil (ou uo représente la perméabilité du vide au champ magnétique), le rotationnel de ce
type de champ doit être identiquement nul. On constate en effet que les rotations modulaire et
directionnelle sont opposées: sens horaire pour la contribution de module et sens anti-horaire
pour la contribution de direction.
Représentation de la rotation due au module et à la direction.
On utilise ici le champ de vecteur magnétique produit par la circulation d'un courant dans
un fil infini (sort de la page). Sur une même ligne de force (circulaire) le vecteur champ
magnétique a en tous points un module identique et une direction tangente au cercle.
On prend deux vecteurs côte à côte, si celui près du centre est plus grand que le second
alors la rotation modulaire est dans le sens horaire. On prend deux autres vecteurs qui se suivent
sur un cercle, si celui qui est devant pointe vers la gauche par rapport au premier alors la rotation
directionnelle est dans le sens anti-horaire.
Une étude quantitative plus poussée montrerait qu'en s'éloignant du fil, la rotation
modulaire décroît comme 1/r2; mais que la rotation directionnelle (proportionnelle à la courbure)

ne décroît que comme 1/r. Il faut cependant pondérer la contribution directionnelle par un facteur
relié au module même du vecteur. Il est ici proportionnel à l'inverse du rayon: on a donc une
décroissance totale comme 1/r2; pour chacune des contributions et le rotationnel est, en
s'éloignant du fil encore égal à zéro.
Représentation de la différence de rotation directionnelle due au module.
On observe (pour un même angle) que la distance entre les extrémités de deux vecteurs
augmente selon le module. Plus le rayon de courbure du cercle est petit plus le rotationnel du
champ de vecteur en ce point est grand.
L'extension à l'espace réel (tridimensionnel) se fait simplement. Le module du vecteur
rotationnel sera proportionnel aux grandeurs discutées précédemment (rotation modulaire et
directionnelle). L'orientation sera donnée par la normale au plan qui contient, au point étudié,
l'arc de cercle défini par la ligne de force.
Finalement, le sens du vecteur rotationnel sera déterminé par la règle de la main droite.
Le rotationnel est donc une mesure locale du tourbillonnement.