Révisions BAC Conjugué d’un nombre complexe A. Définition : Le conjugué d’un complexe z tel que z x iy avec x et y réels est le complexe z tel que : z x iy B. Propriétés : 1. Les points images de z et z sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses 2. z réel z z 3. z imaginaire pur z z 4. z z 2 Re z et z z 2 Imz 5. z z z 2 donc z z + 6. z z 7. z z' z z ' Preuve : Posons z x iy avec x et y réels z ' x'iy ' avec x ' et y ' réels z z' x iy x'iy' x x'i y y' x x'i y y' x iy x'iy' z z ' 8. z z' z z ' Preuve : Posons z x iy avec x et y réels z ' x'iy ' avec x ' et y ' réels z z' x iy x' iy' xx' xiy' x'iy-yy' xx' yy' ix'y xy' z z ' x iy x' iy' xx' xiy ' x' iy yy' xx' yy' ix'y xy' On a prouvé z z' z z ' 1 z 9. 1 avec z 0 z Preuve : 1 1 z z 1 1 z z 1 1 donc z z Chapitre I : Nombres complexes Page 1 10. z z avec z' 0 z' z ' Preuve : z 1 1 1 z z z z z' z' z' z' z' z z donc z' z ' 11. z n z n avec z * et n Equations du second degré A. Equations du type : z 2 a E : z 2 a avec a 1er cas : a 0 ; E a deux solutions a et a dans comme dans 2ème cas : a 0 La seule solution dans comme dans est 0 3ème cas : a ; 0 E admet dans deux solutions conjuguées i a et i a , dans E n’admet pas de solution B. Cas général E : az2 bz c 0 avec a *, b et c 1er cas : 0 E a deux solutions 2ème cas : 0 b b et dans comme dans 2a 2a E a dans comme dans une solutions double qui est 3ème cas : 0 E a dans deux solutions conjuguées bi 2a et b 2a bi 2a Affixe d’un vecteur A. Définition : On appelle affixe d’un vecteur w de coordonnés cartésiennes x, y le complexe z tel que : z x iy . On dit alors que w est le vecteur image du complexe z Chapitre I : Nombres complexes Page 2 B. Affixe de w Soit w un vecteur d’affixe z Soit un réel Alors w a pour affixe z C. Affixe de w w' Si wz et w'z ' alors w w' a pour affixe z z' D. Affixe de AB Si A est un point d’affixe z a et B un point d’affixe zb alors AB a pour affixe zb za E. Affixe du milieu de AB Soient deux points Aza et Bzb Le milieu I du segment AB a pour affixe z a zb 2 F. Affixe d’un barycentre Soit G le barycentre des points pondérés A, , B, , c, (on a 0 ) Alors z g z a zb z c Module d’un complexe A. Distance de deux points : Soient deux points Az a et Bzb ABzb za AB AB zb z a B. Propriétés : 1. Soit M le point d’affixe z . Soit x iy la forme algébrique de z 2 2 Alors z OM x y 2. z 0z 0 3. z z z z 4. Soient deux points M z et M ' z ' z z' z z' (inégalité triangulaire) Chapitre I : Nombres complexes Page 3 5. z z' z z' 6. 1 1 si z 0 z z Preuve : z 1 1 z 1 1 z z z donc 7. 1 1 z z z z z' z' si z ' 0 Preuve : z 1 z 4. z' z' 1 z 5. z' 1 z 6. z' donc 8. z z' z z z' z' z z n n avec n entier et z 0 Argument d’un complexe non nul z et z ' désignent des complexes non nuls 1. z réel non nul arg z 0 ou arg z z R* arg z 0 z R* arg z 2. z imaginaire pur non nul argz 3. Argument d’un produit : 2 ou argz 2 On note un argument de z et ' un argument de z' z z cos i sin et z' z' cos ' i sin ' Chapitre I : Nombres complexes Page 4 donc z z ' z z ' cos cos ' cos i sin ' cos ' i sin sin sin ' z z ' cos cos ' sin sin ' icos sin ' sin cos ' z z ' cos ' i sin ' donc ' est un argument de z z' d’où argz z ' argz argz' 4. Argument de l’inverse 1 arg argz z Preuve : 1 1 arg z arg arg z z z arg 1 0 1 donc arg argz z 5. Argument d’un quotient z arg argz argz ' z' Preuve : 1 z arg arg z z' z' 1 arg z arg z' arg z arg z ' z donc arg argz argz ' z' 6. Argument d’une puissance arg z n n argz Notation exponentielle A. Définition Pour tout réel , ei cos i sin Soit z un complexe non nul d’argument , z ei est une forme exponentielle de z Chapitre I : Nombres complexes Page 5 B. Propriétés et ' désignent des réels 1. ei 1 et arg ei 2. ei ei ' ei ' Preuve : ei ei ' ei ei ' 1 1 1 arg ei ei ' arg ei arg ei ' ' i ' 1 e -i e e 3. est le complexe de module 1 et d’argument ' ce qui prouve : ei ei ' ei ' i e i Preuve : e i e -i e i ' ei0 1 d’où 4. e i e i ' 1 e i e -i e i ' Preuve : e i 1 e i i ' i ' e e i e e -i ' e i ' 5. ei e-i Formules d’Euler Soit un réel ei cos i sin et ei - cos i sin donc cos ei ei - ei ei- et sin 2 2i Formule de Moivre Chapitre I : Nombres complexes Page 6 Soit un réel et n un entier cos i sin n cosn i sinn ou encore e i n e in Preuve : cos i sin n et cos i sin 1n 1 n arg cos i sin n n arg cos i sin n donc cos i sin n est le complexe de module 1 et d’argument n d’où : cos i sin n cosn i sinn Interprétation géométrique d’un quotient de nombres complexes Soient trois points A, B, C distincts deux à deux d’affixes respectives a, b, c AB a pour affixe b a AC a pour affixe c a AB AB b a AC AC c a AC c a ca AC c a donc AB b a ba AB b a u; AB argb a et u ; AC argc a donc AB; AC AB; u u ; AC u ; AB u ; AC arg b a arg c a ca arg ba ca AC ca et arg AB; AC ba AB ba Nombres complexes et transformations planes Si z' z b avec b alors f est une translation de vecteur d’affixe b Preuve : z' z b z ' z b MM' avec d' affixe b M ' image de M par translation de vecteur Chapitre I : Nombres complexes Page 7 Si z' ei z avec et , alors f est la rotation de centre Ω d’affixe et d’angle Démonstration Considérons le point Ω Si z alors ei z 0 donc z' On en déduit Ω' Ω Cela prouve que Ω reste invariant par f 0 d’où z' Supposons M Ω z ' e i z z ' z ' i e i et arg arg e z z ΩM' 1 et ΩM' ; ΩM' ΩM M ' image de M par rotation de centre Ω et d' angle z ' e i z Cas particuliers L’écriture complexe de la rotation de centre O et d’angle z '0 e i 2 z 0 est : 2 c'est-à-dire z' i z L’écriture complexe de la rotation de centre O et d’angle est : z'0 ei z 0 c'est-à-dire z' z Si z' k z avec et k * alors f est l’homothétie de centre d’affixe et de rapport k Preuve : z ' k z M ' k M M ' est l' image de M par l' homothétie de centre et de rapport k Chapitre I : Nombres complexes Page 8