Conjugué d`un nombre complexe

Chapitre I : Nombres complexes
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Révisions BAC
Conjugué d’un nombre complexe
A. Définition :
Le conjugué d’un complexe
z
tel que
yxz i
avec
x
et
y
réels est le complexe
z
tel que :
yxz i
B. Propriétés :
1. Les points images de
z
et
z
sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
2.
zzz réel
3.
zzz pur imaginaire
4.
zzzzzz Im2et Re2
5.
2
zzz 
 zz donc
+
6.
zz 
7.
'' zzzz 
Preuve :
''i'i'i'i''i'i' zzyxyxyyxxy'yxxyxyxzz 
8.
'' zzzz 
Preuve :
xy'x'yyy'xx'yyyxyxxxy'x'yxzz
xy'x'yyy'xx'y-yy'x'y'xxx'y'x'yxz'z
i'i''i'ii'
iiiii
On a prouvé
'' zzzz 
9.
zz 11 
avec
0z
Preuve :
11
11 
z
z
z
z
donc
zz 11 
Posons
yxz i
avec
x
et
y
réels
'i'' yxz 
avec
'x
et
'y
réels
Posons
yxz i
avec
x
et
y
réels
'i'' yxz 
avec
'x
et
'y
réels

Chapitre I : Nombres complexes
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10.
'' z
z
z
z
avec
0'z
Preuve :
'
1
'
1
'
1
'z
z
z
z
z
z
z
z
'z
z
donc
'' z
z
z
z
11.
n
nzz 
avec
z
* et
n
Equations du second degré
A. Equations du type :
az 
2
 aazE avec :2
1er cas :
 ; 0a
E
a deux solutions
a
et
a
dans  comme dans 
2ème cas :
0a
La seule solution dans  comme dans  est
0
3ème cas :
0 ; a
E
admet dans  deux solutions conjuguées
ai
et
ai
, dans 
E
n’admet pas de solution
B. Cas général
 acbzazE avec 0: 2
*,
b
 et
c
1er cas :
0
E
a deux solutions
a
b2
et
a
b2
dans  comme dans 
2ème cas :
0
E
a dans  comme dans  une solutions double qui est
a
b
2
3ème cas :
0
E
a dans  deux solutions conjuguées
a
b
2
i
et
a
b
2
i
Affixe d’un vecteur
A. Définition :
On appelle affixe d’un vecteur
w
de coordonnés cartésiennes
yx,
le complexe
z
tel que :
yxz i
. On dit alors que
w
est le
vecteur image du complexe
z

Chapitre I : Nombres complexes
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B. Affixe de
w
Soit
w
un vecteur d’affixe
z
Soit un réel
Alors
w
a pour affixe
z
C. Affixe de
'ww  
Si
zw
et
'' zw
alors
'ww 
a pour affixe
'zz
D. Affixe de
AB
Si
A
est un point d’affixe
a
z
et
B
un point d’affixe
b
z
alors
AB
a pour affixe
ab zz 
E. Affixe du milieu de
AB
Soient deux points
ba zBzA et
Le milieu
I
du segment
AB
a pour affixe
2ba zz 
F. Affixe d’un barycentre
Soit
G
le barycentre des points pondérés
,,,,, cBA
(on a
0
)
Alors
cba
gzzz
z
Module d’un complexe
A. Distance de deux points :
Soient deux points
ba zBzA et
ab zzAB 
ab zzABAB 
B. Propriétés :
1. Soit
M
le point d’affixe
z
. Soit
yx i
la forme algébrique de
z
Alors
22 yxOMz
2.
00  zz
3.
zzzz 
4. Soient deux points
''et zMzM
'' zzzz 
(inégalité triangulaire)

Chapitre I : Nombres complexes
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5.
'' zzzz 
6.
0 si
11  z
zz
Preuve :
11
1
1 z
z
z
zz
donc
zz 11 
7.
'' z
z
z
z
0' si z
Preuve :
'
z
6.
z'
1
5.
'
1
4.
'
1
'
z
z
z
z
z
zz
z
''
z
z
z
z
donc 
8.
nn zz 
avec
n
entier et
0z
Argument d’un complexe non nul
'et zz
désignent des complexes non nuls
1.
zRz
zRz
zzz
arg
0arg
argou 0argnulnon réel
*
*
2.
2
argou
2
argnulnon pur imaginaire  zzz
3. Argument d’un produit :
On note un argument de
z
et
'
un argument de
'z
sinicos  zz
et
'sini'cos''  zz

Chapitre I : Nombres complexes
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donc
'sini'cos'
'cossin'sincosi'sinsin'coscos'
'sinsinsini'cos'sinicos'coscos''
zz
zz
zzzz
donc
'
est un argument de
'zz
d’où
'argarg'arg zzzz 
4. Argument de l’inverse
z
zarg
1
arg 
Preuve :
0
1arg
1
arg
1
argarg z z
z
z
donc
z
zarg
1
arg 
5. Argument d’un quotient
'argarg
'
arg zz
z
z
Preuve :
'argarg
'
1
argarg
'
1
arg
'
arg
zz
z
z
z
z
z
z
donc
'argarg
'
arg zz
z
z
6. Argument d’une puissance
znznargarg 
Notation exponentielle
A. Définition
sinicos , réelPour tout ie
Soit
z
un complexe non nul d’argument ,
i
ez 
est une forme exponentielle de
z