Probabilités

PROBABILITES
I-
Expérience aléatoire.
On dit qu’une expérience est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles
non prévisibles.
Exemples :
 lancé d’une pièce de monnaie ;
 lancé d’un dé à 6 faces ;
 tirage d’une carte dans un paquet de 32 ou 52 cartes ;
 tirage d’une boule dans une urne contenant 4 boules rouges et 3 boules
jaunes …
En probabilités les résultats d’une épreuves aléatoires sont appelés : issues.
Exemples :
 pour la pièce de monnaie il y a deux issues possibles : pile ou face ;
 pour le dé à 6 faces il y a six issues possibles : 1, 2, 3 …
 pour un jeux de 32 cartes il y a 32 issues : as de cœur, 2 de cœur … ;
pour un jeux de 52 cartes il y a 52 issues possibles ;
 pour les boules il y a deux issues soit rouge, soit jaune.
Dans l’activité une faite en classe nous avons constaté que la fréquence d’un
lancé d’une pièce de monnaie était :
de
pour face et de
pour pile.
Si nous faisions cette expérience aléatoire à l’échelle de l’établissement nous
nous rapprocherions encore plus de la fréquence :
de 0,5 pour face et de 0,5 pour pile.
Pour un grand nombre d’expérience, la fréquence que nous trouverons
s’approchera d’une valeur théorique appelé : probabilité.
1
II-
Vocabulaire.
On appelle évènement la réalisation d’une ou plusieurs issues d’une expérience
aléatoire.
Exemples :
 « tomber sur pile » est un évènement du lancé de pièce ;
 « obtenir 2 »
;
« obtenir un chiffre impair »
sont des évènements possibles du lancé de dé.
 « tirer un huit de trèfle »
;
« tirer un carreau »
sont des évènements possibles du tirage d’une carte dans un jeu.
 « tirer une boule rouge » est un évènement pour le tirage d’une boule
dans l’urne.
Lorsque l’évènement est réalisé par une seule issue de l’expérience aléatoire, on
parle d’évènement élémentaire.
Exemples :
 « tomber sur pile »
 « obtenir 2 »
 « tirer un huit de trèfle »
 « tirer une boule rouge »
sont des évènements élémentaires.
Lorsqu’un évènement est sûr de se produire, on parle d’évènement certain. Sa
probabilité est alors égale à 1.
Exemples :
 « tomber sur pile ou face »
 « obtenir un chiffre pair ou impair »
 « tirer une carte »
 « tirer une boule rouge ou jaune »
Lorsqu’un évènement ne peut pas se réaliser, on parle d’ évènement impossible.
Sa probabilité est alors égale à 0.
Exemples :
 « obtenir 7 »
 « tirer un 11 de cœur »
 « tirer une boule bleue »
2
Lors d’une expérience aléatoire si toutes les issues ont autant de chance de se
réaliser on parle d’équiprobabilité.
Exemples :
 lancé d’une pièce de monnaie est une situation d’équiprobabilité
 lancé d’un dé à 6 faces en est une autre , mais si le dé est pipé alors ce
n’est plus une situation d’équiprobabilité ;
 tirage d’une carte dans un paquet de 32 cartes est une situation
d’équiprobabilité sauf si les cartes sont marquées.
 ce n’est pas une situation d’équiprobabilité pour l’urne car il y a plus de
boules rouges que de boules jaunes.
III- Arbre des possibles.
Une expérience aléatoire peut être représentée par arbre dont chaque branche
représente une issue possible. On l’appelle l’arbre des possibles.
Exemples :
 le lancer d’une pièce a un arbre des possibles avec deux branches pour
un lancé.
P
F
Si F est l’évènement : « la pièce tombe sur face » alors
1
p(F) =
(probabilité de l’évènement F)
2
3
 le lancé d’un dé à 6 faces possède six branches pour un lancé.
1
2
3
4
5
6
Si E est l’évènement « le chiffre est pair » alors :
1 1 1
p(E) =  
6 6 6
1
p(E) =
2
 pour le tirage d’une carte dans un jeu de 32 ou 52 cartes l’arbre serait
très grand si je considère comme issue chaque carte.
Par contre je peux considérer comme issues, dans un jeux de 32 cartes, le
numéro ou la figure de la carte. L’arbre des possibles serait alors le suivant :
7
8
9
10
V
D
R
As
4
Si maintenant je considère seulement les couleurs, alors l’arbre des possibles n’a
plus que 4 branches pour un tirage.
Cœur
Carreau
Trèfle
Pique
 L’arbre des possibles pour l’urne peut se représenter de deux manières
différentes.
Je peux symboliser chaque boule par une branche d’arbre :
R
R
R
R
J
J
J
Ou bien mon arbre n’a que deux branches mais sur chacune d’elle je marque la
probabilité de l’évènement.
4/7
3/7
R
J
Quand j’inscris sur les branches les probabilités, je parle d’arbre pondéré.
IV-
Propriétés.
a- Propriétés..
5
Evènement A et B.
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A et B) est l’évènement qui se
produit lorsque les évènements A et B ont lieu en même temps.
Exemples :
 Pour le lancé de dé à 6 faces.
Si A est l’évènement : « le chiffre est pair » et
B : « le chiffre est supérieur à 3 » alors
(A et B) est l’évènement : « le chiffre est pair et supérieur à 3 ».
Donc pour (A et B) deux issues le réalisent : 4 et 6.
1
p(A et B) =
3
 Pour le tirage d’une carte dans un paquet de 32.
Si A est l’évènement : « la carte est rouge » et
B : « la carte est un huit. » alors
(A et B ) est l’évènement « la carte est un huit de cœur ou un huit de
carreau. »
p(A et B) =
VERS LA SECONDE :
En seconde je ne parle plus de (A et B) mais de A inter B qui se note A  B.
Alors j’aurai p(A  B).
Inter comme intersection :
A:
7 9
10V
8 D R
8 A 7
9 10
V D
R A
6
Evènement A ou B.
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A ou B) est l’évènement qui se
produit lorsque soit les deux, soit l’évènement A, soit l’évènement B est réalisé.
Exemples :
 Pour le tirage d’une carte dans un paquet de 32.
Si A est l’évènement : « la carte est un sept » et
B : « la carte est un huit. » alors
(A ou B ) est l’évènement « la carte est un huit ou un sept . »
p(A ou B) =
VERS LA SECONDE :
En seconde l’évènement (A ou B) sera appelé A union B et noté : A  B.
Ce sera donc p(A  B) que je calculerai.
Evènements incompatibles :
Deux évènements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent se produire en même
temps.
Exemples :
 « le chiffre est pair » et « le chiffre est supérieur à 3 » ne sont pas
incompatibles.
 « tirer un huit » et « tirer un sept » sont incompatibles.
« tirer un huit » et « tirer une carte rouge » ne sont pas incompatible.
VERS LA SECONDE :
Quand deux évènements sont incompatibles alors j’ai :
p(A  B) = 0
J’ai la formule:
p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B)
Donc quand deux évènements sont incompatibles j’ai :
p(A  B) = p(A) + p(B)
Exemples:
7
 Pour le lancé de dé à 6 faces.
Si A est l’évènement : « le chiffre est pair » et
B : « le chiffre est supérieur à 3 » alors
1
1
1
J’ai p(A  B) =
; p(A) =
; p(B) =
3
2
2
1 1 1
Donc :
p(A  B) =  
2 2 3
2
p(A  B) =
3
Je peux vérifier ce résultat : (A  B) est réalisé par les issues 2, 4, 6 et 5.
Soit donc :
4 2
p(A  B) = 
6 3
 si A : « tirer un huit » et B : « tirer un sept ».
Alors p(A  B) = p(A) + p(B)
4
4

p(A  B) =
32 32
1
p(A  B) =
4
Si A : « tirer un huit » et B : « tirer une carte rouge ».
Alors p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B)
4 8 2
p(A  B) =  
32 32 32
10 5

p(A  B) =
32 16
Evènements contraires :
L’évènement contraire de A correspond à la non réalisation de A.
Exemples :
 A : « la pièce tombe sur pile »
nonA : « la pièce tombe sur face ».
 A : « le chiffre est pair »
nonA : «
 A : « la carte est rouge »
nonA :
»
VERS LA SECONDE :
8
L’évènement nonA est noté A (lu A barre)
Deux évènements contraires sont incompatibles et la somme de leur probabilité
est égale à 1.
p( A ) + p( A ) = 1
b- Expérience aléatoire à deux épreuves.
Lorsque je répète deux fois la même expérience aléatoire je parle d’expérience à
deux épreuves.
Exemples :
 Lancer deux fois une pièce de monnaie.
 Tirer deux fois une boule, en la remettant, dans une urne contenant
trois boules rouges, cinq boules bleues et sept boules vertes.
Leurs arbres des possibles est alors :

P
1/2
1/2
1/2
P
F
1/2
F
1/2
P
1/2
F
L’évènement FF : « j’obtiens deux fois face » a pour probabilité :
1 1 1
p(FF) =  
2 2 4

R
V
B
9
3/15
R
5/15
7/15
3/15
5/15
R
3/15
5/15
V
7/15
7/15
B
V
B
R
3/15
5/15
V
7/15
B
l’évènement RB : « je tire une boule rouge et une boule bleue » a pour
probabilité :
3 7 21
 
p(RB) =
15 15 225
Maintenant, je peux changer l’énoncer :
- je tire une boule et je la pose sur la table (donc je ne la remets pas
dans l’urne) ;
- je tiens compte de l’ordre de sortie des couleurs…
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