Enoncé – Epreuve Algèbre linéaire L2 – Cours Renfo VALIDEUR LMD
Edition
2021-2022
Durée : 1H
Dans les questions 1) à 10), on considère :
-
un espace vectoriel E muni d’une base 𝐵0 = (𝑒⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒3 ),
0
2
-
l’application linéaire f de E dans E, représentée dans la base 𝐵0 par la matrice 𝐴 = ( 3
0
1
6
0
2),
0
la matrice 𝐼, matrice identité de dimension 3.
1) Soient les vecteurs 𝑢
⃗ ∈ 𝐸 et 𝑣 = 𝑓(𝑢
⃗ ). On
note (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) et (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) les
composantes respectives de 𝑢
⃗ et 𝑣 dans la
base B0. Alors la quantité 𝑣2 vaut :
2
A) 𝑢1 + 2𝑢3 ,
3
1
B) 𝑢1 + 𝑢3 ,
C)
1
0
1
6
6
𝑢1 + 𝑢3 ,
D) (1 + 𝜆)2 (1 − 𝜆).
6) La matrice A possède comme vecteur
propre le vecteur :
A) (3,0,1),
B) (1,0,3),
C) (6,6,1),
D) (6, −6, −1).
2
D) 2𝑢1 + 𝑢3 .
3
7) Le noyau de f est noté Ker(f). Il est égal à :
⃗ },
A) {0
B) 𝑉𝑒𝑐𝑡{(−3,0,1)},
C) 𝑉𝑒𝑐𝑡{(3,0,1)},
D) 𝑉𝑒𝑐𝑡{(3,0,1), (−3,0,1)}.
2) La matrice 𝐴2 vaut :
2
0 1
3
A) B = (0 2 0),
1
1
0
9
2
3
B) B = (1
1
9
3
0
2
0
0
0),
0
−
C) B = (−1
0
2
3
D) B = (0
1
9
1
3
2
0
3
0
1
− ),
−2
0 2
1
0
6
0
0).
1
3
3) Pour tout 𝑘 ∈ ℕ, la quantité 𝐴2𝑘+1 vaut :
A) 𝐴 − 𝑘𝐼,
B) (−𝐴)𝑘 + 𝐴 − 𝐼,
C) (−1)𝑘 𝐴,
D) 𝐴.
4) Le déterminant de la matrice A vaut :
A) −3,
B) −1,
C) 0,
D) 1.
5) Soit P le polynôme caractéristique de la
matrice A, défini par 𝑃(𝜆) = 𝐷𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼).
La quantité 𝑃(𝜆) a pour expression :
A) −𝜆(1 − 𝜆)2 ,
B) 𝜆(1 − 𝜆2 ),
C) −𝜆(1 + 𝜆)2 ,
8) La matrice A est de rang :
A) 0,
B) 1,
C) 2,
D) 3.
9) On admet que la matrice A est
diagonalisable dans ℝ. Cette propriété
résulte du fait que :
A) Toutes les valeurs propres de A sont
réelles simples,
B) A possède au moins une valeur propre
réelle multiple,
C) A est inversible,
D) A est non inversible.
10) Dans l’écriture 𝐴 = 𝑃. 𝐷. 𝑃 −1 :
A) Les matrices D et P sont uniques,
B) Une permutation des colonnes de P
est possible sans modifier D,
C) Une
permutation
des
termes
diagonaux de D est possible sans
modifier les colonnes de P,
D) Une
permutation
des
termes
diagonaux de D s’accompagne d’une
permutation des colonnes de P.
Nota Bene : Les questions 6,9 et 10 ne sont pas à faire pour l'heure et les calculs doivent être clairement rédigés
