Probabilités

Probabilités.
A. Épreuve aléatoire.
A.1. Issues d’une épreuve.
Définitions.
● Une épreuve aléatoire est une situation ou une expérience dont le résultat dépend du hasard, c’est-àdire dans laquelle différent cas peuvent se produire sans qu’on puisse prévoir lequel.
● Un cas possible s’appelle une issue (ou une éventualité).
● L’ensemble des cas possibles s’appelle l’univers de l’épreuve aléatoire. On le note souvent Ω (Oméga)
On supposera dans toute la suite que le nombre de cas possible est fini.
Exemple 1. Tirage dans une urne de composition connue.
Une urne contient trois boules rouges et une boule verte. Ces boules sont invisibles de l’extérieur et
indiscernables sinon par la couleur.
On vous propose un jeu consistant à tirer une boule deux fois de suite avec remise. Vous gagnez si vous
tirez deux fois de suite une boule rouge.
Déterminer les issues de l’univers Ω de cette épreuve. (On pourra s’aider d’un arbre).
Etes-vous disposés à parier que vous allez gagner ? Justifiez votre réponse.
Exemple 2. Tirage dans une urne de composition inconnue.
On vous propose le même jeu que dans l’exemple 1 : tirer une boule deux fois de suite avec remise dans
une urne contenant des boules invisibles de l’extérieur et indiscernables sinon par la couleur.
Cette fois, la composition de l’urne en boules rouges et en boules vertes est inconnue, mais vous avez le
droit de faire des essais avant de commencer une véritable partie avec enjeu.
Comment pouvez-vous estimer les chances que vous avez de gagner ?
A.2. Distribution de probabilités.
Les issues des épreuves 1 et 2 sont les mêmes, RR, RV, VR, VV, et pourtant les situation sont différentes.
Cela montre que pour décrire complètement une épreuve, il ne suffit pas de connaître les issues. Il faut
de plus avoir une information permettant de savoir si telle issue a plus de chance de se produire que telle
autre et dans quelle proportion.
Ainsi dans nos exemples, la phrase initiale « les boules sont invisibles de l’extérieur et indiscernables
sinon par la couleur » signifie que lors d’un tirage chaque boule a autant de chances d’être choisie qu’une
autre.
A.2.1. Définitions.
● Une urne de Bernoulli est une urne dans laquelle, lors d’un tirage, chaque boule a autant de chances que
les autres d’être choisie. On dit que les boules sont équiprobables.
● Dans ces conditions, si p désigne la proportion de boules d’une certaine catégorie, on dit que p est la
probabilité de tirer une boule de cette catégorie.
● Modéliser une épreuve aléatoire (d’univers fini), c’est la représenter par une urne de Bernoulli.
A.2.2. Exemple. Modélisons l’épreuve de l’exemple 1.
On peut imaginer d’étiqueter les boules R1, R2, R3 et V pour les différencier. Lors du tirage d’une boule,
ces quatre issues sont équiprobables.
Part suite, lors du tirage de deux boules, les 16 issues R1R1, R1R2, R1R3, R1V, R2R1, R2R2, R2R3, R2V,
R3R1, R3R2, R3R3, R3V, VR1, VR2, VR3, VV sont équiprobables.
(Nous verrons par la suite comment dessiner un arbre pour visualiser l’épreuve et ses issues).
Modéliser cette épreuve consiste à la représenter par une nouvelle urne de Bernoulli, contenant seize
boules marquées R1R1, R1R2, R1R3, R1V, R2R1, R2R2, R2R3, R2V, R3R1, R3R2, R3R3, R3V, VR1, VR2,
VR3, VV, urne dans laquelle on ne tire qu’une seule fois.
La probabilité de gagner est celle de tirer, dans cette urne, l’une des neuf boules R 1R1, R1R2, R1R3, R2R1,
R2R2, R2R3, R3R1, R3R2, R3R3 ; elle vaut donc Error!. C’est la proportion des boules de la catégorie RR.
De la même façon on pourrait déterminer la proportion de chacune des catégories RV, VR et VV et
rassembler ces résultats dans un tableau et décrire ainsi la loi de probabilité de l’épreuve qui est
l’application qui à chaque issue associe sa probabilité. On obtiendrait :
Issue
Probabilité
RR
RV
VR
VV
Error!
Error!
Error!
Error!
A.2.3. Cas général.
Définition
Une épreuve ayant k issues 1, 2,  , k est modélisée par une urne contenant N boules : n1 boules
marquées 1, n2 boules marquées 2,  , nk boules marquées k.
● La probabilité de chaque issue i est alors le rapport pi = Error!.
● La distribution de probabilité d’une épreuve est la liste des probabilités de toutes les issues :
.
Exercice.
Issue
1
2
3

k
Probabilité
p1
p2
p3

pk
Démontrer que p1 + p2 + p3 +  + pk = 1
Vocabulaire. Lorsque tous les nombres pi sont égaux, on dit que les issues sont équiprobables, ou que
la distribution de probabilité est uniforme ou que la loi de probabilité est équirépartie.
B. Tirages multiples.
Beaucoup d’épreuves reviennent à effectuer des tirages multiples dans une urne. Ce qui suit explique
comment on peut alors se ramener à un tirage unique dans une nouvelle urne.
B.1. Tirages successifs avec remise.
Une urne contient trois boules rouges et une boule verte. Ces boules sont invisibles de l’extérieur et
indiscernables sinon par la couleur. L’épreuve consiste à tirer successivement deux boules avec remise.
Pour raisonner il est commode d’imaginer les boules munies d’étiquettes R1, R2, R3, V que nous
appellerons simplement numéros.
Une issue est alors une liste ordonnée de deux numéros.
Représentons l’épreuve et ses issues à l’aide d’un arbre.
R1
R1
R2
R3
V
R2
R1
R2
R3
V
R3
R1
R2
R3
V
V
R1
R2
R3
V
●
Il apparaît seize issues :
R1R1, R1R2, R1R3, R1V, R2R1, R2R2, R2R3, R2V, R3R1, R3R2, R3R3, R3V, VR1, VR2, VR3, VV
Ces seize issues étant équiprobables, on peut donc représenter l’épreuve par une urne de Bernoulli
contenant seize boule marquées R1R1, R1R2, R1R3, R1V, R2R1, R2R2, R2R3, R2V, R3R1, R3R2, R3R3, R3V,
VR1, VR2, VR3, VV, urne dans laquelle on ne tire qu’une seule fois.
Distribution de probabilité de l’épreuve.
Issue
Probabilité
RR
RV
VR
VV
Error!
Error!
Error!
Error!
Remarque. Cette méthode se généralise à plusieurs tirages successifs avec remise.
B.2. Tirages successifs sans remise.
Une urne contient trois boules rouges et une boule verte. Ces boules sont invisibles de l’extérieur et
indiscernables sinon par la couleur. L’épreuve consiste à tirer successivement deux boules sans remise.
Étiquetons comme précédemment les quatre boules R1, R2, R3, V. une issue est alors une liste ordonnée
de deux numéros distincts.
On peut à nouveau représenter les issues à l’aide d’un arbre.
R1
R2
R3
V
R2
R1
R3
V
R3
R1
R2
V
V
R1
R2
R3
●
Il apparaît douze issues : R1R2, R1R3, R1V, R2R1, R2R3, R2V, R3R1, R3R2, R3V, VR1, VR2, VR3.
Ces douze issues étant équiprobables, on peut donc représenter l’épreuve par une urne de Bernoulli
contenant douze boule marquées R1R2, R1R3, R1V, R2R1, R2R3, R2V, R3R1, R3R2, R3V, VR1, VR2, VR3,
urne dans laquelle on ne tire qu’une seule fois.
● La probabilité de RR est celle de tirer dans cette nouvelle urne, l’une des six boules R 1R2, R1R3, R2R1,
R2R3, R3R1, R3R2 ; elle vaut donc Error! = Error!.
● La probabilité de RV est celle de tirer l’une des trois boules : R1V, R2V, R3V ; elle vaut donc Error! =
Error!
● La probabilité de RV est celle de tirer l’une des trois boules : VR1, VR2, VR3 ; elle vaut donc Error! =
Error!
Distribution de probabilité de l’épreuve.
Issue
Probabilité
RR
RV
VR
Error!
Error!
Error!
Remarque. Cette méthode se généralise à plusieurs tirages successifs sans remise.
B.3. Tirages simultanés.
Une urne contient trois boules rouges et une boule verte. Ces boules sont invisibles de l’extérieur et
indiscernables sinon par la couleur. L’épreuve consiste à tirer simultanément deux boules dans l’urne.
Une issue est alors une paire de deux numéros distincts
On ne peut plus utiliser un arbre pour représenter cette épreuve mais il résulte du paragraphe précédent
qu’il y a six issues :
{R1 ; R2}, {R1 ; R3}, {R1 ; V}, {R2 ; R3}, {R2 ; V}, {R3 ; V}
Dont chacune correspond à deux liste de l’urne précédente (par exemple la paire {R 1 ; R2} correspond au
deux listes R1R2 et R2R1).
Ces six issues sont équiprobables et l’on peut représenter l’épreuve par une urne de Bernoulli contenant
six boules marquées :
R1R2, R1R3, R1V, R2R3, R2V, R3V,
Urne dans laquelle on ne tire qu’une seule fois.
● La probabilité de RR est celle de tirer dans cette urne, l’une des trois boules R1R2, R1R3, R2R3 ; elle
vaut donc Error! = Error!.
● La probabilité de RV est celle de tirer dans cette urne, l’une des trois boules R1V, R2V, R3V ; elle vaut
donc Error! = Error!.
Distribution de probabilité de l’épreuve.
Issue
Probabilité
RR
RV
Error!
Error!
À retenir. Pour étudier des tirages simultanés, il est commode de passer par l’intermédiaire de tirages
successifs sans remise pour connaître le nombre d’issues.
Remarque. Cette méthode se généralise à un tirage simultané de plusieurs boules.
C. Événements.
C.1. Notion d’évènement.
Définition.
Un évènement relatif à une épreuve est une condition dont on peut dire selon l’issue de l’épreuve si elle
est réalisée ou non.
Caractériser un évènement revient à préciser les issues pour lesquelles il est réalisé.
Un évènement apparaît donc comme un ensemble d’issues, autrement dit comme un sous-ensemble de
l’univers Ω.
Exemple 1. On lance un dé.
L’univers est l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L’évènement « le résultat est pair » est l’ensemble {2, 4, 6}.
L’évènement « le résultat est strictement supérieur à 4 » est l’ensemble {5, 6}.
L’évènement « le résultat est 6 » est l’ensemble {6}.
Exemple 2. On lance une pièce deux fois de suite
L’univers est l’ensemble {PP, PF, FP, FF}
L’évènement « les deux lancers donnent le même résultat » est l’ensemble {PP, FF}
L’évènement « il y a au moins une fois face » est l’ensemble {PF, FP, FF}.
C.2. Probabilité d’un évènement.
Théorème. La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
Exemple. On lance deux fois de suite une pièce équilibrée.
Les quatre issues PP, PF, FP, FF sont équiprobables.
On considère l’évènement A : « les deux lancers donnent le même résultat »
Comme A = {PP, FF}, la probabilité de A est égale à Error! + Error! = Error! on écrira p(A) =
Error!.
C.3. Événement impossible, événement certain.
Définition.
● L’évènement impossible n’est réalisé par aucune issue. On le note .
● L’événement certain est réalisé par toutes les issues. C’est l’univers Ω.
Théorème.
p() = 0 ;
p(Ω) = 1.
D. Réunion, intersection d’événement.
Définition.
● On appelle réunion de deux événements A, B, l’événement réalisé quand au moins l’un des deux l’est
on le note A  B.
● On appelle intersection de deux événements A, B, l’événement réalisé quand les deux le sont. On le
note A  B.
Théorème.
Quels que soient les évènements A et B : p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
Exemple. Dans un club sportif …
E. Événements incompatibles.
Définition. Dire que deux événements sont incompatibles (ou disjoints) signifie qu’ils ne peuvent pas
être réalisés simultanément, autrement dit que leur intersection est impossible (vide).
Théorème.
Si deux événements sont incompatibles alors la probabilité de leur réunion est la somme des probabilités
de chacun.
Si A et B incompatibles alors p(A  B) = 0 et par conséquent p(A B) = p(A) + p(B).
Remarque. Ce théorème s’étend à plusieurs événements incompatibles deux à deux.
F. Contraire d’un événement.
Définition. Le contraire d’un événement A est l’événement réalisé par toutes les issues qui ne réalisent
pas A. On le note A .
Théorème.
p( A ) = 1 – p(A)