Puissance en régime triphasé

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Systèmes Triphasés
Puissance en régime triphasé
0. Les dangers du courant électrique :
I. Grandeurs caractéristiques associées à un dipôle:
1.1 - Valeur moyenne
Soit y(t) une fonction temporelle périodique de période T.
On définit la valeur moyenne de y(t) par la relation suivante :
YTy t dt
moy
T
=1
0
( )
.
Exemple :
L’expression du premier motif est y(t) = VMsin t pour 0  t  T/2. Dans ce cas Ymoy =
2VM
.
-300
-200
-100
0
100
200
300
0
5
10
15
20
25
30
35
40
time (ms)
v(t)
1.2 - Valeur efficace
Soit y(t) une fonction temporelle périodique de période T.
On définit la valeur efficace de y(t) noté Y par la relation suivante :
YTy t dt
T
2 2
0
1
= ( )
Y désigne la valeur efficace notée R.M.S. par les anglo-saxons. Lettres abréviations de Root Mean Square.
La valeur efficace d’un courant permet de chiffrer l’effet joule dans un conducteur.

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Exemple :
Réseau E.D.F. 50Hz. Soit un tension d’expression v(t) = VMsin100t, on trouve
VVM = 2
Pour V = 230 volts efficaces on a VM = 230
2
soit 325 volts crête environ, et U = V
3
= 230
3
= 400 V.
Réseau AVION 400Hz. Soit un tension d’expression v(t) = VMsin800t, on trouve
VVM = 2
Pour V = 115 volts efficaces on a VM = 115
2
soit 162 volts crête environ, soit 325 volts crête à crête, et U = V
3
= 200 V.
1.3 - Représentations
Vecteurs de Fresnel
A la grandeur
v t V t
M
 cos
on associe le vecteur
V t
dont le module est égal à la valeur efficace V. La projection du
vecteur
V t
sur l’axe x’ox est égale à la mesure de v(t) à l’instant t. Le vecteur de Fresnel
V
r
correspond au vecteur
V t
à
l’instant t = 0s.
+
t+
x’
o
V t
VM
x
v(t)
x
o
x’
V
VM
2
Application:
la grandeur temporelle v(t) = v1(t) + v2(t) avec v1(t) = VM1cos( t +
1) et v2(t) =VM2 cos(
t +
2) est rapidement
déterminée en faisant la somme vectorielle des vecteurs de Fresnel associés à v1(t) et v2(t) .
Complexe
A la fonction temporelle v(t) on associe la fonction complexe
tjjtjjtj
MeVeeVeeVtv
 22
Le nombre complexe
VVe j
est appelé phaseur.
V
V
Rappel:
Soit
V a jb ei
on définit le module et l’argument de V de la manière suivante:
V V a b  
2 2
Arc b
asi a
Arc b
asi a
tan
tan
0
0
En électrotechnique la tension d’alimentation v(t) est en général commune à tous les récepteurs. On a alors pour habitude de
choisir v(t) comme référence de phase soit v(t)=VMcos t. Alors V=V.ej0=V. Le courant dans une charge placée sous la tension
v(t) s’écrit i(t)=IMcos( t- ). L’angle est l’angle orienté de I vers V.

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Dans le plan complexe, pour un circuit R,L série on a
IZIjLRV  + =
.
Arg I Arg V Arg Z Arc L
RArg Z    
   0tan
Z
V
I=V/Z
II Notions de puissance associées à un dipôle
2.1 - Puissance instantanée
Considérons un dipôle en convention récepteur
v(t)
i(t)
La puissance instantanée est par définition: p(t) = v(t).i(t).
Si p(t)  0 le dipôle reçoit de la puissance, si p(t)  0 le dipôle fournit de la puissance.
Exemple:
v(t) = V
2
cost; i(t) = I
2
cos( t - )
0
5
10
15
20
25
30
35
40
time (ms)
-300
-200
-100
0
100
200
300
v(t)
i(t)
p(t)
Dans ce cas on a p(t) = VIcos + VIcos(2 t - ) car
cos cos cos cosa b a b a b   
1
2
.
2.2 - Puissance active
La puissance active est définie par la relation suivante:
P p t Tv t i t dt
T
1
0
( ) ( )
Unité le Watt, symbole: W

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Dans le cas sinusoïdal on a:
PTVI dt TVI tdt VI
T T
1 1 2
0 0
cos cos( ) cos
Remarques:
La quantité VI cos(2 t - ) s’appelle puissance fluctuante.
On peut également écrire P =
IV rr.
, qui correspond au produit scalaire des vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs
temporelles v(t) et i(t).
On peut écrire aussi P = V I cos = VIa , en posant Ia = Icos appelée composante active du courant ou
composante wattée.
2.3 - Puissance réactive
La puissance réactive n’est définie qu’en sinusoïdal. Elle se définie par la relation suivante:
Q = V I sin .
Unité le Volt-Ampère Réactif ,ou VAR
V
I I
rsin
I
I I
acos
Remarques:
Par analogie avec la puissance active on écrit Q = V(Isin ) , on pose alors Isin = Ir la composante réactive du courant on dit
aussi déwattée.
La composante du courant qui est effectivement convertie en travail est Ia mais l’intensité véhiculée en ligne est égale à
I I I
a r
2 2
valeur supérieure à l’intensité strictement nécessaire pour faire le travail en question. La composante réactive est
donc responsable d’un surplus de pertes joules en ligne et également d’un surplus de chute de tension en ligne.
Cette puissance réactive de valeur moyenne nulle est échangée entre source et récepteur sous forme d’énergie magnétique ou
électrostatique, tour à tour emmagasinée dans les bobinages ou les condensateurs, et restituée par ces éléments.
Exemple:
Montrons que la puissance réactive Q est associée aux réactances d’un circuit. Soit un circuit R, L, C série en régime
permanent.

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v(t)
i(t)
C
L
R
I/jC
jL I
R I
I
V
Calculons VIsin : commençons par
sin LCI
V
LC
Z
11
2222 11
sinsinsin I
C
IL
C
LIZIIZIVIQ
On voit que Q est le produit d’une réactance par le carré d’une intensité.
Convention:
On peut écrire Q = QL + QC avec QL  et QC 
Une bobine absorbe de la puissance réactive.
Un condensateur fournit de la puissance réactive.
Ceci est cohérent avec les conventions de signes adoptées, en effet:
ZjL et Arg Z
L L
2
ZjC et Arg Z
C C
12
QL = VLILsin
L = VLIL  0, avec L = +
2
QC = VCICsin
C = -VCIC  0, avec C = -
2
.
2.4 - Puissance apparente
Pour v(t) et i(t) des fonctions temporelles périodiques (pas nécessairement sinusoïdales) de valeurs efficaces respectives V et I
on définit la puissance apparente de la manière suivante:
S = VI
Unité le Volt-Ampère, ou VA
En notation complexe on a
VV 
et
j
IeI
On définit la puissance apparente complexe S de la manière suivante:
S V I V Ie VIe VI jVI P jQ
j j
**cos sin
S S V I VI  .*
Remarques:
Pour un dipôle absorbant une intensité efficace I sous la tension efficace V la puissance apparente en service est S = VI. Le
constructeur d’appareils indique la puissance apparente nominale SN = VNIN. Elle correspond au produit des grandeurs
nominales pour lesquelles l’appareil a été conçu.