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I. Bref rappel théorique de la physique de la diffraction
Une surface rectangulaire limitée : x  [-b/2 , b/2] et y  [-a/2 , a/2] diffracte sous un angle  (theta)
un faisceau photonique incident sous l'incidence normale. L'angle theta est "vu" de la même façon
par les direction "x" et "y" du plan rectangulaire de transparence.
Sous certaines conditions (géométriques et physiques) le faisceau photonique diffracté est
enregistré par un détecteur quadratique. Ce dernier est constitué par un ensemble de
photo-détecteurs situés dans un plan parallèle au plan diffractif. La distance entre les deux plans est
considérée "infinie". Dans ce cas, le signal détecté est modélisé physiquement de manière très
lucrative par la "formule" de Fraunhofer :
22
0
I I sinc a sin sinc b sin
où I0 est l'intensité enregistrée sous un angle theta = 0 (faisceau diffracté sous l'angle zéro) et la
fonction sinus cardinal est définie :
sin X
sinc X X
.
II. Les objectifs du TD sont de mettre en évidence :
i) le rôle des largeurs de transparence verticale et horizontale "a" et "b"
ii) l'évolution d'une fente carrée (a=b) vers une fente rectangulaire et "infinie" (a>>b)
iii) le caractère "discriminatif" de la longueur d'onde
iv) le cas particulier de l'optique géométrique :  << largeur de la fente (a et/ou b)
v) la situation physique exceptionnelle d'une nano fente "optique".
Afin de réaliser ces objectifs nous utiliserons la modélisation MATLAB de la diffraction de
Fraunhofer.
III. Voici le programme :
% Exp. : Diffraction de Fraunhofer : fente carrée a=b (2d)
[X,Y] = meshgrid(-.015:1./10000:.015);
avertical = 150; bhorizontal = 150 ; L=0.5;
% les valeurs numériques sont en micromètres
t = pi.*bhorizontal.*sin(X)./L;
s = pi.*avertical.*sin(Y)./L;
Z1 = [(sinc(s+eps)).^2];
Z2 = [(sinc(t+eps)).^2];
Z=Z1.*Z2;
surf(X,Y,Z,'FaceColor','green','EdgeColor','none');axis square;
camlight left; lighting phong;
view(0,90);
pause;
% Exp. : Diffraction de Fraunhofer : fente carrée a=b (2d) contour
[X,Y] = meshgrid(-.015:1./10000:.015);
a = avertical; b = bhorizontal ; L=0.5;
t = pi.*b.*sin(X)./L;
s = pi.*a.*sin(Y)./L;

Z1 = [(sinc(s+eps)).^2];
Z2 = [(sinc(t+eps)).^2];
Z=Z1.*Z2;
contour(X,Y,Z,500);
colorbar;
axis square;
view(0,90);
pause;
% Exp. : Diffraction de Fraunhofer : fente carrée a=b (3d)
[X,Y] = meshgrid(-.015:1./10000:.015);
a = avertical; b = bhorizontal ; L=0.5;
t = pi.*b.*sin(X)./L;
s = pi.*a.*sin(Y)./L;
Z1 = [(sinc(s+eps)).^2];
Z2 = [(sinc(t+eps)).^2];
Z=Z1.*Z2;
surf(X,Y,Z,'FaceColor','green','EdgeColor','none');
camlight left; lighting phong;
view(-35,65);
pause;
% Exp. : Diffraction de Fraunhofer : fente carrée a=b (3d) contour
et perspective
[X,Y] = meshgrid(-.015:1./10000:.015);
a = avertical; b = bhorizontal ; L=0.5;
t = pi.*b.*sin(X)./L;
s = pi.*a.*sin(Y)./L;
Z1 = [(sinc(s+eps)).^2];
Z2 = [(sinc(t+eps)).^2];
Z=Z1.*Z2;contour(Z,500);
surface(ones(size(Z)),Z);
colormap(hsv(500)); shading flat; colorbar; view(3);
IV. Voici maintenant les étapes du TD :
1) identifier dans ce programme les valeurs des largeurs de transparence "a" et b" ;
a est avertical et vaut 150 um et b est bhorizontal et vaut 150 um ce sont les dimensions
verticales et horizontales de la fente
2) identifier la longueur d'onde  (lambda) ;
la longueur d'onde est représentée par la variable L et vaut 0.5 um
3) identifier la plage des valeurs de la variable  (theta) ;
Theta est contenue entre -0.15 et 0.15 radians avec un pas de 1/10000
4) représenter graphiquement les intensités calculées via les programmes MATLAB ;

5) faire évoluer les dimensions "a" par rapport à "b" afin de mettre en évidence le
comportement diffractif d'une fente infinie (horizontale et verticale) ;
Pour a= 1500 on considère que c'est une fente infinie (10 fois la largeur)
6) proposer un système de filtrage spatial d'une image par le
biais de diaphragmes (horizontaux et verticaux).
Lorsque la longueur d'onde augmente, le nombre de
maximums d'intensité observés diminue et le pic central apparait
plus large.
Si la longueur d'onde est égale à la largeur de la fente, on
ne voit qu'une partie du pic central coupé avant la valeur de Pi

de theta. (voir figure)
Si la longueur d'onde est supérieure à la largeur de la fente, matlab ne peut pas calculer
car il s'agit d'un sinus qui est supérieur à 1. (voir figures)
car "sin(theta)= lambda / a"
On suppose que physiquement, lorsque la longueur d'onde est supérieure, la fente se
comporte comme un filtre et coupe les signaux à cette longueur d'onde.
Pour effectuer un filtrage spatial d'une image, on superpose des diaphragmes verticaux et
horizontaux de valeurs successives de largeurs de fentes telles que certaines couleurs ne passent
pas. On aura donc des coupures spatiales par la superposition des verticaux et horizontaux (on
n'obtiendra que le pic central) et il sera filtré spectralement.
Ci-dessous les intensités en fonction des longueurs d’onde pour fente carrée et fente infinie.

Pour réaliser le point 5) du TD passer la dimension "verticale" a de sa valeur initiale de 150 µm à
des valeurs supérieurs : a = 300 µm, a = 450 µm et a = 1500 µm.
V) Mode opératoire :
a) Copier la page n° 2 (en format équidistant "courrier") ;
b) Ouvrir le logiciel MATLAB (dans le menu des programmes ;
c) Coller le programme dans le "Comand Window" de l'affichage "five panel";
d) Rouler le programme ("entrer") ;
e) Exporter (dans un dossier créé sous votre nom) l'image (.tiff, .jpeg …etc) chaque fois qu'un
graphique est réalisé;
f) Imprimer les images sur papier et constituer un dossier du TD ;
g) Répondre aux questions 1), 2) et 3) proposées par les étapes (IV.) du TD.
P.S. Inscrivez vos noms (par binôme de travail), en précisant le groupe.