3.1 Un système déductif Date prévue : 15 octobre au 18 octobre p.120 http://margdelaj.csdm.qc.ca/~phill/536web/notes_cours_web/geo/idx_geo.htm 3.1.1 Les éléments d’un système déductif A) Définitions générales Géométrie : science de l’espace. Espace : Empilement de plans qui contiennent des droites, qui elles-mêmes sont formées de points. Axiomatique : Ensembles des notions premières (axiomes) admises sans démonstration et formant une branche des mathématiques, le contenu de cette branche se déduisant de l’ensemble par le raisonnement. B) Termes primitifs Terme primitif : Terme sans définition utilisé pour définir d’autres mots ou établir des postulats. En géométrie il existe 3 termes primitifs : point, droite, plan. Point : Ce qui n’a pas de partie. Points alignés : points qui appartiennent à la même droite. Droite : Ensemble de points. C) Axiomes Axiome (postulat) : Vérité non démontrable qui s’impose avec évidence. AXIOME 1 AXIOME 2 AXIOME 3 Définition 1 : des points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à la même droite. AXIOME 5 AXIOME 6 AXIOME 7 AXIOME 8 AXIOME 9 AXIOME 10 D) Définitions Une bonne définition doit (MATH-436, Tome 2 , p.8) : Être une équivalence logique, ou une phrase réversible, c’est-à-dire que l’objet défini les caractéristiques essentielles et que les caractéristiques essentielles impliquent l’objet défini; Utiliser des termes primitifs ou déjà définis; Être courte, claire et précise, c’est-à-dire présenter uniquement la ou les caractéristiques essentielles, sans partie superflue ou répétitive; Formuler la ou les caractéristiques essentielles en des mots différents de ceux qui sont utilisés pour désigner l’objet à définir. E) Théorèmes Théorème (conjecture) : Énoncé que l’on peut déduire en construisant une démonstration. Investissement 1 (p.250) : # 1 à 8 3.1.2 #10-11 La démonstration A) Démonstration : Raisonnement établissant la vérité d’une proposition à partir des axiomes que l’on a posée. On peut construire une démonstration directe ou indirecte (p.256). ÉNONCÉ (conjecture) HYPOTHÈSE 1. L’hypothèse X implique la conclusion Y ; SCHÉMA 2. Or l’hypothèse X se vérifie dans la situation suivante. CONCLUSION 3. Donc, la conclusion est vraie dans la situation présente. AFFIRMATION JUSTIFICATION Pas de raisonnement #1 Une hypothèse de départ Pas de raisonnement #2 Une définition Un axiome … Un théorème Pas de raisonnement #n C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) B) Enchaîner des raisonnements déductifs Conditionnelle (Si…Alors) Si (hypothèse), Alors (conclusion) Biconditionnelle Énoncé 1 (si et seulement si) Énoncé 2 (Si et seulement si) Réciproque Énoncé 2 (si et seulement si) Énoncé 1 Théorème des angles opposés C) Les types de démonstration Démonstration directe Démonstration indirecte ou Preuve par l’absurde 3.1.3 Accepter au départ la partie «hypothèse» de l’énoncé à prouver; Arriver, après un certains nombres de pas de raisonnement, à la partie «conclusion» de l’énoncé à prouver. Accepter au départ la partie «hypothèse» de l’énoncé à prouver; Accepter au départ la négation de la partie «conclusion» de l’énoncé à prouver; Arriver, après un certain nombre de pas de raisonnement, à contredire un énoncé déjà accepté, que ce soit une hypothèse, une définition, un axiome ou un théorème. Les étapes de la démonstration A) Poser le problème Identifier les parties «hypothèse» et «conclusion«; Tracer la figure illustrant l’énoncé en nommant les objets par des lettres; Écrire l’hypothèse et la conclusion d’après la figure construite. B) Formuler l’idée générale d’une preuve Identifier les axiomes et les théorèmes pertinents et formuler les principales étapes menant à la conclusion. C) Rédiger la preuve Mettre en évidence chaque pas de raisonnement en y apportant les justifications appropriées. Des figures sont isométriques si et seulement si il existe une isométrie qui les associe. N.B. Les théorèmes suivant ont été étudiés dans les années passées. Le but n’est pas d’en faire à nouveau la preuve Théorème des figures isométriques Deux figures isométriques ont tous leurs éléments homologues congrus. Théorème du triangle isocèle Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés congrus sont congrus. Théorème de la médiatrice Un point appartient à la médiatrice si et seulement si il est à égale distance de ses extrémités. Théorème de la perpendiculaire Il existe une et une seule perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Théorème sur les parallèles et les perpendiculaires Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles. Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles. Étant donné deux droites parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Théorème des angles alternes-internes Lorsqu’une sécante coupe deux droites en des points distincts, les angles alternes-internes sont congrus si et seulement si les deux droites sont parallèles. Théorème des angles correspondants Lorsqu’une sécante coupe deux droites en des points distincts, les angles correspondants sont congrus si et seulement si les deux droites sont parallèles. Théorème de la perpendiculaire Il existe une et une seule perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Théorème des cas d’isométries des triangles rectangles Deux triangles rectangles qui ont un angle congru aigu et un côté homologue congrus sont isométriques. Deux triangles rectangles qui ont deux côtés homologues congrus sont isométriques. Théorème de l’angle extérieur d’un triangle La mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des deux autres angles. Investissement 2 (p.263) : # 1à5 #7à9