exercices supplémentaire 1

EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
RAPPELS MATHEMATIQUES
EXERCICE 01 :
Montrez que le module A du vecteur  = Ax x + Ay y + Az z est : A 
Ax  Ay  Az
2
2
2
EXERCICE 02 :
Déterminez le vecteur d’origine P(px, py, pz) et d’extrémité Q(qx, qy, qz), et trouvez son module.
EXERCICE 03 :
Trouvez (a) graphiquement et (b) analytiquement la somme ou la résultante des déplacement suivants:
 : 10 m nord-ouest ;  : 20 m 30° vers le nord-est ;  : 35 m plein sud.
EXERCICE 04 :
Montrez que si  et  ne sont pas colinéaires, x + y = 
entraîne que x = y = 0
EXERCICE 05 :
Montrez que pour tout vecteur  on a :  = A.( cos x + cos y + cos z )
Où  ,  ,  sont les angles que fait  respectivement avec x ,y ,z et cos , cos, cos sont les
cosinus directeurs de 
EXERCICE 06 :
Si  = Ax x + Ay y + Az z et  = Bx x + By y + Bz z démontrez que
 = Ax Bx + Ay By + Az Bz
et que
A
 
2
2
2
A  A  Ax  Ay  Az
EXERCICE 07 :
Démontrez que 

EXERCICE 08 :
Trouvez l’angle aigu formé par les diagonales d’un quadrilatère de sommets (0,0,0), (3,2,0),
(4,6,0), (1,3,0)
EXERCICE 09 :
Soit (r, ) les coordonnées polaires décrivant la position d’un point matériel. Si r est le vecteur unitaire
dirigé suivant  et si  est le vecteur unitaire perpendiculaire à , dirigé suivant les  croissants, montrez
que :
(a)
(b)
r = cos x + sin y ;  =  sin x + cos y
x cos r sin  ;y sin r + cos 
EXERCICE 10 :
1- Calculez  si  =2 x – 3 y + 5 z et  = 3 x + y – 2 z
2- trouvez a pour que 2 x – 3 y + 5 z et 3 x + a y – 2 z soient perpendiculaires.
EXERCICE 11 :

ex
 
A
 B  Ax
Si  = Ax x + Ay y + Az z et  = Bx x + By y + Bz z démontrez que
Bx

ey
Ay

ez
Az
By
Bz
Et que est perpendiculaire à et à 
1
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
EXERCICE 12 :
Si  = 3 x – y + 2 z et  = 2 x + 3 y – z
EXERCICE 13 :
Démontrez que
et que

trouvez
–

EXERCICE 14 :
Si  = 2 x – y + z et  = x + 2 y – 3 z
trouvez 2–2
EXERCICE 15 :
Trouvez un vecteur unitaire perpendiculaire au plan des vecteurs  = 3 x – 2 y + 4 z et
 x +  y – 2 z
=
EXERCICE 16 :
Si  = Ax x + Ay y + Az z ,  = Bx x + By y + Bz z ,  = Cx x + Cy y + Cz z démontrez que
Ax
  
A  B  C  Bx
Ay
By
Az
Bz
Cx
Cy
Cz


EXERCICE 17 :
Montrez que  est égale en valeur absolue au volume du parallélépipède de côtés , et
Trouvez le volume du parallélépipède de côtés  = 3 x – y ,  = y + 2 z et  = x + 5 y + 4 z
EXERCICE 18 :
 = 2  x + y ,
 = 3 x – 8 y + 3 z
et
et
 = 2 y – z trouvez
EXERCICE 19 :
Si  = 2 x + y – 3 z ,  = x – 2 y + z et  = – x + y – 4 z trouvez ;
; et
EXERCICE 20 :
Démontrez que (a)
(b)
= 

EXERCICE 21 :
Si

d
r
 = (t3+2t) x + 3e-2t y + 2 sin(5t) z trouvez :
dt
,

dr
dt
,

d 2r
dt 2
,

d 2r
dt 2
EXERCICE 22 :


d    dB dA 
A B  A

B
Montrez que si et sont des fonction de t dérivables alors :
dt
dt dt


EXERCICE 23 :
2
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
Si f(x,y,z) = x2y.z et  = 3x2.y x + y.z2 y – x.z z , trouvez :
 

 2 f .A
y.z
EXERCICE 24 :
Si (t) = (3.t2-1) x + (2.t-3) y + (6.t2-4.t) z

évaluer :
2
t 1
au point (1,-2,-1)

At .dt
EXERCICE 25 :
Si f(x,y,z) = x2y.z3 et  = x.z x – y 2 y – 2.x2.y z , trouvez : .f ; ; ; div(f.) ;
rot(f.)
EXERCICE 26:
Montrez que ( r 2.) = où  = x x + y y + z z et r = 
EXERCICE 27 :
Si f(x,y,z) = x y –3x.z2 + 2.y2.z et  =( 2x – y 2.z2) x + ( y 2 – 2.x3.z)y + x2.z3 z
directement que div rot = 0
et rot grad f = .
montrez
EXERCICE 28 :
Soit
U(x,y,z) = K / r
où r est le module du vecteur position r = || (  = x x + y y + z z ) et K est une constante.
Montrez que si nous posons
 = - grad [U(x,y,z)]
alors :
 = K. / r3
EXERCICE 01:
Si  =  cos(t) +  sin(t), tel que  et  sont deux vecteurs constants non colinéaires et  est un
scalaire constant, démontrez que :

 dr
 
r



a
b
1.
dt


d 2r
2 


.
r

0
2.
dt 2


EXERCICE 02:


2
2

R

R

Si(x,y,z) = (x2.y) x – (y2.z) y + (x.y2.z2) z trouvez
au point (2,1,–2).
x 2 y 2
EXERCICE 03:
Si f(x,y,z) = (x2 + y2 + z2)–½
avec (x,y,z) ≠ (0,0,0) , alors montrez que
div( grad f ) = 0.
EXERCICE 04:
(x,y,z) = Ax(x,y,z) x + Ay(x,y,z) y + Az(x,y,z) z est une fonction vectorielle à trois variables scalaires
(x,y,z). f(x,y,z) est une fonction scalaire à trois variables scalaires (x,y,z).
Démontrez l’identité suivante :
 
   

 



 
div f . A    f . A  f  A  f .   A

EXERCICE 05:
(x,y,z) = (2.x.y + z3) x + (x2+2.y) y + (3x.z2 –2) z
3
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
1. montrez que
  

rotA    Ax, y, z   0 .
2. trouvez une fonction f(x,y,z) scalaire tel que
3. trouvez
 

div f . A
,
 
  A.
 
A  . f x, y, z  .
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
Mouvement rectiligne
EXERCICE 01:
Une voiture A se trouvant à l'arrêt devant un feux
rouge démarre après le passage au vert du feux, une
autre voiture B arrive avec une vitesse constante tel
que les deux voitures se trouvent au même point
devant le feux rouge à t = 0 temps du passage du
feux du rouge au vert. Le diagramme des vitesses est
donné par la courbe ci-contre.
1. Combien de temps faut-il à la voiture A pour
avoir la même vitesse que la voiture B?
2. A cet instant, quelle est la distance séparant les
deux voitures?
3. A quel instant la voiture A rattrape-t-elle la
voiture B? Quelle est alors la distance parcourue
par les deux voitures?
Vitesse (km/h)
voiture A
60
40
voiture B
20
0.005
0.010
Temps (h)
EXERCICE 02:
Un piéton se déplace avec une vitesse uniforme de 6m/s pour rattraper un bus à l'arrêt, mais quand il
arrive à une distance de 25 m du bus, ce dernier commence à se déplacer avec une accélération constante
a = 1m/s² . Quelle est la distance minimum entre le piéton et le bus dans l'intervalle de temps t >0s?
Le piéton pourrait-il rattraper le bus.
EXERCICE 03:
Un mobile A est astreint à se déplacer sur une droite dirigée avec une vitesse VA = +5 m/s . Un autre
mobile B se trouvant avant A et séparé de celui-ci par une distance de 5 m se déplace d’abord dans le
sens de A, parcours une distance de 20 m , puis revient en arrière.
Si nous considérons que le mouvement du mobile B est uniformément accéléré ( a = Cte < 0 ) et sa
vitesse initiale (V0 > 0), alors :
1. Trouvez la valeur de V0 pour que A et B ne puissent se croiser qu’une seule fois dans le domaine
t  [0 , +∞ [.
2. Pour cette valeur de V0 , à quelle instant les deux mobiles ont-ils la même position ? quelle est la
distance parcourue par le mobile A à cet instant ?
EXERCICE 04:
Une fusée de recherche pour les hautes altitudes est lancée à la verticale. Pendant que le combustible
brûle, la fusée garde une accélération constante de 392 m/s2 vers le haut. lorsque tous le combustible est
épuisé, la fusée est soumise à une accélération de 9,8 m/s2 dirigée vers le bas. Le combustible brûle en 10
s.
1. Donnez les vecteurs vitesse et accélération au cours des différentes phases du mouvement.
2. Tracez les courbes d’accélérations et de vitesse en fonction du temps.
3. Quand la fusée atteint-elle son altitude maximum ? Quelle est cette altitude.
4. Comparez les temps de montée et de descente de la fusée.
4
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
EXERCICE 05:
Si le mouvement de l’aiguille d’une machine à coudre est pratiquement sinusoïdale, d’amplitude 0,4cm et
de fréquence 500 vibrations par minute, quel seront les vecteurs positions, vitesse et accélération un
trentième de seconde après que l’aiguille soit passée par le centre de la trajectoire :
1. Vers le haut ?
2. Vers le bas ?
EXERCICE 06 :
La vitesse d’un point matériel se déplaçant sur une droite dirigée est donnée par l’équation suivante :
V(t) = 5π cos π(t + ½)
V est calculée en (m/s) et t en secondes (s).
1. Trouvez l’équation du mouvement x(t) du point matériel sachant qu’à t = 0s ; x(0) = 5m.
2. Donnez l’amplitude du mouvement (x0), la période (T), la fréquence (υ), et la phase initiale () du
mouvement.
3. Calculez l’accélération a(t) du mobile à un instant t donné.
4. Pour 0 ≤ t ≤ T

A quels moments la vitesse est nulle ?

A quels moments l’accélération est nulle ?

Dans quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ou décéléré ?
EXERCICE 06:
On donne ci-dessous le tableau des valeurs de x(t).
1. Tracez le diagramme des espaces. Echelle (x : 1cm  1m) (t : 1cm  1s).
2. Déterminez la vitesse moyenne pour les intervalles de temps [2s , 10s] et [5s , 7s].
3. Comparez ces valeurs à la vitesse instantanée à t = 6s. Conclusion.
t(s)
x(m)
1
1,5
2
2,8
3
3,6
5
5
6
5,5
7
6
8
6,5
10
7,2
EXERCICE 07:
Une particule se déplace sur un axe orienté suivant la loi : x = t3 – 6.t2 + 11.t – 6.
1. Pendant quels intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x positifs ? Pendant quels
intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x négatifs ?
2. Pendants quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ? Pendants quels intervalles de temps
le mouvement est-il retardé ?
3. Représentez x , V, et a en fonction du temps ?
EXERCICE 08:
Un train se déplace sur une trajectoire rectiligne il commence son mouvement avec une accélération
constante a1 en démarrant à partir d’une vitesse initiale nulle, pour atteindre une vitesse de V = 270 Km/h
puis il continu son mouvement avec cette vitesse pendant un temps t2. Enfin, il freine son mouvement
avec une accélération constante a3 = – a1 pour s’arrêter après avoir parcouru une distance totale X = 3 km
(durant les trois phases du mouvement).
1. Quel doit être l’accélération du train pour que les trois étapes aient la même durée (t1 = t2 = t3) ?
2. Quel est la distance parcourue à chaque étape.
3. Ecrivez les équations horaires du mouvement pour les trois phases du mouvement en considérant
l’origine des temps et des espaces le point de départ du train.
5
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
EXERCICE 09:
Le diagramme des vitesses d’un mobile, animé d’un mouvement
rectiligne, est donné par le diagramme ci-contre. Sachant qu’à
t = 0 s ; v(0) = 0 m/s et x(0) = 0 m.
1. Dans l’intervalle de temps [0 , 10]secondes, tracez le diagramme
des accélérations du mobile.
2. Tracez le diagramme des espaces du mobile pour t[0 , 7]s .
Quelle est la position du mobile à t = 10 s ? Evaluez la distance
parcourue par le mobile entre les instants t = 0 s et t = 10 s.
3. Décrivez le mouvement du mobile dans l’intervalle de temps
[0 , 10]s.
4. Sur la trajectoire, représentez les vecteurs position, vitesse et
accélération à l’instant t = 8 s ; Pour cela on donne les échelles
de représentation suivantes : (position : 1 cm  1 m)
(vitesse : 1 cm  0,5 m/s) (accélération 1cm  0,5 m/s2).
v(m/s)
3
t(s)
3
6
7
-3
EXERCICE 10:
La relation entre l’accélération et la position d’un mobile se déplaçant sur une droite est donnée par
l’équation différentielle suivante :
a(t) = – 2.x(t)
2
x en mètre et a en m/s .
1. Montrez que l’équation horaire du type x(t) = x0.sin(t+)
est une solution de l’équation
différentielle précédente, en déduire la pulsation , la période T, et la fréquence .
2. On donne à t = 0s ; x(0) = 0 m ; V(0) = /10. En déduire x0 et .
3. Pour 0 ≤ t ≤ T : Trouvez les domaines où le mouvement est accéléré, et les domaines où le
mouvement est freiné.
Mouvement plan
EXERCICE 11:
Un mobile M, assimilé à un point matériel, se déplace dans le plan (OXY). Les composantes de la vitesse
Vx(t) et Vy(t) sont représentées sur les figures ci-dessous avec les conditions initiales x(0) = y(0) = 0 m.
Vx(m/s)
Vy(m/s)
3
3
2
2
1
1
0
10
20
t(s)
0
10
20
t(s)
1. Dessiner la trajectoire suivie par le mobile entre t = 0s et t = 20s . Echelle : 1cm → 2,5m.
2. Quelle est la distance parcourue par le mobile entre t = 10s et t = 20s.
3. Représentez les graphes des composantes de l’accélération ax(t) et ay(t) en précisant l’échelle
utilisée.
4. Sur la trajectoire, représentez les vecteurs vitesse et accélération aux instants t = 5s et t = 20s.
Echelle : 1cm → 1m/s et 1cm → 0,1m/s2.
EXERCICE 12:
1. Donnez l'expression de la position la vitesse et l'accélération dans le système de coordonnées
cartésiennes d'un mobile qui décrit un mouvement circulaire quelconque = (t)
6
10
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
2. Que deviennent ces expressions quand =  .t
où  = constante (mouvement circulaire uniforme).
EXERCICE 13:
Le mouvement curviligne d’un mobile est décrit par les équations paramétriques suivantes :
r t   2t  10
et
 t  

2
t
t en secondes ; r en mètre et ;  en radians
1. Représentez la trajectoire du mouvement, dans le repère (OXY). Echelle : 1cm → 1m.
2. Trouvez Tmax le temps total du mouvement.
3. Calculez les composantes radiale Vr(t) et transversale V(t) du vecteur vitesse en fonction de t.
4. Représentez le vecteur accélération à l’instant t. Echelle : 1cm → 2 m/s2
5. Calculez la composante tangentielle aT et la composante normale aN du vecteur accélération à t = 3 s.
6. En déduire le rayon de courbure  à t = 3 s.
EXERCICE 14:
Déterminez les accélérations tangentielle aT et normale aN dans le mouvement défini par :
x = a cos(ω t) et y = b sin(ω t) ( b > a > 0 ).
EXERCICE 15:
Un point est animé d’un mouvement circulaire retardé (aT < 0) tel qu’à tout instant les normes des
composantes tangentielle et normale sont égales ( │aT│= │aN│). Sa vitesse initiale étant V0.
1. Calculez l’expression du module de la vitesse V(t)en fonction du temps.
2. En déduire l’expression de l’abscisse curviligne s(t) et le module du vecteur accélération a(t).
EXERCICE 16:
Une manivelle OM, articulée en M à une tige rigide MB, tourne
avec une vitesse angulaire constante autours d’un axe fixe
passant par O (figure ci-contre).
La tige MB set reliée par une articulation en B à un patin astreint
à se déplacer la direction (X’OX). Les tiges OM et MB peuvent
se croiser et le patin peut passer derrière l’articulation O.
On donne OM = MB = L0 = 1 m. A l’instant initial, le patin se
trouve en O et se dirige vers les X positifs avec une vitesse
v(0) = v0 = 2 m/s.
1. Déterminez l’équation horaire du patin B. Précisez son
amplitude A, sa phase initiale 0, et sa pulsation .
2. Dans quels intervalles de temps de [/6 , 5/6]s , le
mouvement du patin est-il accéléré ou décéléré ?
+
M

X’
O
B
Patin
EXERCICE 17:
Un mobile M est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et  (t) dont les variations en fonction du temps
sont données par les graphes ci-dessous :
1. Tracez la trajectoire du mobile.
 (rad)
r(m)
5
4
3
2
1
/2
/4
7
0
2
4
6
t(s)
0
2
4
6
t(s)
X
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
2. Quelles sont les différentes phases du mouvement entre t = 0s et t = 6s ? Et quelle est la nature de
chacune d’elles ?
3. Tracez les diagrammes des composantes radiale Vr(t) et transversale V(t) du vecteur vitesse du
mobile.
4. Représentez les vecteurs vitesse et accélération aux instants t = 1s et t = 4s.
Mouvement dans l’espace
EXERCICE 18:
Les coordonnée sphériques d’un mobile se déplaçant sur une sphère de rayon R, centrée en O, sont
données par les lois horaires suivantes
  t   .t

 t   12..t
On donne R = 5 cm et  = /3 rad/s.
1. Décrivez la trajectoire du mobile.
2. Quelle est la position du mobile en coordonnées cartésiennes à t = 1s ?
3. Quel est le temps nécessaire au mobile pour qu’il puisse arriver au point le plus bas de la sphère
(z = – R) ?
4. Calculez la vitesse du mobile à t = 2s.
Mouvement relatif
EXERCICE 19:
Une voiture officielle porte un drapeau sur son aile droite, quelle est la direction du drapeau quand la
voiture est à l'arrêt ;
 En absence de vent
 Avec des vent nord-sud d'une vitesse de 30 km/h
reprendre les même cas, quand la voiture se déplace de l'ouest vers l'est avec une vitesse
v = 60 km/h
EXERCICE 20:
Un parachutiste saute d’un hélicoptère volant horizontalement. Sa vitesse Vp par rapport au sol est
constante. A l’instant t0 pris comme origine des temps, un véhicule se trouve juste en dessous de lui ; le
parachutiste est alors à une altitude h0.
Déterminez le vecteur vitesse, le vecteur accélération ainsi que l’équation de la trajectoire du parachutiste
par rapport au véhicule dans les cas suivants :
Le véhicule se déplace suivant une droite, à vitesse constante Vm.
Le véhicule se déplace suivant une droite, à accélération constante a.
A.N : Vp = 3,6 km/h, Vm = 36 km/h, a = 2 m/s2, h0 = 100 m.
EXERCICE 21:
Une voiture décapotable est garée en bas d’un immeuble, moteur tournant. Le conducteur levant la tête en
l’air, voit un pot de fleur se décrocher sans vitesse initiale du balcon au quatrième étage à une hauteur de
20 m juste au dessus de lui, alors il démarre instantanément avec une accélération de 2 m/s2.
1. Où se trouve le conducteur quand le pot de fleur touche le sol ?
2. Trouvez l’accélération du pot de fleur dans le repère du conducteur.
3. Décrivez le mouvement du pot de fleur par rapport au conducteur.
EXERCICE 22:
Pendant qu'un train se déplace avec une vitesse de 72 km/h un lampadaire se détache de l'arrière d'un
wagon d'une hauteur de 3 m du sol, et tombe avec une accélération de 10 m/s2 dirigée vers le bas.
1. Quelle est la distance parcourue par le train pendant la chute du lampadaire.
2. Ecrivez les équations horaires du lampadaire dans le référentiel du train et dans le référentiel lié au
sol ?
8
EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
3. Quelle est sa trajectoire par rapport à la terre et au train.
EXERCICE 23:
Un cylindre de rayon R roule sans glisser sur un plan horizontal comme le montre la figure ci-dessous. Le
repère (OXY) est le repère lié au sol (considéré comme fixe), le repère (O’X’Y’) est le repère lié au
cylindre (mobile) d’origine O’ (axe du cylindre) et dont les axes X’ et Y’ sont parallèles respectivement
aux axes X et Y.
Y’
Y
O’
M
y
O
X’

x
R
X
1. Trouvez les coordonnées x’ et y’ dans le repère (O’X’Y’) d’un point matériel M situé sur la
périphérie du cylindre en fonction de l’angle de rotation (t). On donne à t = 0 (0) = 0 (extrémité
inférieure du cylindre).
2. Exprimez la relation entre les coordonnées (x,y) du repère fixe et les coordonnées (x’,y’) du repère
mobile, en fonction de R et de .
3. En déduire les coordonnées x et y dans le repère (OXY) du point matériel M.
4. Calculez dans le repère (OXY),en fonction de (t) et de  (t) les composantes Vx et Vy de la vitesse
du point M.
5. Que deviennent ces composantes aux points où M touche le plan horizontal.
Remarque :
 (t) = d / dt
9