exercices supplémentaire 1

EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
1
RAPPELS MATHEMATIQUES
EXERCICE 01 :
Montrez que le module A du vecteur = Ax
x + Ay y + Az z est :
222 zyx AAAA 
EXERCICE 02 :
Déterminez le vecteur d’origine P(px, py, pz) et d’extrémité Q(qx, qy, qz), et trouvez son module.
EXERCICE 03 :
Trouvez (a) graphiquement et (b) analytiquement la somme ou la résultante des déplacement suivants:
: 10 m nord-ouest ; : 20 m 30° vers le nord-est ; : 35 m plein sud.
EXERCICE 04 :
Montrez que si et ne sont pas colinéaires, x + y = entraîne que x = y = 0
EXERCICE 05 :
Montrez que pour tout vecteur on a : = A.( cos
x + cos y + cos z )
Où , , sont les angles que fait respectivement avec
x , y , z et cos
, cos , cos sont les
cosinus directeurs de
EXERCICE 06 :
Si  = Ax x + Ay y + Az z et  = Bx x + By y + Bz z démontrez que
 = Ax Bx + Ay By + Az Bz et que
222 zyx AAAAAA  
EXERCICE 07 :
Démontrez que
EXERCICE 08 :
Trouvez l’angle aigu formé par les diagonales d’un quadrilatère de sommets (0,0,0), (3,2,0),
(4,6,0), (1,3,0)
EXERCICE 09 :
Soit (r, ) les coordonnées polaires décrivant la position d’un point matériel. Si r est le vecteur unitaire
dirigé suivant et si  est le vecteur unitaire perpendiculaire à , dirigé suivant les  croissants, montrez
que :
(a) r = cos
x + sin y ;  =
sin
x + cos y
(b)
x
cos r sin  ;
y
sin r + cos
EXERCICE 10 :
1- Calculez   si =2
x – 3 y + 5 z et
= 3
x + y – 2 z
2- trouvez a pour que 2
x – 3 y + 5 z et 3 x + a y – 2 z soient perpendiculaires.
EXERCICE 11 :
Si = Ax
x + Ay y + Az z et
= Bx
x + By y + Bz z démontrez que
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
eee
BA
Et que  est perpendiculaire à  et à

EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
2
EXERCICE 12 :
Si = 3
x – y + 2 z et
= 2
x + 3 y – z trouvez
EXERCICE 13 :
Démontrez que –
et que
EXERCICE 14 :
Si = 2
x – y + z et
=
x + 2 y – 3 z trouvez 
2 – 2
EXERCICE 15 :
Trouvez un vecteur unitaire perpendiculaire au plan des vecteurs = 3
x – 2 y + 4 z et
=
x + y – 2 z
EXERCICE 16 :
Si = Ax
x + Ay y + Az z ,
= Bx
x + By y + Bz z ,
= Cx
x + Cy y + Cz z démontrez que
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA  
EXERCICE 17 :
Montrez que   est égale en valeur absolue au volume du parallélépipède de côtés , et
Trouvez le volume du parallélépipède de côtés = 3
x – y ,
=
y + 2 z et
=
x + 5 y + 4 z
EXERCICE 18 :
= 2
x + y ,
= 3
x – 8 y + 3 z et
= 2
y – z trouvez
et
EXERCICE 19 :
Si = 2
x + y – 3 z ,
=
x – 2 y + z et
= –
x + y – 4 z trouvez
;
; et
EXERCICE 20 :
Démontrez que (a) =
(b)
EXERCICE 21 :
Si = (t3+2t)
x + 3e-2t y + 2 sin(5t) z trouvez :
dt
rd
,
dt
rd
,
2
2
dtrd 
,
2
2
dtrd 
EXERCICE 22 :
Montrez que si et sont des fonction de t dérivables alors :
B
dt
Ad
dt
Bd
ABA
dt
d
EXERCICE 23 :

EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
3
Si f(x,y,z) = x2y.z et = 3x2.y
x + y.z2 y – x.z z , trouvez :
zy Af ..
2
au point (1,-2,-1)
EXERCICE 24 :
Si (t) = (3.t2-1)
x + (2.t-3) y + (6.t2-4.t) z évaluer :
2
1. tdttA
EXERCICE 25 :
Si f(x,y,z) = x2y.z3 et = x.z
x – y 2 y – 2.x2.y z , trouvez : .f ; 
; ; div(f. ) ;
rot(f. )
EXERCICE 26:
Montrez que  ( r 2.) = où  = x x + y y + z z et r =
EXERCICE 27 :
Si f(x,y,z) = x y –3x.z2 + 2.y2.z et =( 2x – y 2.z2)
x + ( y 2 – 2.x3.z) y + x2.z3 z montrez
directement que div rot = 0 et rot grad f = .
EXERCICE 28 :
Soit U(x,y,z) = K / r
où r est le module du vecteur position r = || (  = x x + y y + z z ) et K est une constante.
Montrez que si nous posons  = - grad [U(x,y,z)] alors :  = K. / r3
EXERCICE 01:
Si  =  cos(t) +  sin(t), tel que  et  sont deux vecteurs constants non colinéaires et  est un
scalaire constant, démontrez que :
1.
ba
dt
rd
r
2.
0.
2
2
2
 r
dtrd
EXERCICE 02:
Si (x,y,z) = (x2.y)
x – (y2.z) y + (x.y2.z2) z trouvez
2
2
2
2
yR xR
au point (2,1,–2).
EXERCICE 03:
Si f(x,y,z) = (x2 + y2 + z2)–½ avec (x,y,z) ≠ (0,0,0) , alors montrez que div( grad f ) = 0.
EXERCICE 04:
(x,y,z) = Ax(x,y,z)
x + Ay(x,y,z) y + Az(x,y,z) z est une fonction vectorielle à trois variables scalaires
(x,y,z). f(x,y,z) est une fonction scalaire à trois variables scalaires (x,y,z).
Démontrez l’identité suivante :
AfAfAfAfdiv 
 ...
EXERCICE 05:
(x,y,z) = (2.x.y + z3)
x + (x2+2.y) y + (3x.z2 –2) z

EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
4
1. montrez que
0,, 
 zyxAArot
.
2. trouvez une fonction f(x,y,z) scalaire tel que
zyxfA ,,. 
.
3. trouvez
Afdiv  .
,
A
.
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
Mouvement rectiligne
EXERCICE 01:
EXERCICE 02:
Un piéton se déplace avec une vitesse uniforme de 6m/s pour rattraper un bus à l'arrêt, mais quand il
arrive à une distance de 25 m du bus, ce dernier commence à se déplacer avec une accélération constante
a = 1m/s² . Quelle est la distance minimum entre le piéton et le bus dans l'intervalle de temps t >0s?
Le piéton pourrait-il rattraper le bus.
EXERCICE 03:
Un mobile A est astreint à se déplacer sur une droite dirigée avec une vitesse VA = +5 m/s . Un autre
mobile B se trouvant avant A et séparé de celui-ci par une distance de 5 m se déplace d’abord dans le
sens de A, parcours une distance de 20 m , puis revient en arrière.
Si nous considérons que le mouvement du mobile B est uniformément accéléré ( a = Cte < 0 ) et sa
vitesse initiale (V0 > 0), alors :
1. Trouvez la valeur de V0 pour que A et B ne puissent se croiser qu’une seule fois dans le domaine
t  [0 , +∞ [.
2. Pour cette valeur de V0 , à quelle instant les deux mobiles ont-ils la même position ? quelle est la
distance parcourue par le mobile A à cet instant ?
EXERCICE 04:
Une fusée de recherche pour les hautes altitudes est lancée à la verticale. Pendant que le combustible
brûle, la fusée garde une accélération constante de 392 m/s2 vers le haut. lorsque tous le combustible est
épuisé, la fusée est soumise à une accélération de 9,8 m/s2 dirigée vers le bas. Le combustible brûle en 10
s.
1. Donnez les vecteurs vitesse et accélération au cours des différentes phases du mouvement.
2. Tracez les courbes d’accélérations et de vitesse en fonction du temps.
3. Quand la fusée atteint-elle son altitude maximum ? Quelle est cette altitude.
4. Comparez les temps de montée et de descente de la fusée.
Une voiture A se trouvant à l'arrêt devant un feux
rouge démarre après le passage au vert du feux, une
autre voiture B arrive avec une vitesse constante tel
que les deux voitures se trouvent au même point
devant le feux rouge à t = 0 temps du passage du
feux du rouge au vert. Le diagramme des vitesses est
donné par la courbe ci-contre.
1. Combien de temps faut-il à la voiture A pour
avoir la même vitesse que la voiture B?
2. A cet instant, quelle est la distance séparant les
deux voitures?
3. A quel instant la voiture A rattrape-t-elle la
voiture B? Quelle est alors la distance parcourue
par les deux voitures?
voiture A
voiture B
Temps (h)
0.010
0.005
Vitesse (km/h)
20
40
60

EXERCICES COMPLEMENTAIRES 01
5
EXERCICE 05:
Si le mouvement de l’aiguille d’une machine à coudre est pratiquement sinusoïdale, d’amplitude 0,4cm et
de fréquence 500 vibrations par minute, quel seront les vecteurs positions, vitesse et accélération un
trentième de seconde après que l’aiguille soit passée par le centre de la trajectoire :
1. Vers le haut ?
2. Vers le bas ?
EXERCICE 06 :
La vitesse d’un point matériel se déplaçant sur une droite dirigée est donnée par l’équation suivante :
V(t) = 5π cos π(t + ½)
V est calculée en (m/s) et t en secondes (s).
1. Trouvez l’équation du mouvement x(t) du point matériel sachant qu’à t = 0s ; x(0) = 5m.
2. Donnez l’amplitude du mouvement (x0), la période (T), la fréquence (υ), et la phase initiale () du
mouvement.
3. Calculez l’accélération a(t) du mobile à un instant t donné.
4. Pour 0 ≤ t ≤ T
 A quels moments la vitesse est nulle ?
 A quels moments l’accélération est nulle ?
 Dans quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ou décéléré ?
EXERCICE 06:
On donne ci-dessous le tableau des valeurs de x(t).
1. Tracez le diagramme des espaces. Echelle (x : 1cm  1m) (t : 1cm  1s).
2. Déterminez la vitesse moyenne pour les intervalles de temps [2s , 10s] et [5s , 7s].
3. Comparez ces valeurs à la vitesse instantanée à t = 6s. Conclusion.
t(s)
1
2
3
5
6
7
8
10
x(m)
1,5
2,8
3,6
5
5,5
6
6,5
7,2
EXERCICE 07:
Une particule se déplace sur un axe orienté suivant la loi : x = t3 – 6.t2 + 11.t – 6.
1. Pendant quels intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x positifs ? Pendant quels
intervalles de temps la particule se déplace-t-elle vers les x négatifs ?
2. Pendants quels intervalles de temps le mouvement est-il accéléré ? Pendants quels intervalles de temps
le mouvement est-il retardé ?
3. Représentez x , V, et a en fonction du temps ?
EXERCICE 08:
Un train se déplace sur une trajectoire rectiligne il commence son mouvement avec une accélération
constante a1 en démarrant à partir d’une vitesse initiale nulle, pour atteindre une vitesse de V = 270 Km/h
puis il continu son mouvement avec cette vitesse pendant un temps t2. Enfin, il freine son mouvement
avec une accélération constante a3 = – a1 pour s’arrêter après avoir parcouru une distance totale X = 3 km
(durant les trois phases du mouvement).
1. Quel doit être l’accélération du train pour que les trois étapes aient la même durée (t1 = t2 = t3) ?
2. Quel est la distance parcourue à chaque étape.
3. Ecrivez les équations horaires du mouvement pour les trois phases du mouvement en considérant
l’origine des temps et des espaces le point de départ du train.