Correction du DM Ch 8 : Probabilités

Correction du DM Ch 8 : Probabilités
Exercice 1 (3 points) Dans un jeu de 52 cartes
Sur le livre : ex 15 page 272
On tire une carte, au hasard, dans un jeu de 52 cartes.( 4 familles, « pique », « cœur »,
« carreau » et « trèfle » de 13 cartes, As, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 )
On considère les événements suivants :
A : « la carte tirée est un pique »
B : « la carte tirée est rouge (carreau ou cœur) »
C : « la carte tirée est une figure (roi, dame ou valet) »
Calculer la probabilité des événements :
13 1
  0,25 car il y a 13 cas favorables à A, les 13 piques. (0,25 pt)
A : p(A) =
52 4
26 1
  0,5 car il y a 26 cas favorables à B, 13 cœurs et 13 carreaux. (0,25 pt)
B : p(B) =
52 2
43 3

 0,23 car il y a 12 cas favorables à C, 3 figures par famille. (0,25 pt)
C : p(C) =
52
13
A  B : p( A  B ) = 0 car aucune carte est à la fois un pique et rouge. (0,25 pt)
3
 0,06 car il y a 3 figures parmi les piques. (0,25 pt)
A  C : p( A  C ) =
52
6
3

 0,12 car il y a 6 figures parmi les rouges. (0,25 pt)
B  C : p( B  C ) =
52 26
13  26  0
A  B : p( A  B ) = p(A) + p(B) – p( A  B ) =
= 0,75. (0,25 pt)
52
13  12  3 11

 0,42 .(0,25 pt)
A  C : p( A  C ) = p(A) + p(C) – p( A  C ) =
52
26
26  12  6 8

 0,62 .(0,25 pt)
B  C : p( B  C ) = p(B) + p(C) – p( B  C ) =
52
13
E : « la carte tirée n’est ni un pique, ni une figure » ou bien E = A  C = A  C
11 15
 0,58 .(0,75 pt)
P(E) = 1 – p( A  C ) = 1 –
=
26 26
On peut aussi rechercher toutes les cartes favorables à E : 10 cœurs, 10 carreaux et 10 trèfles
30 15

 0,58 .
d’où la probabilité p(E) =
52 26
Exercice 2 (5 points) Longueur d’une série
Sur le livre : ex 27 page 272
On lance cinq fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
1) Ecrire la liste des issues de cette expérience aléatoire : (0,5 pt)
On a 2  2  2  2  2 = 32 issues possibles.
FFFFF
PPPPP
FFFFP ; FFFPF ; FFPFF ; FPFFF ; PFFFF
PPPPF ; PPPFP ; PPFPP ; PFPPP ; FPPPP
FFFPP ; FFPFP ; FPFFP ; PFFFP ; FFPPF ; FPFPF ; PFFPF ; FPPFF ; PFPFF ; PPFFF
PPPFF ; PPFPF ; PFPPF ; FPPPF ; PPFFP ; PFPFP ; FPPFP ; PFFPP ; FPFPP ; FFPPP
2) Soit X la variable aléatoire qui décompte la longueur de la première série de faces
consécutives (ainsi X(FFPFP) = 2, X(PFPFF) = 1, et on décide que X(PPPPP) = 0)
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer E(X) : (1,5 pt)
Les 32 valeurs de X sont :
{5 ;0 ;4 ;3 ;2 ;1 ;4 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;3 ;2 ;1 ;3 ;2 ;1 ;2 ;1 ;1 ;3 ;2 ;1 ;1 ;1 ;2 ;1 ;1 ;2 ;1 ;2}
xi
5
4
3
2
1
0
P(X=xi) 1
2
4
8 16 1
32 32 32 32 32 32
1
2
1 57
+ 4
+ … + 0
=
32
32
32 32
= 1,78125
3) Soit Y la variable aléatoire qui décompte la longueur de la plus longue série de faces
consécutives.
Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer E(Y) : (1,5 pt)
Les 32 valeurs de Y sont :
{5 ;0 ;4 ;3 ;2 ;3 ;4 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;3 ;2 ;2 ;3 ;2 ;1 ;2 ;2 ;2 ;3 ;2 ;1 ;1 ;1 ;2 ;1 ;1 ;2 ;1 ;2}
yi
5
4
3
2
1
0
1
2
1 62
P(Y=yi) 1
2
5 11 12 1
E(Y) = 5 
+ 4
+ … + 0
=
32
32
32 32
32 32 32 32 32 32
= 1,9375
E(X) = 5 
4) Soit Z la variable aléatoire qui décompte la longueur de la plus longue série (de piles
ou de faces consécutives).
Déterminer la loi de probabilité de Z et calculer E(Z) : (1,5 pt)
Les 32 valeurs de Z sont :
{5 ;5 ;4 ;3 ;2 ;3 ;4 ;4 ;3 ;2 ;3 ;4 ;3 ;2 ;2 ;3 ;2 ;1 ;2 ;2 ;2 ;3 ;3 ;2 ;2 ;3 ;2 ;1 ;2 ;2 ;2 ;3}
zi
5 4
3
2
1
0
2
4
0 86
P(Z=zi) 2
4 10 14 2
0
E(Y) = 5 
+ 4
+ … + 0
=
32
32
32 32
32 32 32 32 32 32
= 2,6875
Exercice 3 (7 points) Histoire de dominos – sujet Bac
Sur le livre : ex 51 page 277
Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune,
orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l’une des sept couleurs.
Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c’est un double.
1) Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents : (1 pt)
La liste des dominos possibles est :
violet-violet; violet-indigo; violet-bleu; violet-vert; violet-jaune ; violet orange ; violet-rouge ;
indigo-indigo ; indigo-bleu ; indigo-vert ; indigo-jaune ; indigo-orange ; indigo-rouge ;
bleu-bleu ; bleu-vert ; bleu-jaune ; bleu-orange ; bleu-rouge ;
vert-vert ; vert-jaune ; vert-orange ; vert-rouge ;
jaune-jaune ; jaune-orange ; jaune-rouge ;
orange-orange ; orange-rouge ;
rouge-rouge .
On obtient 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 dominos différents.
Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.
2) On tire successivement sans remise trois dominos du sac.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos : (1,5 pt)
Le nombre d’issues possibles pour cette expérience aléatoire est de 28  27  26 = 19656 car
on a 28 choix pour le 1er domino tiré du sac puis 27 pour le 2ème et 26 pour le 3ème .
L’événement « obtenir exactement deux doubles » peut se traduire par la réunion de trois
événements incompatibles :
A : « les deux doubles sont tirés en premier et deuxième »
B : « les deux doubles sont tirés en premier et troisième »
C : « les deux doubles sont tirés en deuxième et troisième »
7  6  21
882
7
P(A) =
=
=
car on a 7 choix pour le 1er double puis 6 choix pour le
19656
19656 156
second et 21 choix pour le domino n’étant pas un double.
7  21  6
7
21  7  6
7
=
et P(C) =
=
.
19656
156
19656
156
Finale ment la probabilité d’obtenir exactement deux double vaut :
7
7

 0,13 .
P(A) + P(B) + P(C) = 3 
156 52
3) Dans cette question, on tire un seul domino.
Calculer la probabilité des événements suivants :
a) J2 : « le jaune figure deux fois » (0,25 pt)
Cette expérience a 28 cas possibles et l’événement J2 a 1 cas favorable : le double jaune donc
1
 0,04
P(J2) =
28
b) J1 : « le jaune figure une seule fois » (0,25 pt)
6
 0,21 .
Il y a six dominos où le jaune figure une seule fois d’où P(J1) =
28
c) J : « le jaune figure au moins une fois » (1 pt)
7
J = J2  J1 , J2 et J1 sont incompatibles d’où P(J) = P(J2) + P(J1) =
= 0,25 .
28
4) On effectue n tirages successifs d’un domino, en notant à chaque tirage la ou les
couleurs obtenues avant de remettre dans le sac le domino tiré et de procéder au tirage
suivant. Les tirages sont indépendants.
Calculer, en fonction de n, la probabilité pn, que J soit réalisé au moins une fois : (1,5 pt)
L’événement contraire est : « J n’est jamais réalisé » qui signifie qu’à chacun des n tirage le
jaune ne figure pas.
Le nombre de cas favorables à cet événement contraire est de 21n car pour chacun des n
tirages avec remise du domino dans le sac on a 21 choix(dominos) favorables.
Le nombres de cas possible pour l’expérience aléatoire est de 28n .
21n
21
3
Donc la probabilité de l’événement contraire est
 ( ) n  ( ) n  0,75 n .
n
28
4
28
Finalement, la probabilité que J soit réalisé au moins une fois est pn = 1– 0,75 n .
Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn  0,99 : (1,5 pt)
Cela revient à résoudre dans N l’inéquation 1– 0,75 n  0,99 qui équivaut à 0,01  0,75 n .
On peut observer sur l’écran graphique d’une calculatrice que la fonction : x  0,75 n est
décroissante sur [ 0 ; +  [ .
Avec la calculatrice on obtient le tableau de valeurs de cette fonction suivant :
De même P(B) =
On en déduit que la plus petite valeur de n pour laquelle pn  0,99 est 17 .