nombres parfaits - Colegio Francia

MULTIPLES ET DIVISEURS FICHE 2
Définition
Soit a et b deux entiers relatifs.
S'il existe un entier relatif k tel que
kba
, on dit que a est un multiple de b ou que b est un
diviseur de a.
On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a.
On note :
ab
.
Exemples : Les multiples de 6 sont les entiers de la forme
k6
, c'est-à-dire 0, 6, 12, 18, 24,
30... mais aussi - 6, - 12, - 18, - 24... Il y en a une infinité.
Les multiples de - 6 sont ces mêmes nombres.
0 n'a qu'un multiple : 0 lui-même.
Les diviseurs de 6 sont : 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.
Les diviseurs de - 6 sont ces mêmes nombres.
Remarque : Si
ab
et
0b
, le quotient
b
a
existe et est un entier relatif.
Propriétés :
P1 Pour tout entier relatif a :
aa
,
0a
et
a1
.
Quels que soient les entiers a et b :
P2 Si
ab
, alors
ab
,
ab 
et
ab 
.
P3 Si
ab
et
0a
, alors
ab 
. Un entier non nul n'a donc qu'un nombre fini de
diviseurs.
P4 Si
ab
et
ba
, alors
ba 
ou
ba 
.
Quels que soient les entiers a, b et c :
P5 Si
bc
et
ab
, alors
ac
.
P6 Si
ac
et
bc
, alors
bac 
,
bac 
et plus généralement
bvauc
pour tous les
entiers u et v.
P7 Si
bc
, alors
baca
.
Ex 2.1 Démontrer les propriétés ci-dessus.
Ex 2.2 Déterminer la liste des diviseurs positifs des entiers :
72 ; 75 ; 80 ; 120 ; 144 ; 200.
Ex 2.3 Déterminer la liste des diviseurs des entiers :
50 ; - 56 ; - 8 ; 63.
Ex 2.4 Montrer qu'un entier
1n
a un nombre pair de diviseurs positifs, sauf s'il est un carré
parfait. (c'est-à-dire le carré d'un autre entier).
Ex 2.5 Combien y a-t-il exactement de multiples de 17 compris entre - 2 000 et 2 000 ?
Combien y a-t-il exactement de multiples de 29 compris entre - 500 et 500 ?

Ex 2.6 Prouver que la somme de :
 deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ;
 trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ;
 cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 ;
 quatre entiers consécutifs n'est pas un multiple de 4.
Ex 2.7 Un nombre diminué de 4 est un multiple de 5.
Démontrer que le carré de ce nombre diminué de 1 est aussi un multiple de 5.
Ex 2.8 Un nombre diminué de 2 est un multiple de 7.
Démontrer que le cube de ce nombre diminué de 1 est aussi un multiple de 7.
Ex 2.9 Soit a, b et d trois nombres entiers naturels.
Démontrer que si
ba 57 
et
ba 34 
sont deux multiples de d alors les nombres a et b sont des
multiples de d.
Ex 2.10 Avec deux nombres entiers naturels non nuls, on effectue les quatre opérations
suivantes :
 on les additionne ;
 on les multiplie ;
 on retranche le plus petit du plus grand ;
 on divise le plus grand par le plus petit.
La somme de ces différents résultats est 243.
Quels sont ces deux nombres ?
Ex 2.11 Déterminer les nombres relatifs tels que :
3x
divise
3
2x
.
Indication : Penser à écrire
3
2x
sous la forme :
12)3)(3(  xx
.
Ex 2.12 Déterminer les nombres relatifs tels que :
1.
2x
divise
5x
; 2.
7x
divise
152x
;
3.
12 x
divise
122x
; 4.
1x
divise
2
x
;
5.
1x
divise
2
2x
; 6.
1x
divise
2
3x
.
Ex 2.13 1) En remplaçant q par
b
a
dans la formule
11
...1 1
32
q
q
qqqq n
n
,
montrer que, quels que soient les réels a et b :
))((122111 nnnnnnn babbabaababa   
ou, en remplaçant n par
1n
:
))((122321   nnnnnnn babbabaababa 
.
2) En déduire que si a et b sont des entiers et n un entier naturel non nul
ba 
divise
nn ba 
. En remplaçant b par
b
dans l'égalité précédemment trouvée, montrer de même
que si n est impair
ba
divise
nn ba 
et si n est pair
ba
divise
nn ba 
.
Quelles identités remarquables retrouve-t-on si
2n
ou
3n
?