ARITHMÉTIQUE Chapitre 10

Chapitre 10
ARITHMÉTIQUE
Arithmétique : science qui étudie les nombres rationnels (qui sont des entiers ou
qui s’écrivent sous forme d’une fraction)
Remarque : En arithmétique, on n’utilise que des nombres entiers.
I/
DIVISEURS ET MULTIPLES
1. Définitions
Soient a, b et c des entiers.
Si a= bc alors :
- a est un multiple de b et de c
- b et c sont des diviseurs de a
exemples : - 1 est un diviseur de tous les entiers
- 2 est un diviseur de 56 car : 56 = 2 × 28
- 84 est un multiple de 6 et de 7 car : 84 = 6 × 14
et 84 = 7 × 12
2. critères de divisibilité
par 2 : tous les nombres pairs (qui se terminent par 0, 2, 4, 6, 8)
par 3 : la somme des chiffres du nombre doit être un multiple de 3
par 5 : les nombres se terminant par 0 ou 5
par 6 : les nombres divisibles par 2 et par 3
par 9 : la somme des chiffres du nombre doit être un multiple de 9
exemples : - 12 345 est divisible par 3 et par 5
- 6 354 est divisible par 2, par 3 (et donc par 6), et également par 9
3. Propriété
La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont des multiples
de ce nombre.
Démonstration : Soient a, b et c trois nombres entiers tels que a = c  a’ et b = c  b’
a + b = c  (a’ + b’) et a – b = c  (a’ – b’) d’où (a + b) et (a – b) sont des multiples de c.
Exemples : - 21 et 56 sont des multiples de 7, donc 21 + 56 = 77 est un multiple de 7
- 78 et 114 sont des multiples de 6, donc 78 + 114 = 192 et 114 – 78 = 36
sont des multiples de 6.
II
NOMBRES PREMIERS
1. Définitions
Définition : Un entier naturel premier est un entier naturel qui possède deux et
seulement deux diviseurs, 1 et lui-même.
Exemples : 2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 - 41 – 43 – 47 (Voir
activité sur le crible d’Ératosthène : mathématicien grec du IIIᵉ siècle av. J.-C.)
2. Propriété (admise) : Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété : Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique (à l’ordre près
des facteurs) sous forme d’un produit de nombres premiers.
Remarque : On appelle ce produit la décomposition en facteurs premiers.
Méthode 1 : On peut procéder de manière un peu empirique, en écrivant le nombre
sous la forme d’un produit, jusqu’à ce que tous les facteurs obtenus soient premiers.
Exemples :
20 = 4 × 5
20 = 2 × 2 × 5
60 = 3 × 20
60 = 2² × 3 × 5
900 = 15 × 60
900 = 3 × 5 × 2² × 3 × 5
20 = 2 ² × 5
900 = 2²× 3² × 5²
Méthode 2 : On essaye les divisions par tous les nombres premiers depuis 2, jusqu’à
l’obtention du quotient 1.
Exemple :
Pour trouver la décomposition en facteurs premiers de 60, on divise d’abord 60 par 2,
le quotient est 30.
Puis on divise 30 par 2, le quotient est 15.
Comme 15 n’est pas divisible par 2, on divise 15 par le nombre premier suivant, soit 3.
Le quotient est 5.
60 = 2 × 30
60 = 2 × 2 × 15
60 = 2 × 2 × 3 × 5
60 = 2² × 3 × 5
IV/ Fractions irréductibles
Définition : On dit qu’une fraction est irréductible quand on ne peut pas la simplifier
Exemples :
14
34
est une fraction irréductible mais
n’en est pas une.
9
28
Méthode : On peut décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de
facteurs premiers.
60 2² × 3 × 5
=
63
3² × 7
60 2² × 5
=
63 3 × 7
60 20
=
63 21