Division de polynômes

Division de polynômes
Introduction théorique :
L'algorithme de la division peut s'appliquer à la division euclidienne de polynômes.
Diviser un polynôme p(x) par un polynôme s(x) revient à chercher des polynômes
q(x) et r(x) tels que :
p(x) = s(x)  q(x) + r(x)
On appelle p(x) le dividende, s(x) le diviseur, q(x) le quotient et r(x) le reste.
Exemple : p(x) = 2x3 – 6x2 – 7 et s(x) = 2x
Alors q(x) = x2 – 3x et r(x) = -7
et on a : 2x3 – 6x2 – 7 = 2x  (x2 – 3x) – 7
Méthode pour opérer des divisions de polynômes :
Méthode
Illustration
Soit deux polynômes donnés p(x) et s(x),
on cherche à diviser p(x) par s(x).
p(x) = 3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
s(x) = x2 + 2
On pose la division et on ne s'intéresse
qu'aux monômes de degré le plus haut
pour p(x) et s(x).
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 2
Ici on s'intéresse à 3x5 et à x2.
On cherche le monôme qui, multiplié au
monôme de plus haut degré de s(x)
permet d'obtenir le monôme de plus haut
degré de p(x). Ce nouveau monôme est
le premier terme du quotient cherché.
3x5 = x2  3x3
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 2
3x3
On multiplie chaque terme de s(x) par ce
monôme et on place les termes obtenus
sous le polynôme p(x) en respectant les
degrés de chaque monôme.
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 3
3x5 + 9x3
3x3
On va soustraire le polynôme ainsi
obtenu à p(x).
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 3
-(3x5 + 9x3)
3x3

On change ainsi tous les signes du
nouveau polynôme et on fait disparaître
le monôme de plus haut degré de p(x)
tout en abaissant les monômes de
degrés inférieurs du polynôme p(x).
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 3
-3x5 - 9x3
3x3
-11x3 - 5x2
On recommence l'opération avec la
différence obtenue et le diviseur.
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 3
-3x5 - 9x3
3x3 - 11x
-11x3 + 5x2
Ici on s'intéresse à -11x3 et à x2
Et on a -11x3 = -11x  x2
On opère la nouvelle soustraction et on
continue ainsi jusqu'à ce que le degré du
polynôme obtenu par différence soit
inférieur strictement au diviseur, dans ce
cas ce nouveau polynôme est appelé le
reste r(x).
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 3
-3x5 - 9x3
3x3 - 11x
-11x3 + 5x2
– (-11x3 - 33x)
5x2 + 33x
3x5 – 2x3 + 5x2 – 4
x2 + 3
-3x5 - 9x3
3x3 - 11x + 5
-11x3 + 5x2
11x3 + 33x
5x2 + 33x - 4
– (5x2 + 15)
33x – 19
On obtient et q(x) = 3x3 - 11x + 5
r(x) = 33x – 19

Exemple : Division de x4 - x3 + x2 - x + 8 par x2 + 3x + 1
Étape 1 : division de x4 - x 3 + x2 par x2 + 3x + 1 (quotient x2, reste - 4x3 )
Étape 2 : division de -4x3 - x par x2 + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x2 + 3x)
x4
- x 3
+ x2
- x
+ 8
x2 + 3x + 1
x4
+ 3x3
+ x2
x2 - 4x
- 4x3
- x
-4x3
- 12x2
-4x
+ 12x2
+ 3x
Étape 3 : division de 12x2 - 3x + 8 par x2 + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)
x4
- x 3
+ x2
- x
+ 8
x2 + 3x + 1
x4
+ 3x3
+ x2
x2 - 4x + 12
- 4x3
- x
-4x3
- 12x2
-4x
+ 12x2
+ 3x
+ 8
12x2
+ 36x
+12
- 33x
- 4
Conclusion : x4 - x 3 + x2 - x + 8 = (x2 + 3x + 1)(x2 - 4x + 12) - 33x - 4
x4
- x 3
+ x2
- x
+ 8
x2 + 3x + 1
x4
+ 3x3
+ x2
x2
- 4x3

Division de polynômes
Effectuez les divisions polynomiales suivantes en donnant le quotient et le reste de la
division de p(x) par s(x) :
(1) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 1 et s(x) = x2 – 1
(2) p(x) = x4 – 3x3 + 2x2 – x + 2 et s(x) = x – 3
(3) p(x) = x6 – 1 et s(x) = x3 – 1
(4) p(x) = 6x4 + 4x3 – 7x2 et s(x) = 2x2 – 3
(5) p(x) = 14x4 – 27x3 + 21x2 – 3x – 2 et s(x) = 2x2 – 3x + 2
(6) p(x) = 14x3 – 29x2 + 20x – 5 et s(x) = 7x – 4
(7) p(x) = 3x3 – x2 + x + 1 et s(x) = 2x2 – 1