Méthode des mailles

ESSI1 – Fiche électronique : Méthode des mailles - Explication et justification du dipôle de
Thévenin pour les circuits linéaires (Jean-Paul Stromboni, 1999)
Méthode des mailles pour la mise en équation des cir-
cuits linéaires. Vérification du théorème de Thévenin
Introduction
Dans une branche linéaire d’un circuit électronique, la relation entre courant
i
et tension
v
est donnée par :
irev 
.
Pour un réseau électronique linéaire constitué de
B
branches et
N
noeuds organisés en
M
mailles dépendantes, la relation courant tension dans une branche quelconque du
réseau est linéaire également, qu’elle soit exprimée avec les composants
LL re ,
de la
branche
irev LL 
ou qu’elle soit exprimée à partir de toutes les autres branches du
réseau soit
irev ThTh 
avec les éléments du dipôle équivalent de Thévenin
ThTh re ,
.
Ce résultat découle de la mise en équation des réseaux électroniques linéaires par la
méthode « des mailles » présentée ci-dessous, et illustrée dans un cas particulier.
LTh
LLTh
LTh
LTh
LLThTh
rr rere
v
rr ee
i
ireire
Méthode des mailles
On se trouve devant un réseau de composants linéaires, résistances, condensateurs,
inductances, sources de tension et de courant, on procède méthodiquement comme suit :
1. comptabiliser les B branches
B
BBB ,..., 21
, et les
N
noeuds
N
NNN ...,, 21
à la
jonction des branches. Il faudra écrire
)1(  NBM
équations indépendantes
sur
M
mailles indépendantes.
2. choisir un arbre, sous-graphe de
1N
branches reliant les
N
noeuds. Les
M
branches non utilisées dans l’arbre (ou liens) permettent de définir
M
mailles ou
boucles indépendantes contenant chacune un lien et un seul. Par ce procédé,
on obtient
M
équations indépendantes définissant l’état électrique du réseau.
3. écrire donc
M
fois la loi des mailles, on a choisi comme inconnues
M
courants, un
par maille, les équations du réseau prennent alors la forme linéaire
IRV 
où
V
et
I
sont des vecteurs de
M
composantes et
R
est une matrice
MM 
. La
solution s’obtient en inversant la matrice
R
, soit
VRI 1
.
4. Une conséquence de la linéarité de cette formulation est la suivante : la relation
entre courant et tension dans une branche quelconque du réseau peut être cal-
culée à partir des
1B
autres branches sous la forme linéaire
eirv 
, c’est
le dipôle équivalent de Thévenin. On vérifie et on illustre sur l’exemple suivant.
Illustration
Le réseau suivant comptabilise 5 branches, 3 noeuds, et donc 3 liens ou mailles. L’arbre choisi
utilise les branches deux et quatre. La branche i est constituée d’un générateur de tension
i
e
Réseau linéaire
B-1 branches
N noeuds
ThTh er ,
e
r
i
v
2
N
1
N

ESSI1 – Fiche électronique : Méthode des mailles - Explication et justification du dipôle de
Thévenin pour les circuits linéaires (Jean-Paul Stromboni, 1999)
et d’une résistance
i
r
. On choisit les trois mailles constituées de
1
B
et
2
B
pour la première,
423 ,, BBB
pour la seconde, et
45,BB
pour la troisième. Les variables définissant l’état
électrique du réseau sont alors les trois courants
531 ,, iii
. On écrit donc trois fois la loi des
mailles, ce dont on tire les équations du réseau, sous forme matricielle.
31 NBM
3455445
54123423234
3212121
)()3(
)()2(
)()1(
irirree
iririrrreee
irirree
D’où la forme matricielle
RIV
:
5
3
1
544
44322
221
45
243
21
0
0
i
i
i
rrr
rrrrr
rrr
ee
eee
ee
Pour inverser et résoudre ce système, notons
1221121 )( RrRrrR 
le déterminant de
R
:
332313
322212
312111
11
)(
1
RRR
RRR
RRR
R
Radj
R
R
,
en notant
ij
R
le sous déterminant obtenu en supprimant la ligne
i
et la colonne
j
de la
matrice
R
. Ainsi,
1
i
par exemple vaut
)()()(
145312432121111eeReeeReeR
R
i
.
On en tire :
)()())1(( 45
11
31
243
11
21
21
11
12
211 ee
R
R
eee
R
R
ee
R
R
rri 
qui peut être noté
sous la forme suivante :
ThTh eerri  111 )(
où l’on peut vérifier que
TH
r
est indépendant de
1
r
et
Th
e
de
1
e
. Cela signifie donc que le reste du réseau, les quatre branches
5,4,3,2 BBBB
peuvent être réduites au dipôle de Thévenin,
Th
e
en série avec
Th
r
. On
vérifiera à la fois :
11111 ireeriv ThTh 
.
Application numérique :
5,4,3,2,1,1,1  iVer ii
Ce calcul est réalisé dans le script Maple maille.mws, on trouve
2,2,5,4,58 23322112332211  RRRRRRRetR
, d’où
521
242
125
8
1
1
R
et on en déduit
AiAiAi 5.0,1,5.0 531 
Quant au dipôle de Thévenin équivalent aux branches 2, 3, 4, et 5 entre les bornes
1
N
et
2
N
,
il vient en appliquant les résultats précédents :
 5
3
Th
r
et
VeTh 8.2
. Vérification :
Ai 5.0
6.1 8.0 6.01 28.2
1
5
e
3
r
2
r
4
r
1
r
5
r
4
e
3
e
2
e
1
e
5
i
3
i
1
i
1
N
2
N
3
N