Etude des circuits électriques

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Etude des circuits électriques
Nous venons d’aborder l’étude les modèles électriques de base. Ces modèles, qui sont
identifiables à des composants, sont reliés entre eux par des connections. Chacune des ces
connections est réalisée par des lignes électriques de type équipotentielles c’est-à-dire au même
potentiel d’un bout à l’autre. Lorsqu’une connexion est réalisée par plus de deux composants, les
électrons qui circulent, se divisent alors dans les différentes branches.
Donc dans un circuit, la valeur des tensions et des courants est différente en différents endroits
du circuit. C’est souvent ce qui est recherché.
Ces tensions et courants peuvent être de type continu et/ou variables. Certaines parties du
circuit sont agencés pour laisser passer le continu, d’autres uniquement des tensions variables et
d’autres endroits il y a superposition de tensions continus et variables.
La mise en équation du schéma nécessite donc d’étudier les théorèmes de base qui régissent
les circuits électriques. Ces théorèmes sont utilisables pour des signaux continus ou variables
dans le temps mais il ne faut pas bien évidemment mélanger les écritures.
Il est nécessaire de tenter de différencier l’écriture des valeurs en fonction de leurs nature. Il y
a donc ambiguïté entre des valeurs continu et variables efficaces. Par contre l’utilisation d’une
lettre minuscule informe bien le lecteur de la nature variable du signal.
Tension ou courant continu
V,I
Variables en fonction du temps i(t), v(t) racourcit i,v
Tension ou courant efficaces V,I
1. Lois générales de l’électricité en continu : Lois de Kirchhoff
Loi des nœuds
La loi des nœuds est utilisée pour calculer la répartition des charges électriques en un point du
circuit.
Un nœud correspond à un point du circuit où sont reliés au minimum trois branches
conductrices. Il est évident que les électrons qui arrivent en un point ne peuvent que ressortir.
Donc exprimée par les courants qui circulent, nous trouvons la définition suivante :
I
1
I2
I
3
noeud A
Charges
électriques
La somme algébrique des intensités des courants dans les conducteurs orientés vers un nœud
est égale à la somme algébrique des autres courants.
Donc par convention :
• les courants allant en direction du nœud sont positifs I1 et I2 >0
• les courants sortant du nœud sont négatifs I3<0
• tel que I1+I2-I3=0.

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Méthode :
1. Afin d’établir une équation sur un nœud, il est tout d’abord nécessaire de flécher le sens du
courant. Si le sens du courant n’est pas implicite, il suffit de le flécher arbitrairement.
2. Après l’exécution du calcul, il apparaît deux possibilités :
• Soit le courant est signé positivement, c’est que le sens du courant correspond à
celui fixé,
• soit il est signé négativement, c’est que le sens du courant est à l’opposé de celui
dessiné.
3. Pour la suite du calcul, il est conseillé de conserver le même sens de courant que celui établi
arbitrairement en première partie, mais avec la notation signée de la deuxième partie.
Loi des mailles
Un circuit électrique est composé d’un ensemble de dipôles actifs et passifs. Chacun de ces
dipôles est soumis à une différence de potentiel. L’ensemble des branches du circuit forme des
mailles électriques.
Définition : Dans une maille, la somme des chutes de tension et des générateurs est nulle.
tel que : RIE.+ =
∑
∑
0
VBE
A D1 B D2 C
VBA VCB
VAD
D3 D4 VCF D5
VED VFE
D E F
D6 D7
Eo=VFD
VBE
Illustration des mailles
Pour l’exemple ci-dessus : soit les mailles ABED, ACFD, BCFE, BCE, DEF... ce qui donne
les équations suivantes :
VBA - VBE - VED+VAD = 0
VCE - VCF - VFE = 0
VFD - VFE + VDE = 0 ....
Méthode d’écriture de la loi des mailles :
1) Choisir arbitrairement un sens de parcours de la maille à étudier.
2) Flécher les d.d.p. sur chacun des dipôles (implicitement ou arbitrairement).
3) Ecrire l’équation en suivant le sens de parcours tel que :
o les tensions qui sont dans le même sens sont positives,
o les tensions qui sont dans le sens opposé sont négatives.

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4) Résoudre l’équation mathématique. Si le résultat donne une tension signée
positivement, c’est que la tension est correctement fléchée, si le signe est opposé,
c’est que la d.d.p. est dans l’autre sens. (Pour la suite du calcul, ne pas modifier le
fléchage des tensions).
2. Théorèmes utilisés pour la mise en équation et la simplification d’un circuit électrique
Théorème de superposition
Dans un circuit, l’écriture d’équations linéaires permet de séparer les calculs : Si il y a n
générateurs dans un circuit, on en conserve un seul et on remplace les autres par leur résistance
équivalente. Cette opération est répétée n fois. Les schémas 2 et 3 illustrent la méthode de calcul.
En effet, il est demandé dans le schéma 2 de calculer la courant circulant dans R
3. Pour effectuer
ce calcul, le schéma est décomposé en deux structures dans lesquels subsiste uniquement un
générateur, soit E
1 soit E 2. Pour chacun de ces deux montages, il suffit de calculer le courant
circulant dans R3 (I1 et I2 dans l’exemple), puis d’en faire la somme tel que IR3 =I1+I2.
R1 R2
E1 R3 E2
R4 R5
Le but est de calculer le courant circulant dans R3
I
1
I
2
Le courant dans R3 est la somme des deux courants I1=f(E1,Rn) et I2=f(E2,Rn) calculés pour
chacun des montages
Théorème de Thévenin
Ce théorème a pour but de simplifier une structure. Cette simplification permet soit de
modéliser un composant soit de faciliter des calculs d’un montage. Dans certains cas, Thévenin
sera utilisée uniquement pour « modéliser » un composant en ce cas, la compréhension du
théorème permettra de créer une image simplifiée d’une structure.
Mais, pour que ce théorème puisse s’appliquer, il faut que les éléments qui composent la
structure soient linéaires. Et avant toutes analyses, il est indispensable de retirer du schéma la
charge extérieur ou la déconnecter s’il s’agit d’une expérimentation.
La définition est : un réseau linéaire, aussi complexe soit-il, vu entre deux points A et B de ce
réseau est équivalent à un générateur unique dont le modèle est composé :
• d’une force électromotrice (source de tension) notée Eth, égale à la différence de potentiel à
vide
• et d’une résistance interne rth, égale à la résistance équivalente du réseau entre les deux
points A et B lorsque tous les sources sont remplacés par leur résistance interne.

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A
B
Réseau
électrique
A
B
Réseau
électrique
Rth
Eth
Equivalent à :
Par ce schéma, nous voyons l’importance de la simplification puisqu’une structure complexe
est modélisée uniquement par deux composants. N’oublions pas que ce type La charge qui va être
câblée entre les points A et B
Détermination expérimentale du modèle de Thévenin
La première mesure consiste, en utilisant un voltmètre, de mesurer la tension à vide entre les
points A et B. Cette tension correspond, par définition, à la tension de Thévenin notée Eth.
L’obtention de la résistance interne peut être obtenue de plusieurs manières plus ou moins
réalisable.
Utilisation d’un ampèremètre et mesure du courant de court-circuit. La résistance interne est
définie par calcul comme le rapport de Eth sur Icc : R = Eth/Icc. Cette méthode simple ne peut
être utilisée car il y a toujours un danger à court-circuité une structure. Soit cela entraîne la
destruction des composants de sortie, soit les courants sont trop intense ce qui met en danger
l’expérimentateur.
Une autre méthode consiste à charger le montage par des résistances dont on connaît avec
précision la valeur.
Dans le premier cas on mesure la tension au sortie du montage avec une charge infinie, puis
l’on diminue la valeur de la résistance de charge jusqu'à ce que la tension diminue de moitié. La
valeur de la résistance de charge est alors identique à la résistance interne Rth.
Mais comme pour le premier cas, certaines structures ne peuvent débiter un courant aussi
intense une autre méthode s’impose.
Cet autre consiste à reprendre la mesure à vide [Eth] puis charger par une résistance connue
[Rc] assez élevée pour que le courant qui circule soit faible puis mesurer la nouvelle tension. La
résistance interne est alors obtenue par calcul : Rth = Rc.[Eth-V]/V.
Méthode par calcul
Redessiner le réseau mais sans la charge pour les deux cas suivants :
• pour le calcul de Eth
• pour le calcul de Rth.
En déduire les équations des paramètres du modèle de Thévenin Eth et Rth.
Soit l’exemple suivant :

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I1 I2 I
R1 R2
Rc V
E1 E2
But : modéliser et simplifier le schéma
De ce schéma initiale, il est donc indispensable de redessiner deux autres schémas, l’un pour
calculer Eth et l’autre pour calculer Rth.
I1 I2
R1 R2
E1 E2
R1 R2
EERER
R R
th =+
+
1 2 2 1
1 2
. .
r
R
R
R R
th =+
1 2
1 2
.
A
B
Modélisation du schéma 4
Théorème de Norton
Le théorème de Norton est identique à celui de Thévenin à la grande différence que le modèle
final est sous la forme d’un générateur de courant et non de tension.
Avec la transformation suivante :
Rth
IN RN
Eth
Théorème de Norton
ou : I
Eth
Rth
N= et RN = Rth.
Théorème de Millmann
Le théorème de Millmann peut se déduire du théorème de Norton et de la loi d’Ohm. En effet
l’expression V=R.I peut être notée sous la forme suivante :